關於羅素悖論?

01-04

羅素悖論:
1包含自身的集合O

2不包含自身的集合C
3不自含集的總集X 那問:X是自含還是不自含？
答:

1不自含(集);
根據3，則推出為自身的元素。矛盾。
2自含(集);
根據3，則推出不為自身的元素。又矛盾！
*不論你回答是與不是，都自相矛盾。

分為自含與不不自含，符合二分法(排中律);
而集X&>集X，這違反了同一律！包含自身的集合不存在！
·問題出在這裡，從這裡開始錯誤。

這論證了集合不能包含自身——而那是羅素所生硬規定的。
*1符合排中律
2違反同一律
3違反矛盾律

(看書看到看了點羅素悖論，就想了想，思考出上面的那些論述。我發現羅素悖論的問題後，就查了下，看到有說"需要提醒的是，羅素悖論並沒有解決，真類只是人為規定的。") *想問一下專業人事，我這上面的思考對嗎？

謝邀。下面分別對應題主的3步驟推理進行評論:

1.將集合分為自含和非自含的（姑且全都使用題主的術語吧），是二分法，而不是排中律。只有當我們說，一個集合要麼是自含的，要麼不是自含的，才是排中律。現在，羅素做出了一個「奇怪的」集合：（i）如果它是自含的，那麼可以推出它是非自含的；（ii）但如果說它是非自含的，卻又可以推出它是自含的。（i）與（ii）合起來構成一個矛盾。在此情形下，我們首先傾向於否認存在羅素構造的那個集合，而不是在那個集合存在的假定下去討論它到底是自含還是非自含的。

2.我沒搞懂為什麼允許一個集合A包含自身，就會使這個集合A大於集合A了？比如有這樣的一個集合B，它是所有集合的集合。很明顯集合B包含自身，但是這裡卻並沒有引發羅素悖論。可見，羅素悖論的產生與允不允許一個集合包含自身沒有直接關聯。而且，像集合B這樣的集合併未違反同一律。你要判斷集合的大小，得去考慮它的成員，它的外延。集合的同一性是由外延公理界定的。

3.羅素構造的集合確實違反矛盾律了，但誠如上一點所言，這不是由於羅素允許集合包含自身導致的。（補充：標準集合論通過一些公理排除了包括羅素構造的集合在內的一大堆奇怪的自含集合。非標準集合論相對而言更「寬容」一點，容忍了少量的自含集合，儘管它也把羅素構造的那種集合給排除了。）

注意！羅素悖論並不是基於對同一律的違反，論證出集合不能包含自身。當然，羅素悖論是一個關於自指的問題，如果題主對自指引發的邏輯悖論感興趣，最好去關注一下現代最偉大的邏輯學家哥德爾的邏輯成就 (⊙o⊙)

我不是很確定是否看懂了你的思考結論。

你認為通過直接規定集合不能包含自身來避免悖論過於生硬？

如果是這個結論，你說的很有道理。但羅素悖論並不是單純通過這個規定避免的。羅素自己引入了類型論。而更為廣泛使用的是現代集合論公理系統中的WF（well foundness）公理。這兩個方式都比直接規定集合不能包含自身要自然，雖然他們的最大的目的是避免存在包含自身的集合。

此外羅素悖論的產生主要是因為把全體集合作為一個集合來處理導致的。並且羅素悖論已經得到解決（集合論的無矛盾性），雖然根據哥德爾定理我們無法證明集合論無悖論，但大多數人都相信，並且這個理論如此簡潔。如果你因為集合論無矛盾無法證明而認為羅素悖論沒有解決，那自然數論的無矛盾性也是懸而未決的。

硬生生規定的不是集合不能包含自身。

而是不自含集的總集X 這句話。

不自含集的「總集X「本身不是一個集合。