關於傅立葉變換和拉普拉斯變換的轉化問題?

01-04

根據拉普拉斯和傅立葉變換的定義，是不是所有的傅立葉變換都可以等價為拉普拉斯變換當β=0是的值？那麼上面的結果應該怎麼化成相等的形式？

$L{sin(t)u(t)}=frac{1}{1+s^2},Re{s}>0$

在複平面的虛數軸上拉普拉斯變換等於傅里葉變換，但是這裡虛數軸並不在拉普拉斯變換的收斂域內。

你這裡的問題其實不是出在Fourier Transform和Laplace Transform關係上，而是在 $sin(t)$ 上。 $sin(t)$ 是周期函數，不滿足Dirichlet條件中的絕對可積，因此通常意義上不存在Fourier Transform，其Laplace Transform的ROC不包含虛軸也說明了這點。而上面 $sin(t)$ 的Fourier Transform是通過引入 $delta (t)$ 後在緩增廣義函數空間里的Fourier Transform

兩者收斂域不相同

不知道你知不知道Sokhotsky（大概）公式，

$lim_{epsilon o 0^+}frac{1}{x-i epsilon}=i pi delta(x)+ PV(1/x)$

帶進去，最後一項是為零，所以這裡從Laplace變換得到Fourier變換還是make sense的，不過是在弱收斂的意義下，具體的說sint 的Fourier 變換是一個with compact support的tempered distribution，而後你可以導出sint 是一個analytic（廢話），並且還有sint 的Fourier 變換一定是一個analytic over some cone in C的tempered distribution的邊界值，你還可以用公式算出前者，而這就是Laplace變換，具體可以看一下Reed and Simon, methods of modern mathematical physics講Paley Wiener conditions那裡（Wiener是搞控制論，估計命名不是巧合吧），看完這個後你就可以看Wightman 公理化場論了_(:зゝ∠)_

請看雙邊拉普拉斯變換（Bilateral Laplace transform），疑惑可解矣。

-------

我猜造成你困惑的原因是因為剛你書上講的都是單邊拉氏變換，讓人覺得這與fourier變換形式很像，其實這二者並不同。我記得學信號與系統的時候學的都是因果系統吧，因此響應函數都是t=0以後才有值，因此單邊拉氏變換很適合分析此類系統。