數學家尤其是現代數學家對於哲學的主流態度有哪些？
我有很多次嘗試去閱讀羅素,維特根斯坦康德等人的著作, 每一次都感到異常地痛苦,往往以對自我產生懷疑而告終.
我雖不從事數學工作, 但是也算是接受過嚴格的數學訓練. 在我閱讀那些哲學家著作的時候,我時常感覺相比於數學著作,這些人在論述一個對象時似乎都沒有給出很好的定義, 論述的過程應該推敲懷疑的地方也非常多(當然可能是我水平太低).一個相反的例子是, 數理邏輯在數學中算是比較接近於哲學的分支, 數理邏輯里對可計算性, 演算法之類的概念都進行了嚴格的定義, 讀起來優雅而深刻, 異常享受. 我在想 以現代數學家對定義嚴格性之苛求,對推導方式之挑剔, 他們在閱讀那些羅素和維特根斯坦(其他一些哲學家的著作我讀得不多)的著作時, 難道產生感覺到一種這tmd什麼鬼話的感覺? 大家有在傳記或者其他文章中了解到的現代數學家對待純哲學著作的態度的么?
先回答問題，我的感覺是現代數學家對於哲學的主流態度是沒有什麼態度，或者說就是普通知識分子對哲學的態度。
職業不分貴賤高低，大家只是考慮的問題和解決問題的方法有所不同，具體到個人純粹就是個人喜好。在哲學的範圍內，如果一位哲學家能夠有獨特的創見和思考，並且形成成熟的思想體系進而影響這個社會，數學家們一樣會像大多數人一樣尊重這位哲學家，作為哲學家的身份。可是，如果同樣這位哲學家試圖用他的哲學著作來指導數學界，我們就會用數學的標準重新衡量這部哲學巨著，如果不符合數學家的標準，一笑了之就行了，從數學的角度「取其精華去其糟粕」。我覺得羅心澄的回答中關於數學哲學和數學的討論已經能說明這一點。開始偏題，主要是想講具體的故事。數學和哲學還是有很多相似性的，由哲學轉向數學或者由數學轉向哲學的例子絕對不算少。首先就是黎曼。黎曼先修神學和哲學，在高斯的影響下改學數學。於是數學界多了一位傳奇英雄，而哲學界很可能失去了一位足以改寫哲學史的人物。哲學也沒有虧。因為數學和物理年少成名的帕斯卡基本算是拋棄數學投入哲學的懷抱，要知道，這個時候帕斯卡已經證明了他在數學界的天賦異稟。還是回到現代吧，說說我身邊的一些例子。一位我非常尊敬的數學老師早期就是先學哲學，之後轉學代數拓撲，畢業後在國內某大學影響了很多學生，培養出很多優秀的青年數學家。一位同事，同樣哲學出身，同樣轉學代數拓撲。他告訴我轉學數學的原因：「讀維特根斯坦的時候發現他用的都是非常數學化的語言，所以還不如直接去看數學書好了。」該同事博士後期滿之後，手頭上已經有幾百頁的初稿，沒有發表，現在回到日本深山老林裡面的一個寺廟當和尚。我心中很糾結：但願他沒有證明任何偉大的數學定理！值得指出的是，他欣賞很多偉大的哲學家，文學家，音樂家以及一切有趣的在本領域做出巨大成就的人物，但是他最喜歡的學科是數學。嗯，關於我？我也能在辦公室和我師弟聊尼采，維特根斯坦，但是我最喜歡的是數學。再具體點，我喜歡一部分哲學，有閑的話就讀讀權當娛樂，但是對於數學，那是愛。不是數學家也不是哲學家，但學的是數學和哲學，並且剛好在學維特根斯坦的數學哲學，所以就順手回答一下吧。
數學家如果要討論哲學，那麼在除了數學哲學的領域，並不會比其他非哲學家了解得更多，所以本文對於哲學的討論僅限於數學哲學。要做一個對比的話，可以考慮牛頓和希爾伯特。牛頓是一個數學家，同時是一個神學家，但是這兩者是不太相干的，僅僅是因為當時的學科並不難，所以一個人可以同時從事多個方面的研究。而對於希爾伯特，他是一個數學家，並且可以視作形式主義這個數學哲學主張的開創者，他的數學工作和他的哲學主張是直接聯繫在一起的。
本文的討論在適當的情況下可以移植到別的領域中，如：政治哲學和政治科學，物理哲學和物理學，心理學哲學和心理學等。
一、數學哲學與數學
引用 LFM（Wittgenstein"s Lectures on the Foundations of Mathematics） 的開頭進行分析。（注意，LFM 並不是維特根斯坦的著作，而是根據幾位學生的筆記整理成的，但敘述角度主要是以維特根斯坦為第一人稱）
I am proposing to talk about the foundations of mathematics. An important problem arises from the subjects itself: How can I —— of anyone who is not a mathematician —— talk about this? What right has a philosopher to talk about mathematics?
這一個問題，若是換做康德來問，則可能會變成：「（由哲學家主導的）數學哲學是如何可能的？」
當然我們要注意這個地方有一個微妙的措辭上的區別：foundations of mathematics 和 philosophy of mathematics。前者屬於哪個領域其實是不明確的。有人會認為 logic 是 foundations of mathematics，也有人會認為 philosophy 似乎也可以作為 foundations of mathematics。總而言之它的意義並不像 philosophy of mathematics 那樣確鑿。雖然，任何一個「philosophy of …」的含義也都並不確鑿。當然，在維特根斯坦口中， foundations of mathematics 似乎就是指 philosophy of mathematics，而 logic 是另一個東西。
問「哲學家如何有權利開口談論數學的基礎」其實沒太大意思，如果我們仔細審視一下近期的重要工作，我們會發現，即便是和數學最為貼近的數理邏輯，也經常被拋棄在正統數學之外。或者說，大部分數學家並不關心數理邏輯，原因很簡單，數學大多數情況下並不是一個問「what is the foundation of …」的學科。這種思維方式和物理學等大部分科學截然不同。那當然了，數學不是科學。
在大部分自然科學中，學科發展的一個目的是尋找某個佔位詞的精確表述，比如說「熱」是一個佔位詞，當我們發現了分子的熱運動之後，我們就可以將「X 熱」變成「X 的分子熱運動速度變快」從而得到一個更為精確的描述（注意到這個地方並不涉及循環定義的問題，因為「熱運動變激烈」和「動能增加」之間是有差別的，一個物體整體加速之後其中的每一個分子自然也會動能增加，但是物體本身並不會更熱，這裡可以視作一種運動方式上的劃分）。生物學要做的事情也有一部分是在研究某個生物現象的微觀機制是什麼，比如說如何用分子層面的反應解釋光合作用或者是無氧呼吸。當然，並不是說一個佔位詞被替換下來了之後我們就得到了一個「終極解釋」，這其實很好理解：我們自以為發現了最為基本的「原子」，奈何原子由電子和原子核組成，而原子核中又包含這些東西。因此，當我們將「水」替換為之後，又可以進一步將作為佔位詞的「H」和「O」替換為別的東西。這類處理佔位詞的問題，實際上都可以視作是在問「what is the foundation of …？」
但是，在數學中，數學家們是怎麼提問的呢？數學很大一部分是由猜想和證明構成的，這似乎和科學一樣，科學也是通過「觀察 - 歸納 - 實驗 - 證明」這樣一串列為來進行的。但不同的是，數學的基礎是堅實的，或者說，如果數學是一場遊戲的話，那麼問這個遊戲怎麼勝利是有意義的，而問規則為何如此是沒有（遊戲/數學）意義的，這是一個「遊戲/數學人類學」或者「遊戲/數學史」的問題。
因此，提問 foundations of mathematics 註定就會是一個不受數學家們重視的問題。假設你正在好好地打著 DotA，玩著 WOW，或者，斗著地主，忽然有一個人跑過來問你：「為什麼你玩的這個遊戲的規則是這樣的啊？」這時，如果你精通對應遊戲的歷史，比如說你正在玩的 WOW，你就會從 MMORPG 的發展史和魔獸系列遊戲的發展史說起，以此解釋為什麼這個遊戲成為了現在這樣；又或者，你會給出一個應然性的解釋，來說明為什麼這個遊戲應該這樣設計，遊戲策劃是怎樣考慮職業平衡的。並不排除有某些遊戲玩家在痴迷於遊戲的同時會同時痴迷於這些問題，但是這並不是一個普通遊戲玩家所考慮的問題。如果我是一個有禮貌的人，面對這樣的提問，我或許會答覆到，「我不知道也不想知道這些東西，所以請不要問我」，而實際上，作為一名粗魯的人，我會吼到：「滾你丫的別礙著老子玩！」一個普通的遊戲玩家考慮的僅僅是遊戲本身應該怎麼玩：怎麼打過某個 Boss，怎麼在某場 PvP 中獲勝，怎麼配裝打更好的 DPS，怎麼改寫輸出宏……
當然，某種意義上來說，數學家不僅僅扮演了遊戲玩家的角色，偶爾還會充當遊戲的設計者，比如說歐幾里德通過非常良好的直覺設計了歐氏幾何這個公理系統（真正發明這個遊戲的自然不是歐幾里德一個人，而是那整個時代的人，歐幾里德僅僅是一個整理者，他將零散的傳統變成了嚴格的文字）。另一方面，當作為玩家的數學家發現自己玩的遊戲出了問題，或者，又新的發展可能的時候，也會重啟自己設計者的身份來重新設計，而這種更新遊戲的過程自然和官方更新遊戲客戶端不同，它不具有強制性，因此，當有人提出了那個叫做非歐幾何的遊戲時，遭到了不少老玩家的反對，同樣的情況也發生在虛數的引入以及集合論中。
作為設計者的數學家所做的工作就是開創一個什麼東西，比如說牛頓和萊布尼茲處理微積分，康托處理集合論，這時候我們或許會說他們處理的是一些基礎問題，但是這種情況下的基礎僅僅是針對於某一個理論的基礎，而不是元數學意義上的基礎。並且，數學每次的擴展似乎都是自然的，並不是全盤推倒重建，而是在某些有趣的地方做一個改動或者延伸，因而，數學家們總是沿用了部分以前的規則。
這時候我們會發現，在「遊戲製造人 - 遊戲參與者」的模型中，沒有對應於數學哲學家的角色。的確沒有，數學哲學家是局外人。
That is not what I am going to do at all. In fact, I am going to avoid it at all costs; it will be most important not to interfere with the mathematicians. I must not make a calculation and say, "That"s the resu< not what Turing says it is." Suppose it ever did happen —— it would have nothing to do with the foundations of mathematics.
在說這段話之前，維特根斯坦給了一個假想的情況，說某些哲學家通過自己的初等數學知識和邏輯訓練去指出數學家的證明或者計算中的錯誤。維特根斯坦認為這並不是在做哲學（或者，研究 foundations of mathematics），因為數學家和哲學家應該互不干涉。順便說一下，圖靈是維特根斯坦的好基友，也是這門課的學生之一，可惜天才上課不記筆記。
可見，維特根斯坦本人也持有一種局外人的觀點，哲學家並不真的探討數學，哲學家討論的是別的問題，甚至這種問題不是數學家口中的數學規則的制定，因為制定數學的規則依然是數學家的事情。事實上，維特根斯坦在數學方面並沒有公理和定理的區分，作為一個反對公理系統的人，他將所有數學命題視作規則，。
但是，我們不會滿足於單純的局外人這種說法，因為局外人有很多種，比如說哲學家中有政治哲學家、倫理學家、數學哲學家等等，但是如果說數學哲學家是局外人的話，那麼我們如何區別他們和倫理學家或者政治哲學家呢？
有一個古老的關於城邦、政府和哲學家的類比，恰好也是用體育比賽（也算是某種遊戲吧）來進行比喻。在這個比喻中，有裁判，有運動員，還有觀眾，而哲學家就是觀眾。假設這個比喻是恰當的，那麼數學家和數學哲學家是什麼關係呢？運動員可以看比賽么？顯然可以。但是運動員會熱衷於此么？顯然不會。那麼如果數學哲學家是「數學遊戲」的觀眾，那麼倫理學家是什麼呢？別的比賽的觀眾。
但是，請注意這個類比有一個缺陷：數學家在審視別人工作的時候，如果當他開始進行推理了，那麼他有可能就參與到了一般性的數學過程中，或者是依照規則推理，或者是思考數學規則本身是否有問題，但這兩者都是他日常的行為，並不是哲學思考。而運動員似乎沒有這樣的問題。一個職業運動員，即便穿著一身運動服，做好了熱身運動，只要他坐在看台上，那他就是觀眾。物理空間的分隔決定了這個「運動員 - 觀眾」的劃分是明確的。但是果真如此嗎？如果一個運動員在觀看比賽的時候，並不是像普通觀眾那樣觀看，而是在腦海中反思或者預演自己在比賽中的行為，那麼這種情況下，他的身份就依然是運動員，一個在訓練的運動員。一個數學家在進行審視一個數學家的工作，或者是，審視自己的工作的時候，我們如何區分這種審視是數學的審視還是哲學的審視呢？
我們似乎找不到一個明確的思想上的分界。就以希爾伯特為例，他主張形式主義，這原本是一個數學上的期望，希望將所有數學形式化，並且由此通過邏輯的方式解決所有數學問題，但這種主張卻演變成了一個數學哲學主張，我們很難說作為數學家的希爾伯特是在邁出哪一步，產生哪個想法之後就開始變成作為數學哲學家的希爾伯特。我們只知道，形式主義的確算得上一個數學哲學主張，而希爾伯特的確是一個數學家。而且，這種分界本身也是不必要的，因為真正值得注意的部分往往不會落在模糊的邊界上。
某種意義上來說，這種模糊性是必然存在的，在非歐幾何尚未誕生之前，有一部分數學家試圖採用反證法的方式來說明第五公理的否定和前四條公理是不一致的，這似乎是一個非常規矩的，遵從既有規則的證明嘗試，但是這一部分嘗試，同時也在某些方面成為了黎曼幾何或者羅氏幾何的第五公理能夠被加入到對應幾何系統中的說明，即，它可以視作重新制定遊戲規則的前過程。我們沒有可能划出一條截然的界限。
當然，希爾伯特的時代已經過去了，數學家們並不再像當時那樣容易產生數學哲學的思考，一個很重要的原因自然是數學變難了。而另一個原因實際上是因為，在現在大多數數學家在意的是遊戲規則內的行為，連制定規則的情況都很少，更不用說產生數學哲學的思考了。發生這種現象和數理邏輯的興起於衰落不無關係。這一部分我將留到第三部分詳細展開。而在這裡，我的結論是，因為數學的嚴格化已經完成了，大部分數學家將不再關心這個問題，而將嚴格的數學語言融入自己的血液中。
要給一個結論就是，數學家是否思考數學哲學都是可以理解的事情，但是，就目前的學科情況來看，數學家不太容易去觸碰數學哲學問題，這種現象的產生是因為所有學科本身的發展都趨向於細節化，以至於一個人很難分心到別的地方去。即便是數學，本身也分了若干個不同的領域，而一個正常的數學家大概也只會熟悉自己的研究領域，你讓一個做偏微分方程的人去討論代數拓撲是不現實的。因此讓一般數學家討論數學哲學也是不現實的。
二、哲學本身的困難性
如果一個人一上來就讀康德，讀維特根斯坦，我只能說他腦子有洞。這些著作根本就不是寫給初學者的。康德在寫《未來形而上學導論》的時候，將其視作一本給未來的老師用的書，維特根斯坦在《邏輯哲學論》的開篇聲明，這本書是寫給那些已經思考過這些問題的人看的。當你看數學的時候，你看教材，當你看哲學的時候，你看著作，別說你看不懂，我也看不懂啊。
對於這種困難，似乎可以給一個這樣的類比：你隨便找一本 LNM 或者 GTM，翻到中間一半開始看，如果你很快地看懂了，那隻能說明之前學過。如果你根本就沒有融入討論的語境，沒有學會基本的辭彙，討論又將如何展開呢？注意，我這個地方並不是就如何做哲學來展開討論，而是就如何讀哲學來展開討論，某種意義上來說，讀比做更難一些。
有人會說，為什麼數學就那麼容易懂呢？口胡，你讓一個高中開始就讀文科的人來讀公里集合論，他讀得懂？對於大多數理科生來說，數學已經成了一個默認語境，沒有什麼人會不知道坐標系、自變數、函數、映射或者是集合的交、並、補。但是，大多數人沒有受過哲學訓練，沒有哲學的語境，所以很難參與到哲學的學術討論中。你去抓一個人來問他，什麼是 a priori，什麼是 transcendental，什麼是 normative，估計他也回答不出來吧。而且，對於普通人來說，數學的例子比哲學的例子更為常見，哲學也是一個非常依賴例子的學科，如果你聽到「當今法國國王」無法腦補出「是禿頭」，聽到「晨星」想不起「暮星」，聽到「gavagai」想不起「兔子」，聽到「『雪是白的』為真」接不上「當且僅當雪是白的」，那麼當你需要一個例子來理解理論的時候，就會因為想不到例子而無所適從。
還有約定的問題。一個人去讀費馬、歐拉、牛頓的手稿，大多數情況下也是讀不懂的，因為符號不同，別忘了，微積分的符號沿用的是萊布尼茲的記號。而羅素當年寫數學原理，以及弗雷格當年寫概念文字所用的符號也和當代的符號有很大出入。不同哲學家口中的辭彙未必是相同的，而很多看上去熟悉的辭彙，比如說「先天」、「經驗」、「實在」也和日常的用法不同。另一方面，如果我們讀的是譯本而不是原著，那麼很有可能會被翻譯坑。以「series」為例，維特根斯坦在《哲學研究》 中經常提到這個詞，但這個詞卻被某些坑爹的人翻譯為「系列」，而根據語境，他顯然是想表達「數列」這個意思。當然，一個詞錯了可以糾正過來，但是當整片譯文中有大量的錯誤，或者，有很多以前的用法的話，那麼這時閱讀體驗就會被嚴重影響。（另一個值得吐槽的 point 是，很多哲學家為了裝逼或者單純是出於習慣，喜歡用一些拉丁辭彙，這對於只學過英語的人來說也是一件很坑的事情。）
哲學和數學的發展方式也是不同的。哲學的發展往往是基於對前人的批評，這種 motivation 和數學的 motivation 是不同的，數學往往是以抽象一個既有的概念作為 motivation，比如說測度是長度、面積和體積的抽象，群是加法和乘法的抽象，模是線性空間的抽象，格是確界的抽象。而就算一個例子被抽象為兩類東西，大概也不會產生矛盾（比如說我們可以將實數集和上面的伯雷爾集抽象為測度空間，也可以將其抽象為拓撲空間，這並不產生矛盾）。但是，如果不同的哲學家通過將例子 blow up 為不同的哲學理論，那麼不同的理論之間就會產生或多或少的衝突。這種衝突就是哲學家們重點處理的東西。同時，這種衝突導致哲學沒有那麼強的層級性。學數學的時候，我們有一個基礎，然後一步一步上來，但是在哲學中，如果我們希望明白一個人在反對什麼，那麼我們就需要一步步往前看他的對手說了些什麼。因此，某種意義上來說，相較於數學，哲學是雜亂無章的。
哲學另一方面的困難性在於，它討論的問題以及所起的爭執都先於形式化。這一部分討論可以參考「哲學論證有可能像數學一樣精確嗎？」。
三、邏輯作為數學嚴格性的基礎
要注意一件事情，數學中嚴格性的概念是近兩三百年才出現的，我不確定這個概念的出現和當代數理邏輯的先後順序如何，但是毫無疑問，嚴格性的概念和數理邏輯是共同發展的，邏輯語言是嚴格的，而數學家也在儘可能地使用嚴格的語言（雖然不完全是形式語言）。
當代邏輯發展的初期很大程度上是為了構建一個理想語言。這種理想語言擁有精確性和嚴格性。這很難說是一個什麼領域的行為，或許我們可以認為，追求理想語言是全領域的行為，通過構建一個理想語言，我們可以更為便捷地展開數學、哲學、科學的工作，避免歧義和表面語法蒙蔽我們的雙眼。（表面語法的常見例子是「存在」這個詞，雖然我們會把它當作普通的一階一元謂詞使用，但是實際上大多數情況下它是一個一階量詞，即，二階謂詞。）
我可以舉個例子來說明一個嚴格的證明和一個不嚴格的證明。假設我們要證明 3+2=5，那麼一個不嚴格的證明如下所示：
· · · | · ·對，就是五個點用一條豎線分開，左邊三個右邊兩個，這幅圖不嚴格地證明了 3+2=5。那麼嚴格的證明呢？根據皮亞諾算數系統的表述，即要證 SSS0 + SS0 = SSSSS0。
根據加法規則(2)， a+Sb=S(a+b)，將 a 替換為 SSS0，b 替換為 S0，得： SSS0 + SS0 = S(SSS0+S0)再次運用加法規則(2)，將 a 替換為 SSS0，b 替換為 0，得：SSS0+S0=S(SSS0+0)而根據加法規則(1)：a+0=a，將 a 替換為 SSS0 得：
SSS0+0=SSS0因此，SSS0 + SS0 = S(SSS0+S0) = S(S(SSS0+0)) = SSSSS0。
當然，這並不是一個形式證明。
所謂一個嚴格的數學證明，並不是說這個數學證明已經寫成了邏輯符號的形式，而是說，只要我們願意，可以將這個證明完全形式化。
這裡可以看出來一般數學家對於邏輯學的態度：數學應該盡量嚴格，但是沒有必要完全形式化，因為即便是自然語言書寫的證明，只要精細到一定程度，我們就可以輕易地將其形式化。
基本上，數理邏輯在上個世界就是這樣風靡起來的。作為一種數學書寫規範。
數學家不採用完全的形式化證明是有原因的：一個完整的形式表達式實在是太長了。要注意，一本代數書裡面基本上會有幾百個概念，而每一個概念都對應著一個新定義以及一串新規則的引入。並且，大多數數學概念在階數上是很尷尬的。群的內部運算是一階的，但是要刻畫一個結構是不是群又似乎必須使用二階的語言，但是這種表述又是不必要的，這就會引起很多翻譯上的麻煩。（我們說 G 是一個群，就等同於說一個集合和一個運算組成的二元組具有一個二階性質，它們不能具有一個一階性質，因為這個二元組已經包含了一個集合）
因此，數學的嚴格性就處於這樣一種微妙的位置上：不同於形式命題演算，但卻幾乎有了形式命題演算在精確性上的所有優點。
當然，我懷疑這並不是真的標明了我們的數學語言沒有問題，因為日常語言本身似乎並不阻止我們構建「所有不包含自身的集合構成的集合」或者「所有集合的集合」。數學語言也僅僅是強行禁止我們採用這樣的說法，只有當我們使用形式語言的時候，才能明白為什麼，因為僅僅是一個簡寫，正常情況下我們是知道的 x 的論域，所以不需要將它完整地寫出來，但實際上我們只有
。
「盡量避免自指」是邏輯學給數學的一個忠告，但是這個忠告似乎在除了和數理邏輯相關的領域之外毫無用處。雖然經受過高等數學教育的人都知道哥德爾不完全性定理，但是從來沒有一個數學家在證明的時候會考慮說這個命題本身是一個哥德爾句。因為哥德爾句實際上是一種超越正常使用語言的表達方式。我們可以用構建一個哥德爾句，使得這個句子在恰當的情況下能具有自指性質，但是這種句子已經完全不具有幾何或者代數直觀，而僅僅是為了構建而構建出來的。
當然，並不是說嚴格性問題不重要，這僅僅是對於受過良好數學訓練的人來說不重要，因為嚴格性已經成為了一種習慣，如果你有興趣去看看各種民數證明哥德巴赫猜想、費馬大定理、四色問題等高冷洋的問題的證明過程，你就會發現嚴格性一個不錯的分界線。猜想多麼大膽都可以，但是證明必須是謹慎的。
接下來就是填坑了，數學家開始關心邏輯學問題，大體上是因為第三次數學危機和哥德爾不完全性定理（？我不確定後者對於數學的影響有多大，但是前者至少算是一個危機）。第三次數學危機其實就是想說自指會導致一些不好的東西，比如說句子「這句話是真的」和「這句話是假的」都是不好的語句。後者即是說謊者悖論，無須多說。而前者也不是什麼好東西，「這句話是真的」自然是一致的，但是它的真值不取決於任何東西，因為當「這句話是真的」為真時，這句話為真，而當它為假時，這句話為假。這就變成了一個完全封閉的情況，因而這種語句是沒有意義的。而說謊者悖論拓展到集合論的領域就是考慮一個「包含所有不屬於自身的集合的集合」。（有一些集合是屬於自身的，比如說）
這個問題似乎並不是一個數學問題，而是一個語言問題。其中最有問題的辭彙就是「所有」這個詞。「所有」和「最大」一樣，討論的是某種奇怪的東西。「所有集合的集合」和「最大的正整數」兩個詞都是應該被排除的，而當我們使用這些詞的時候，自然就會產生錯誤。羅素悖論本身可以視作「所有不包含自己的集合的集合」一詞不合法的證明。數學中的辭彙並不是單純根據語法結構使用的，因為從語法和日常語義的角度上來說，我們似乎可以使用諸如「最大的自然數」這樣的辭彙，而數學通過嚴格的證明，排除了「最大的自然數」之類的辭彙，將其無意義化。當然，ZFC 系統採用的是構建的方法，用了一種更為嚴格的語言來避免羅素悖論，但是無論如何，只要問題一旦被解決，它就不會再受到重視。正如第一次危機和第二次危機那樣，一旦危機被解決，留下來的解決方案就變成了一種傳統。
況且，雖然說集合論被視作某種基礎的東西，但是實際上只要我們考慮到數學的發展，就會發現「集合論的問題會影響到數學全體」是一個無稽之談。假設有一天，科學家發現水不是，那麼這會導致「水不能解渴」么？顯然不會。同理，集合論和數理邏輯所做的努力，是力圖將全體數學還原為一些基礎的東西，如果集合論出了問題，這並不是數學出了問題，而是還原的方式出了問題，數學的其餘部分可以照常運作。當然更為激進的觀點是，還原論本身就是一種錯誤的思維方式，我們說自然數能還原為集合，僅僅是說兩個結構之間存在一個同構關係，而並不能說明某種本體論上的優先性。
大部分數學家都是，甚至沒有意識到自己是，柏拉圖主義者。
數學的嚴格性，形式化，實際上並沒有像很多人想的那麼重要，或許是在高斯的時代之後嚴格性的數學論證才越來越頻繁。歷史經驗表明嚴格的形式化的論證是探索數學的一個方便有效地手段，但這不意味這是唯一的途徑，歐拉的工作也說明不嚴格的探索也可以是很有效地。
對於柏拉圖主義者，不管你的論證嚴格還是不嚴格，數學就在那裡，不增不減。
數學是發現的，不是發明的。
證明是整個數學探索過程的最後一步，但它並不是重要的。
（Atiyah語？）
誰真的在乎四色定理是對的還是錯的？重要的是它的背後是什麼，以及帶來了哪些新想法等等。
我覺得這也回答了為什麼計算機不能代替人類數學家：如何看待20世紀後半葉以來湧現出越來越多的計算機證明？我在上中學時看過很多哲學書，上了大學學數學之後基本沒有再讀過，我和我的學長和老師也都談過類似的話，他們對哲學也無興趣。你若問他們對某個大哲學家的看法，基本上和問他們對周朝田畝制有什麼看法差不多。至於你說的數理邏輯，這是高度數學化的東西，都是學數學或理論計算機的人在研究，難度很大，很多計算機博士生也聽不懂，我沒有發現這些東西和哲學有什麼關係，在哲學中有Peano形式算術嗎？在哲學中有緊緻性定理嗎？至於那些喜好討論哥德爾不完備定理哲學思想的人，大部分什麼是語法()，什麼是語義(
)都分不清，確實不知和他們討論這些有什麼意義？
要讓在頂尖學校學習的學生感到在數學上經常有壓力和挑戰，使得他們刻苦工作，保持一個良好的工作狀態。現在經常有來自中國大陸的學生大談數學的哲學，而不能坐下來做紮實的計算。這個競賽的內容就是數學的基本知識與基本功，通過這個競賽將能夠非常有效地改變這種狀況。
4．我們將邀請世界著名的數學家口試我們競賽優秀的學生（暫定前15名）。我相信許多一流數學家將會樂意麵試我們的優秀學生。這些數學家將親自鑒定這些學生的水平與能力，為他們進入世界一流的研究院提供幫助。總之，我相信這個競賽將把中國大學生的數學教育提高到一個新的水平。我們誠請您的學生參加這次大學生數學競賽。致禮丘成桐哈佛大學數學系主任
羅素確實比較膚淺。數學幾乎沒有什麼貢獻。數學原理 那本書基本是一個過渡品， 在哥德爾的工作之後，他們的書基本只有歷史文獻的意義。 維特根斯坦是我唯一喜歡的哲學家。我讀過哲學研究和論確實性。 他早期的工作受羅素影響太深沒什麼意思。 我的理解他認為確定性是事物的聯繫。 比方說在數學上，定理A能推出定理B。 但並不是說定理A就比定理B更加確定。 事實上定理B 可以看成定理A的一個試驗， 那麼在某種意義下定理B也是對A的驗證。 實際上也確實如此， 數學並不是建立在所謂數學基礎之上的。 如果現在的數學基礎的體系比如說ZFC 推出牛頓萊布尼茨公式是錯的。 數學家不會放棄牛頓萊布尼茨公式， 而是會換一個支持它的數學基礎。 又比如說我們都知道皮亞諾曲線是可以覆蓋平面的。 這是個不太符合直覺的結果， 但人們其實沒有放棄「曲線不能覆蓋曲面」這個直觀。 這個發現恰好是說明任意的連續曲線其實不是一個很好的研究對象。 我們應該縮小研究對象， 比方說代數曲線， 就沒有這樣的問題。
在我看來數學的實踐才是數學確定性的保證。 數學中計算一個方程的根，帶進去一算 果然是根， 這就是對數學的驗證。 數學上用不同的方法計算同一個量，居然是一樣的這也是驗證。數學在其他科學，在工程上的應用也是對數學的驗證。 不存在絕對的嚴格。 推理越長越不嚴格。 因為語言本身是不嚴格的， 詞語的意義由他的使用和他與其他詞的關係決定。 而這個關係對不同的人不同，對於同一個人不同時間也會有微小的變化。舉個例子，如果一個人不是禿子，那麼他少一根頭髮仍然不是禿子。 這個命題是對的。 接著推理： 一個人有120000根頭髮， 那麼他不是禿子。 一個人有119999根頭髮， 那麼他不是禿子。。。 一個人有0根頭髮 那麼他不是禿子。 大家都知道錯誤在省略號那。 但是如果我把所以數字都列出來， 你就難以確定哪一次的推理有問題。 這是因為這個推理太長了， 詞語在每一句意義都有細微變化， 積少成多， 就能顛倒黑白。 扯遠些所以我一直所謂對「邏輯論證」持懷疑態度。 這個剛才的例子太簡單，一般人不會迷惑，但是某些文科里那些長篇大論，而且情況更加複雜。 如果沒有實踐，即使每一步看似嚴格，總體來說可信度幾乎為0。可不敢說集合論不是數學的主流啊。。。Paul Cohen怎麼也算是大師中的大師啊！據說最近還有用model theory中的方法解決了重要的number theory的工作（Prof. Jonathan Pila），不過我就不太懂了。。。
瞎扯幾句：
實際上從古來的悖論開始，數學家們就在思考著哲學問題——或者說認識論方面的問題。比如引入無理數的第一次數學危機給人們帶來的無理數的概念，這在認識論上是不是一個顛覆？我覺得是的。關於無窮小，歐氏第五公設以及選擇公理的各種論斷則更是哲學味十足。ε-δ語言繞開了無窮小，非歐幾何拋棄了第五公設，BT定理更是直接玩起了1=2的魔術。如果說愛因斯坦、哥本哈根學派等對時空、確定性等概念的顛覆是帶來了對世界全新的認識的話，那麼我們沒有理由把帶給我同樣翻天覆地的認識變革的魏爾斯特拉斯、羅巴切夫斯基、巴拿赫等人踢到哲學外面去。
哲學中另一個很重要的一部分是研究方法論，而數學也缺不了這一方面的問題。兩者並重的重要部分就是邏輯學。邏輯學最根本的作用，是保證人們不會從真命題推出假命題。圍繞這一基本目的的許多問題都是數學的根基。羅素、希爾伯特、哥德爾等著名的邏輯學家都是從研究數學的根基入手的，而也沒有人可以否認他們在數學界的支柱地位。而到現在為止，圍繞數學根基的研究還在進行之中。早些年北荷蘭出版公司出版過一套「邏輯學與數學基礎研究」叢書（SLFM系列），其作者有塔斯基、卡瑞等著名數理邏輯學家，也有拉科圖什、波普爾等知名哲學家。足以見得數理邏輯和哲學本身就是「你中有我，我中有你」的。
至於羅素、維特根斯坦、康德的書的問題，我非常懷疑翻譯在其中要居「首功」了，或許可以考慮讀讀原版看看？哲學的概念太大了，縮小一下。很多哲學已經融入到其他學科中，題主要說的是哪一部分
數學是數學，哲學是哲學，二者是獨立的學科，不要混為一談。 你說的羅素,維特根斯坦康德這些人，算得上數學家的也就Russel。他的集合論是現代數學的基礎。但集合論本身不是數學界的主流。現在的數學，主流在於代數幾何，幾何分析，數論等等。 具體你可以看看這些年Fields獎的獲得者的名單。 集合論，公理化體系的東西，數學研究中一直在用，但用的不多。
很多年之前，數學，哲學，神學等都混在一起，而現在他們分開了。他們研究的問題是完全不一樣的。現在數學有自己的理論根基，具體的工具，明確的問題，這些都是迥異於哲學的。現在很少聽到哪個具體的數學問題和哲學扯上關係了。
最後一點：馬列毛鄧江不參與討論。我想提煉一下@洪濤 的回答，數學和數學化是兩樣東西，哲學及哲學化也是兩件相連但互不包含的事務。再借用之前評論中看到的一點來舉例，數學及應用數學兩個領域從業人員很多做法、觀點相矛盾的事實，並非矛盾，是原本就是各自獨立的存在。
不太了解數學家的工作情況，僅回答下題主最後的問題
定義是揭示概念內涵的邏輯方法。
嚴格的定義免不了定義項（如:商品是用來交換的勞動產品，此處勞動產品為定義項，商品為被定義項）。哲學為揭示事物本原，就不得不繼續深究定義項。（比如問，勞動產品是什麼呢？），這樣就會一直定義下去沒完沒了了。（有一種方法可以打破這個，那就是循環定義！）
於是探求本原的哲學家不得不「胡編亂造」一個堅實的基礎了，於是就會有範疇，「上帝」，先驗感性等玩意了。
而這些東西基本靠猜想，信仰等「非理性」的方法去確定的，所以才會有題主認為的不嚴格。
究其根本，哲學家在思考什麼是定義的時候，是不能用嚴格的定義這種方法的（邏輯不能推導邏輯何以可能）
因此，免不了「胡編亂造」。
至於數學家該如何對待這類哲學書籍，我覺得是，數學家與哲學家的工作不同，數學家不必思考「數學是何以可能的」這樣繞的問題。
近一百年來，絕大多數數學家都不怎麼談論哲學，這裡的「哲學」指的是通常的哲學史著作中所談論的哲學。至於他們私下裡感不感興趣，那我就不知道了也有一些人會談論一些也不知道算不算「數學哲學」的東西，比如Y. Manin。
我覺得題主可能有些誤解。要求哲學有如同數學一樣的嚴格定義，怕是不太可能的。再者哲學本身就很晦澀難懂的，對任何一個沒有太多閱讀量的人來講都是閱讀困難的。我猜測有哲學基礎的數學家應該沒有閱讀困難。
我猜題主是想了解哲學的，之前或許是沒有接觸過哲學的。先假設這樣了...如果這樣的話就很麻煩了。"哲學就是一部哲學史。"這是我手邊一本教材的引言。讀一本哲學書，得了解作者的生平，作者所處時代，以及之前的潮流。無比麻煩的事情。拿維特根斯坦講，若想讀懂，就得先了解一下分析哲學，邏輯哲學想的是什麼吧，或許還得接觸一下維也納學派，科學對哲學的影響，了解下實證主義是什麼玩意兒。扯那麼多意思就是讀哲學沒那麼容易...況且這兩人都是天才中的天才，維的《邏輯哲學論》（好像是叫這名吧）還是博士論文。答辯時，他曾拍著羅素（導師）的肩膀說:"你看不懂就對了。"（羅素和另一個導師還讓他過了...）他們的書難度那是可想而知。
常看到有人捧著海德格爾或是康德在讀...這能看懂就不錯了，別拆穿了...所以還是如果是想了解哲學的話，建議看看啟蒙的書籍吧，比方講《蘇菲的世界》?可能讀過，但還是推薦下，很有趣的啟蒙書籍，對哲學所考慮的問題都有囊括。真心不推薦硬讀哲學。如果真要讀的話，還是做好準備吧。
好吧，我不是數學家也不是哲學家...啃書去了...此樓已歪...
我其實懷疑你真的有沒有讀過這些書。
羅素和維特根斯坦你都列出來了，卻質疑他們哲學邏輯中的數理成分。
God damn it.有太多數學家同時是哲學家，比如馬赫，是數學、物理學教授，也是哲學教授。
數學的發展也不是一直都完全嚴謹。比如萊布尼茨雖然發展了邏輯學，但其推導是不嚴格的，特別是其微積分表示法的優越性強烈掩蔽了這一學科的邏輯基礎，使之在嚴格論述方面走上了歧途。
哲學原本是研究世界本質的，哲學家們認為通過研究事物本質、推演事物發展來得到對世界的認知。其中數學是最有效的手段，通過數學的邏輯運算，可以讓人理清事物條理，把自己和這個世界聯繫起來。數學家研究抽象，而哲學家不僅思路抽象，而且要討論抽象本身。
哲學讓人智慧，數學讓人聰明，它們並不衝突。
就像維特根斯坦所說：「任何了解我的人終究要認識到我的命題是無意義的。這些例題只是他用來攀登的階梯，當他超越了這些階梯之後，他必須拋棄這個梯子。他必須超越這些命題，然後才正確地看這個世界。」
數學學習者有更清楚無偏見視覺。數學家不心思哲學，是心靈的幼稚，阻擋了自身境界的提高。人生的大目的忘記了。
Husserl給Weierstrass做過助手，你說呢
哲學是數學的消遣，數學是哲學的具體化。數學哲學只是一種反演，哲學數學算是抽象數學。
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