你最喜歡的數學定理是什麼？

01-04

今天上課教授拋出了一個問題：你最喜歡的三個定理是什麼？在此問問諸位知友心中最喜歡的數學定理，一個就好，兩個不嫌多。

Fubini定理

(

窩是說這個↓

)

最驚艷的地方在於X和Y上的測度可以不一樣，比如一個是計數測度一個是Lebesgue測度，這樣的話效果就是求和和積分換序。(隨便干_喵棟臉.jpg)

暫時來講，給我的感覺是很多東西其實都可以從積分角度解決。對於一個以前遇到的都是從求和搞極限推廣到積分的孩子來說，很震撼。

但是沒想明白Fubini定理是不是基本上解決了數分三含參變數積分那塊兒關於兩個無窮積分換序的問題！總覺得...Fubini定理換序的時候一致收斂去哪了？？？

Anyway...

春風十里，不如你，不如還沒看透的Fubini定理。

哦哦哦哦哦，還有Vitali覆蓋定理。同樣並未參透，同樣非常實用。

其實學過的各種覆蓋定理都挺有好感。一來它們引起了範圍大小的質變，二來它們只告訴你有，但是不告訴你是什麼。

看來我就是喜歡好用的啊...不行，下一個喜歡漂亮的。

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所以從評論區的意思+我複習的時候的想法來看...感覺fubini定理和一致收斂那邊的換序，主要區別在於不是同一種積分，以及解決的函數種類和問題並不太一樣(比如一致收斂其實可以搞很多非L1且變號的函數)。

可能理解的還是有些問題，歡迎評論區指點。

非常非常非常感謝評論的諸位大佬不吝賜教。小菜雞真的是特別特別感動。

以及，對沒有及時回復的大佬們道個歉。

我最喜歡Banach不動點定理：

Definition: Let $left( X,d ight)$ be a metric space. Then a map $T:X ightarrow X$ is called a contraction mapping on $X$ if there exists $qin [0,1)$ such that $dleft( Tleft( x ight), Tleft( y ight) ight) leq qdleft( x,y ight)$ for all $x$ , $y$ in $X$ .

Banach Fixed Point Theorem: Let $left( X,d ight)$ be a non-empty complete metric space with a contraction mapping $T:X ightarrow X$ . Then $T$ admits a unique fixed-point $x^{*}$ in $X$ , i.e. $Tleft( x^{*} ight) =x^{*}$ . Furthermore, $x^{*}$ can be found as follows: start with an arbitrary element $x_{0}$ in $X$ and define a sequence $left{ x_{n} ight}$ by $x_{n} =T(x_{n-1} )$ , then $x_{n} ightarrow x^{*}$ .

這個定理和它的證明過程都很有畫面感，像沙漏里的任意一顆沙子，在慢慢滑向中部那個微小的孔口。

說幾個硬的

1,黎曼幾何裡面的hodge theorem，主要用到rellich lemma和緊嵌入加上weyl lemma來證明。

2,復幾何裡面L2估計，用來得到/partial bar方程的解的存在性。

3,moser迭代，經典技術，用來得到Lp估計。

4,熱方程的梯度估計，用來處理一些ric曲率有下界的manifold。

5，譜分解，用來得到一族同倫運算元指標的不變性。

好看有什麼用，我就喜歡硬的。

諾特定理Noether"s Theorem:

If a system has a continuous symmetry property, then there are corresponding quantities whose values are conserved in time.

如果一個系統有任意一種連續對稱的性質，那麼必須有一個量是守恆的。

或者：

To every differentiable symmetry generated by local actions, there corresponds a conserved current

每一種由局域作用所產生的對稱性都對應一守恆流。

格林公式、分部積分、stokes定理。本質上是一個東西：

$int_{M} domega=int_{partial M} omega$ .

學偏微分方程的人需要每天和它打交道，學會花式玩弄這個定理，那麼你偏微分方程就算入門了（by Lax）。我在自己的專欄裡面介紹過這個定理的一個應用：如何用它證明brouwer不動點定理的一個關鍵引理：

我附上專欄鏈接，我在裡面介紹了這個定理的不同證明方法。

Banach空間和不動點定理（完）：有趣的Brouwer不動點 - 知乎專欄

瀉藥，說個小的定理

在複數域上的一般線性群是path connected的。這個定理本身並不是非常深刻或者說非常非常艱深，但是其證明我很喜歡。

考慮兩個可逆復矩陣 $A,B$ 及

$det(tA+(1-t)B)$ ， $left| t ight| leq 1$

根據代數基本定理，使這個行列式為0的複數個數不超過n個，可數個點是不能分割平面的，所以一定可以找到一條路，繞過所有使行列式為0的點，連接 $A,B$ ，證畢。

一直被這個證明所打動，非常非常漂亮。

科西積分表示定理聯繫了局部和整體，非常漂亮簡潔，感覺深入復變精髓啊～

代數拉格朗日定理把群元素按等價關係分類，整個抽象代數的思路都清晰了

學概率論遇到一個，期望的定義。我開始一直以為概率論在講廢話，後來發現有些離散的難求的期望（組合恆等式），分解成好求的隨機變數之和，一步就出來了。源於積分的線性性質，感覺開始有意思了。

廣義斯托克斯公式。

想到這個非常漂亮規整卻又無所不包的形式，就覺得自然界的規律一定都有一種統一的美。

$int_{M} domega = int_{partial M} omega$

黎曼映照定理：複數域上的單連通開集總是可以全純映射到開單位圓上，並且這個映射可逆。

也就是複數域上的單連通開集都是「雙全純等價」的。

還有一個更進一步的名字很長的定理忘了叫什麼。

連通的交換緊李群總是代數同構於Tori。

Tori是複數域上的單位圓關於乘法構成的群的直和，這個詞有花環的意思，單數為Torus。

蓋爾方德-瑪祖定理：含幺的任意非零元可逆的復巴拿赫代數總是等距同構於複數域。

可分無窮維Hilbert空間等距同構於l^2。

這個定理似乎沒有名字但是很喜歡。

這些東西在我眼裡是非常重要的東西，它們告訴你研究了a，就相當於研究了b。

想想還是不寫了估計我的理解還是比較幼稚的。

在回答中看到熟悉的若當曲線定理（Jordan Curve Theorem ）還有蒂茨擴張定理（Tietze Extension Theorem) 好開心，因為本科階段誤入數學分析的大坑，曾經對著這兩個定理髮呆了很久。主要想在這裡提一下蒂茨擴張定理。

首先先向Heinrich Franz Friedrich Tietze本人致敬。

沒有這麼偉大的數學家，就沒有這個定理。

那麼來講一下為什麼本人對這個定理情有獨鍾。

故事還要追溯到一個夜黑風高的夜晚（好吧，其實也就5點鐘，但是英國冬天黑天特別早），我和英國小哥「拍垂克」一同在院長辦公室外等著胸毛巨長的法國老師『佇立安』來院長面前講我們的壞話（其實是讀學期報告）。

等待著，等待著。。。。。。

長毛「佇立安」一直還未出現。

也許他還在法國妻子溫柔的床上，也許他紅酒喝太多了醉醺醺地走錯了方向，也許他因為英文太差，發出去的英文論文又被退回了自己忙著在辦公室用grammarly 查語法。。。。。。

因為等待太無聊，我就拿出了自己的論文稿子反覆查看自己論文證明，因為被院長和法國長毛老師「訓斥」之後要立刻衝到三一分院去見另一個導師談論文。

正好在看到這個 Tietze Extension Theorem證明的時候，「拍垂克」好奇地湊了上來，和我一同閱讀。

「你竟然有這個定理的證明！我正好在找，快拿來給我看看！"說著，「拍垂克」就一把搶過我的論文。

。。。。。。

我一臉懵逼的愣在了那裡。

大概過了十秒，我才反應過來。不對，他是我的競爭對手，怎麼能讓他免費拿到我的勞動成果。

於是我開始怒氣沖沖地去撕搶。

混亂之中，把那一頁，扯下來一大半！

「拍垂克」還在奮力爭搶。

情急之下我就把那大半頁紙全部塞進了嘴了。（此處若要模仿請慎重）

真！的！是！全！部！塞！進！了！嘴！里！（我怎麼可以做出這麼不淑女的事情。。。。。。）

咀嚼一下，「好香」！

只有吃進自己肚子里的東西，才會永遠的記在心裡。

好了，我們現在就步入正題，正式講一下這個定理，以及分享一下被自己吃進肚子里的證明。

注1：因為是寫的英文版本，所以提供了自己的英文原稿以及中文翻譯，如有翻譯不太準確的地方，請大家多多指教

注2：以下證明通過翻譯Hausdoff 1919 年發表的德文的文獻以及和自己導師的共同探討改進完成的，所以轉載請聯繫本人並註明出處

注3: 虛心接受證明上任何改進意見

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（論文原稿截圖1）

譯：（蒂茨擴張定理）使 $X=mathbb{R}^n$ , $fcolon A omathbb{R}$ 是一個連續函數， $A$ 是 $mathbb{R}^n$ 有界閉子集。那麼，有一個連續的函數 $ar{f}colon X omathbb{R}$ 使得 $overline{f}!mid_{A}=f$ , $overline{f}$ 叫作 $f$ 的連續擴張。

證明過程：

（論文原稿截圖2）

譯：我們定義一個這樣的 $overline{f}$ 使得

$overline{f}(x):=egin{cases} f(x) mbox{ if } xin A,\ inf{f(a)+frac{d(x,a)}{d(x,A)}-1 colon ain A} mbox{ if } xin Xsetminus A. \ end{cases}$

這裡 $d(x,A)=inf_{ain A}d(x,a)$ 。

首先我們需要證明這個函數是符合定義的。因為 $A$ 是閉合併且有界的，通過海涅-博雷爾定理（Hein-Borel Thoerem），我們可以判定 $A$ 是緊緻（compact）的。又因為 $f$ 是連續的， $f(A)$ 是緊緻的，因此， $f(A)$ 是閉合併且有界的。所以我們可以假設 $|f(x)|leq k$ ，這裡 $k$ 是一個正常數。另一方面，對於所有 $xin Xsetminus A$ ， $d(x,A)>0$ 並且 $frac{d(x,a)}{d(x,A)}geq 1$ 。所以，這個函數 $overline{f}$ 是符合定義的。

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（論文原稿截圖3）

譯：通過 $overline{f}$ 的定義，我們知道 $overline{f}geq -k$ 。並且，如果 $a_j$ 是一序列使得 $d(x,a_j) ightarrow d(x,A)$ 的點，那麼， $overline{f}(x)leq k+frac{d(x,a_j)}{d(x,A)}-1 ightarrow k$ 。有了這些準備，現在我們可以開始證明 $overline{f}$ 是連續的。

顯而易見，在 $A$ 上， $overline{f}$ 是連續的。

在 $Xsetminus A$ 上， $overline{f}$ 也是連續的。對於每一個 $xin Xsetminus A$ ，我們都可以找到一個 $ain A$ 使得

$egin{equation}label{definiton of inf} f(a)+frac{d(x,a)}{d(x,A)}-1<overline{f}(x)+1. end{equation}$ （2.1.1）

重新排列，我們得到， $frac{d(x,a)}{d(x,A)}<overline{f}(x)+2-f(a)<2k+2.$

因此， $d(x,a)<c d(x,A)$ ，這裡 $c$ 為常數。確定一個點 $x_0in Xsetminus A$ ，讓 $delta_0=frac{d(x_0,A)}{2}$ 。現在，考慮一個能使得 $d(x,x_0)<delta$ （ $deltain(0,delta_0]$ ）的 $x$ ，我們可以找到 $ain A$ 使得

$egin{equation}label{equation with delta} f(a)+frac{d(x,a)}{d(x,A)}-1<overline{f}(x)+delta. end{equation}$ （2.1.2）

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（論文原稿截圖4）

譯：所以，我們可以推出 $egin{align*} overline{f}(x_0)leq f(a)+frac{d(x_0,a)}{d(x_0,A)}-1mbox{ (by definition of } overline{f})\ < overline{f}(x)+delta+frac{d(x_0,a)}{d(x_0,A)}-frac{d(x,a)}{d(x,A)} mbox{ (by 2.1.2})\ =overline{f}(x)+delta+frac{d(x_0,a)-d(x,a)}{d(x_0,A)}+d(x,a)(frac{1}{d(x_0,A)}-frac{1}{d(x,A)})\ <overline{f}(x)+delta+frac{delta}{d(x_0,A)}+cd(x,A)left(frac{delta}{d(x_0,A)d(x,A)} ight)\ <overline{f}(x)+deltaleft(1+frac{c+1}{d(x_0,A)} ight). end{align*}$

同樣，通過交換 $x$ 和 $x_0$ ，我們可以得到，

$overline{f}(x)<overline{f}(x_0)+deltaleft(1+frac{c+1}{d(x,A)} ight).$

對於所以 $varepsilon>0$ ，我們選擇 $delta>0$ 使得 $deltaleq delta_0$ ， $deltaleqvarepsilonleft(1+frac{c+1}{d(x_0,A)} ight)^{-1}$ ，並且 $delta<varepsilonleft(1+frac{c+1}{delta_0} ight)^{-1}$ 。例如， $delta=min{varepsilonleft(1+frac{c+1}{delta_0} ight)^{-1}, delta_0}$ 。

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（論文原稿截圖5）

譯：所以當 $|x-x_0|<delta$ 時， $|overline{f}(x)-overline{f}(x_0)|<varepsilon$ 。

現在我們需要檢查在邊界的連續性。確定一個 $x_0in partial A$ 。我們想要證明，對於所有 $varepsilon>0$ ，存在 $delta>0$ 使得對於 $xin Xsetminus A$ ，從 $d(x,x_0)<delta$ 可以推出 $overline{f}(x)-overline{f}(x_0)|<varepsilon$ 。首先假設 $d(x,x_0)<delta$ （ $delta>0$ ），所以我們需要證明怎麼選擇這個 $delta$ 。利用（2.1.2）以及 $frac{d(x,a)}{d(x,A)}-1geq 0$ 的事實，我們可以推出對於某些 $ain A$ ， $f(a)-delta<overline{f}(x)$ 。所以， $f(a)-f(x_0)-delta<overline{f}(x)-f(x_0).$

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（論文原稿截圖6）

譯：因為 $f$ 在緊緻集 $A$ 上是連續的， $f$ 一致連續（uniform continuous)。所以對於所有 $varepsilon>0$ ，都存在 $delta^{prime}$ 使得當 $d(b,a)<delta^{prime}$ ( $a,bin A$ ), $|f(b)-f(a)|<frac{1}{2}varepsilon$ 。因為 $d(a,x_0)leq d(a,x)+d(x,x_0)<cd(x,A)+d(x,x_0)<(c+1)delta$ ，我們可以找到一個點 $a_xin A$ 使得 $overline{f}(x)leq f(a_x)+frac{d(a_x,x)}{d(x,A)}-1< f(a_x)+delta.$ 所以

$overline{f}(x)-overline{f}(x_0)< f(a_x)-f(x_0)+delta.$

又因為 $d(a_x,x_0)leq d(a_x,x)+d(x,x_0)<d(x,A)(1+delta)+delta<delta(2+delta)$ ，我們選擇 $delta>0$ 使得 $deltaleq frac{1}{2}varepsilon$ ， $(c+1)deltaleq delta^{prime}$ 並且 $delta(2+delta)leqdelta^{prime}$ 。例如，當 $delta=min{frac{1}{2}varepsilon,frac{delta ^{prime}}{c+1},sqrt{1+delta^{prime}}-1},$ 每當 $d(x,x_0)<delta$ ， $|overline{f}(x)-overline{f}(x_0)|<varepsilon$ 。

因此我們可以得出結論 $overline{f}$ 就是我們想要的函數。

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--------------------------------------------------------------------------------------------------------PS: 第一次在知乎用latex 回答問題好開心呢～～

更多關於這個定理的擴展及應用，還可以參見陶神博客

Tietze extension theorem | Whatamp;amp;amp;#x27;s new

排名不分先後。以不專業的本科生視角來看。分析領域的比較多。（因為又笨又懶所以代數和幾何幾乎沒學懂多少。。。）

1.數學分析的有限開覆蓋定理（其實應該歸類為一般拓撲學？）。緊緻性真是讓你又愛又恨。

2.數學分析的Riemann可積的充要條件。古典分析學理論的最高成就。

3.常微分方程的皮卡定理。證明過程非常經典。其解決的存在、唯一性問題是微分方程理論的核心問題。

4.複分析的柯西積分公式。蘊含著複數獨特的奧秘。

5.用環論所證明的中國剩餘定理。體現出抽象代數對數論的重要作用。在我看來，代數是數學的核心。本來也想寫伽羅瓦理論，但是實在沒學懂。慚愧。

6.一般拓撲學的Uryson引理及Tieze擴張定理。揭示出T4空間的等價條件，後者的應用更強大。證明技巧也很奇妙。

7.一般拓撲學中度量空間的緊緻性與列緊性的等價。這個定理讓緊緻性和度量空間變得直觀而又深刻。依然是讓人眼前一亮的證明方法。其中delta網的構造揭示出度量空間良好的性質。

8.實分析中的Lebesgue控制收斂定理。它為積分與求極限換序提供了充分條件，體現了Lebesgue積分的先進性。

9.概率論中的貝葉斯公式。對數理統計學的思想方法產生了深遠的影響。

10.概率論中的大數定律和中心極限定理。大數定律嚴格地證明了概率與頻率之間的關係，中心極限定理揭示了隨機變數序列部分和與正態分布的聯繫。它們都為統計學提供了理論基礎。

11.補一個，高斯絕妙定理。。。看這名字，就很有趣吧。。。然而寶寶到現在都背。不。下。來。。。

目前的看法:

分析:廣義FTC: f是定義在[a,b]上的函數。f在[a,b]上存在原函數，當且僅當f在(a,b)上平均連續，且在[a,b]上HK可積。

代數:二次互反律: $(frac{p}{q})(frac{q}{p})=(-1)^{frac{(p-1)(q-1)}{4}}$ .

幾何:斯托克斯定理:

$int_{partialOmega}omega=int_{Omega} extrm{d}omega$

擺幾個這學期課上學到的

測度論的Radon-Nikodym定理

這個定理有很多神奇的用法，例如用來證明Riesz表示定理，Lebesgue積分的變數轉換公式、等等

拓撲的Tychonoff定理

是Alexander引理的簡單推論，依賴於選擇公理的典型證明，還挺有意思的。

Urysohn引理和度量化定理

Urysohn幾個定理和證明都很讓人耳目一新。引理的證明裡用到了有理數的稠密性，度量化定理的證明裡把任意T4和有可數基的拓撲空間都可嵌入到l^2空間里。有種「居然這都能證」和「居然還能這樣證」的感覺。

一種通俗的說法是：平面上任何一條不自交的閉合曲線總是把平面分成兩個不相連的部分。每個部分自身是連通的並且以該閉曲線為邊界。

(你再說一遍？)

若當曲線定理(Jordan Curve Theorem)

A Jordan curve or a simple closed curve in the plane R^2 is the image C of an injective continuous map of a circle into the plane, φ: S^1 → R^2.

平面R^2中的若當曲線，是從圓S^1到平面R^2的一個連續單映射的像。

Let C be a Jordan curve in the plane R^2. Then its complement, R^2C, consists of exactly two connected components. One of these components is bounded (the interior) and the other is unbounded (the exterior), and the curve C is the boundary of each component.

設c為平面R^2上的一條若當曲線。那麼c的補集R^2c由兩個不同的連通分支組成。其中一個分支是有界的（內部），另外一個是無界的（外部）。c就是任何一個分支的邊界。

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沒錯我就是喜歡這種給人感覺「你們數學家就是腦子有毛病」的定理。總能令我感覺沒白學數學=。=

類似的還有Banach-Tarski定理：

「分球怪論」是什麼？ - cmy28 的回答 - 知乎

(通俗)：三維空間中的一個球可以被分為互不相交的有限的幾個部分，通過平移和旋轉，再做互不相交的重新拼接，就能得到兩個和原球等大的球。

(現實世界就是三維的，那你給我做一個試試？

…然而並不能。)

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註：有心關注的話，Jordan Curve Theorem有兩個很好的推廣，分別是Jordan–Brouwer separation theorem和Jordan–Schoenflies theorem。前者描述了高維情況，後者描述了這兩個區域分別與圓盤的內部及外部同胚。

知道的定理非常有限，能理解其意思的就更少了，而且還有很多還給了老師。隨便說說：

微積分基本定理及其高維推廣：即牛-萊公式、格林公式、斯托克斯公式和高斯公式，以及那個用什麼微分形式寫成的統一形式。

黎曼可積的一個充要條件：閉區間上的函數黎曼可積的充要條件是其不連續點的勒貝格測度為零。

素數分布定理：對充分大的 x，不超過它的素數個數作為無窮大量等價於 x/ln(x)。

Modularity thm, 又稱Taniyama-Shimura-Weil 定理,揭示了橢圓曲線和模形式的聯繫。費馬大定理相當於這個定理的推論, 當然Wiles證明了費馬最後定理只需證明semistable的橢圓曲線就夠了。

Ito Lemma，沒有之一

祖暅定理；閉區間上的連續函數是一致連續的；黎曼可積等價於幾乎處處連續。

單復變里的柯西積分定理，在單復變的積分和級數理論里，簡直是基石。

還有一個數值逼近里，n個點上的多項式逼近（包括多重導數）的余項估計的證明，簡直是神來之筆，看了有一種恍然大悟的感覺。

西羅定理，群在集合上的作用的運用，短小精悍。

應該是這個吧：G?del』s Incompleteness Thoerem.

大一時候看到的，徹底改變了對數學的認知：我們知道我們知道什麼，但我們永遠不知道我們不知道什麼。