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E2=p2+m2 這個方程是如何推導出來的？

01-04

或者說這個方程正確嗎
老師說這個方程適用於微觀量子領域
是質能方程完整版
求專業人士解惑

從邏輯上來說，這個方程是洛倫茲變換的直接結果。但是我還想不出一種方法把這個推導簡化到高中的水平。簡單說，這個關係式實際上就是「有質量粒子四維動量的模平方等於靜質量」。注意它用了自然單位制，即 $c=1$ 。

這個關係式，連同狹義相對論一起，已經被大量的實驗和應用所證實，所以無疑是正確的。說它是質能方程的完整版也是可以的，質能方程可以看做它在 $p=0$ 時候的特例。

這個關係一般稱為相對論性能量動量關係，或者也可以成為相對論性色散關係。

如果題主有更具體的問題，歡迎在評論中提出。對於這個問題本身，我想只能先這樣說一說了。

動量： $hat{p_i}=-ipartial_i$

坐標： $hat{x_i}=x_i$

能量： $hat{E}=ipartial_0$

角動量： $hat{L_i}=ifrac{1}{2}epsilon_{ijk}(x^{j}partial^k-x^{k}partial^j )$

對應到粒子理論

根據自旋量為0的Klein-Gordon 方程

$(partial_{mu}partial^{mu}+m^2)Phi=0$

利用上面的對應關係

$(partial_{mu}partial^{mu}+m^2)Phi=$ $(partial_0partial_0-partial_ipartial_i+m^2)Phi$

$=((frac{1}{i}E)(frac{1}{i}E)-(frac{1}{i}p_i)(frac{1}{i}p_i)+m^2)Phi$

= $(-E^2+vec {p}^2+m^2)Phi=0$

整理得

$E^2=vec{p}^2+m^2$ 然後換回自然單位制加上 $c^2$

當 $vec{p}=0$ $E^2=m^2$ 即 $E=mc^2$

四維動量的模平方是一個標量，即在坐標變換下不變，取相對靜止的坐標系可得該不變數是m^2

三個步驟：

1、首先不要被愛因斯坦忽悠，質量如問題中式子所示，是一個與速度無關的不變數。

2、牛頓力學中的守恆量mv，在相對論中不再守恆。所以需要找到一個新的守恆量，要不物理就沒法玩了。

3、問題中的式子應該算作新的守恆量的定義，叫方程是有些牽強的。

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如果從相對論質量公式 $m=frac{m_{0}}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}$ 出發的話其實很容易推導

其中 $m_{0}$ 表示靜質量這樣不會混淆

首先移項

$msqrt{1-frac{v^2}{c^2}}=m_{0}$

等式兩邊同時平方

$m^2(1-frac{v^2}{c^2})={m_{0}}^2$

乘以係數 $c^4$ 並把括弧打開

$m^2c^4-m^2v^2c^2={m_{0}}^2c^4$

利用質能方程 $E=mc^2$ 和動量的定義式 $p=mv$ 有

$E^2-p^2c^2={m_{0}}^2c^4$

像 @馬晨老師說的這裡用了自然單位制有 $c=1$ 所以

$E^2=p^2+{m_{0}}^2$

關於相對論質量公式的推導可以看一下這個回答 SixGR：相對論質量公式是怎麼推導出來的呢？別的答主寫的比我嚴謹

#感謝評論區 @李德甲提示現在改了一點關於如何得到四維速度的問題

第一步

定義四維矢量滿足洛倫茲變換模長不變

第二步

定義四維位移

第三步

四維位移對原時求導得到四維速度驚人的發現四維速度滿足洛倫茲變換模長不變所以是四維矢量

第四步

用四維速度乘以靜質量得到四維能動量驚人的發現四維能動量也是四維矢量

於是模長不變

於是模長就是總能量

job done

錯了吧？

應該是E2＝(pc)2+(mc2)2

高教版《物理學》就有，題主可自己找一本看看，綠皮的那個

物理量帶有平方意味著該量需要去矢化(去方向)，方向在物理學中意味著混亂度，去方向是一種簡化方法，往往意味著這個物理量是統計規律(因為粒子數量多了，方向就沒有意義)，平方和可拆分意味著:

該統計物理規律在拆分過程中依然保持不變

統計規律在不斷拆分過程中保持不變

這個方程是完整的

直接從時空間隔不變性來的，注意，幾何單位制哈

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