為什麼晶體內原子振動可以等效為簡諧效應?

已知簡諧效應的特徵是F=-k·r，而晶體內原子之間的引力是1/r2的量級，斥力也是r的n次方的倒數的量級，那麼這個簡諧效應是由什麼等效而來的呢?

當然也有可能不是簡諧的，但這種情況不多。

重點是，斥力和引力符合1/r^n的規律是適用於遠離平衡位置的。在平衡位置附近，斥力和引力的函數需要光滑的連接起來。人們可能並不知道它的具體函數形式是什麼。

然而，對於一個未知的勢能函數，在穩定平衡位置附近做泰勒展開，其一階項必然為零(因為是平衡位置)。二階項如果不為零，則此時如果我們考慮的在平衡位置附近的振動是微小的，那麼就可以採取這個二次函數為勢能的近似，忽略高階。而二次函數為勢能，就是簡諧振動啦。

因此，除了勢能函數展開的二階項係數為零這個時候我們需要考慮第一個不為零的高階，一般的在平衡點附近的微小振動都是可以用簡諧振動描述的。

謝邀～

為什麼要用諧振子模型來研究固體

首先要明白兩點

1. 諧振子模型比較精確

2. 量子力學中，諧振子模型是有解析解的

好了，下面我們來看一下，在一般情形下，為什麼晶格振動可以等效為簡諧振動

為了建立起運動方程，我們首先要對原子之間的相互作用力做些討論，設在平衡時，兩原子的相互作用勢為V(a)，產生相對位移後勢能發生變化是V(a+δ) ，將它在平衡位置附近做泰勒展開：

首項是常數，可取為能量零點，由於平衡時勢能取極小值，第二項為零，簡諧近似下，我們只取到第三項，即勢能展開式中的二階項（δ^2項），而忽略三階及三階以上的項，顯然，這隻適用於微振動，即δ值很小的情況。此時，恢復力：

相當於把相鄰原子間的相互作用力看作是正比於相對位移的彈性恢復力。

β稱為恢復力常數

再補一張圖，更直觀點

晶格動力學1 - 知乎專欄

所以，使用諧振子模型來研究固體是有效的，但只在原子做微振動時比較精確。

對於熱傳導等問題，諧振子模型將不再適用。

我們知道，晶體之所以能夠達到熱平衡，是因為晶體內部有熱傳導。而諧振子模型將晶格振動簡化為線性獨立的諧振子，顯然諧振子模型並沒有考慮格波的相互作用，這樣晶體內部就不會有能量交換，晶體也就不能達到熱平衡。這是諧振子模型的一個缺陷之一。

為什麼分子間電磁力是平方反比關係，宏觀層面上應力卻與應變呈正比？ - 知乎

1、原子間作用力不是兩個點電荷的簡單作用，從某種程度上看，它屬於多個點電荷作用的疊加。而疊加後的力不一定是平方反比的。

2、 應力應變正比關係的本質是簡諧近似，來源於能量穩態附近泰勒展開的二階近似（穩態的一階為0）

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1、分子間或原子間相互作用是個非常複雜的問題，寫出來可以寫一本書。這裡只簡單說說涉及本題的內容。沒錯，在原子尺度上，幾乎所有的力都源自電磁相互作用。但電磁作用不是題主想像的兩個點電荷之間的庫侖平方反比作用，它可能是這樣的：

把原子極端的簡化為由多個電子以及一個原子核組成，那麼孤立的原子整體是球對稱且不帶電的，但兩個原子靠近時正負電荷中心會發生偏移，產生電偶極矩。兩個原子之間的作用勢能不再正比於r^-1，而是正比於r^-6。

這就是我們常說的范德瓦爾斯相互作用。

除了范德瓦爾斯作用，原子間還存在諸如泡利排斥作用，以及各種各樣的化學鍵。總之，雖然二體電磁力是平方反比的，但不代表多體的力也是平方反比的。原子原子間的作用能大多數是這種形狀的：

2、能量上的穩態意味著體系在勢能面上處於某個極小值，在該極小值出進行泰勒展開，極小值的一階項為0，通常僅僅取二階項近似處理，在偏離極小值不遠處，二階近似是合理的

注意，這是能量示意圖不是力的示意圖。能量對坐標求一階導就能得到力。由於我們只去能量的二階近似，求導後得到的力是坐標的一階函數，即線性函數。————————————

所以，只要處於穩態附近，足夠微小的應變一定是與應力成正比的。這無關體系中力的物理本質，而是由更基礎的的數學本質決定。

所謂的簡諧近似，就是對勢能在平衡位置進行泰勒展開後保留兩項（因為是平衡位置，所以第一項為0）。 ，n是晶體的自由度，x是笛卡爾坐標。

很容易得到 ,i=1，2， ……n。

上式表明，在平衡位置附近原子的振動可以近似為n個諧振子的振動，而且沒有耦合。

互相獨立的簡諧振動這一模型可以解釋用來解釋晶體的熱容。

但是很明顯，如果真是這樣，晶體內部和晶體之間就不會有熱傳遞。而且勢能只取到第二項，其勢能函數關於平衡位置對稱，內能變化帶來的體積變化也就無法解釋。這些都是非簡諧效應帶來的結果。取到勢能的第三項就會得到

這就說明各振動之間是存在耦合的。

對於振動之間的耦合，利用聲子更為方便。對於熱膨脹，因為大部分晶體在平衡位置的三階導數小於0，所以隨著溫度升高而膨脹。