音叉振動產生的聲波是嚴格的正弦波么？

01-04

敲擊音叉產生的聲波是嚴格的正弦波還是近似的？假使只考慮振動初期（不考慮振幅隨時間衰減的情況），以及考慮「理想音叉」，忽略實際音叉由於製造工藝等產生的誤差。以及能否在理論上證明這一點？順便問一下，怎樣的音叉才是「理想音叉」？

沒有嚴格計算，不過如果音叉製造的不好是可能產生諧波的。用簡諧振動來描述音叉振動其實有一些錯誤，它默認了音叉尺寸遠小于波長，所以整個音叉的振動幅度可以用一個集總的參數來描述，對音叉來說，440Hz的頻率，而聲速在金屬中通常高達5000m/s，因此基頻波長一般大於10米，滿足尺寸遠小于波長，但高次諧波有可能出現波長小於音叉尺寸的情況，如果形成駐波，就可能出現其他頻率的諧波，因此音叉應該是考慮了如何抑制這些雜波的問題（比如Y造型可能就是）

這個問題分為兩個部分：其一是音叉的振動是不是單頻簡諧振動；其二是音叉產生的聲波是不是單頻的簡諧波。

第一個部分，簡單地回答：不是。一方面因為音叉本就不是一個完美的簡諧系統，另一方面敲擊的過程也不是完美的一瞬間。

音叉大概可以看做一個底部固定而上端自由的金屬桿，我們就先從這個模型入手。這樣一根桿的振動，在小振幅下可以看做簡諧系統，由以下方程描寫：

$ddot x + omega ^2 x = 0$

我們忽略了阻尼，因為阻尼並不影響振動頻率。當我們敲擊它時，實際上是給方成右端加上了一個時間極短的力：

$ddot x + omega ^2 x = f delta (t)$

這個方程解下來，我們會得到一個單一頻率的振動。所以在完美簡諧系統和完美瞬時敲擊的情況下，我們的確可以獲得單頻率振動的音叉。

但是，敲擊一定不是瞬時的，總有一個持續時間，這就意味著右邊實際上是一個展寬很小但有限的函數：

$ddot x + omega ^2 x = f(t)$

我們可以把方程右邊展開成傅里葉級數。因為這個方程是線性的，所以我們實際上只需要對級數每一項解方程，然後把這些解加起來。所以我們需要解這樣樣子的一些方程：

$ddot x + omega ^2 x = A cos(Omega t)$

這種方程的解是容易得到的。

##這種方程的一個性質是：無論怎樣的初條件，經過足夠長的時間後，方程的解總會穩定在以右邊的頻率 $Omega$ 為頻率的振動上。於是一般情況下，由於敲擊力雖然很小但有限的展寬，我們得到的也是有著很小展寬的振動。##

（上面的推理是不對的，事實上只要是有限時間內存在的外力，撤除之後都是自由振動，於是只有特徵頻率，確實是嚴格正弦波。詳情參見@根號派的答案）

我猜由於非瞬時敲擊引起的偏差要比非簡諧效應大得多：一方面音叉由於是金屬的並且較短，所以振幅一般都很小，往往需要一個共振腔才能發出足夠大的聲音；另外敲擊是由人來敲，並且常常用木質或者橡膠質小錘，所以敲擊的非瞬時性往往很大。不過我懶得做估計了……

至於非簡諧效應，就不用多作分析了。如果音叉變形太大的話，非簡諧效應就會出現，也會對系統的振動產生影響。

所以，這兩個方面的原因，導致了音叉的振動往往不是單一頻率的簡諧振動。

似乎現在我們也可以對第二個問題作出同樣的否定回答：因為聲源振動不是單頻的，所以聲波也不是單頻的。僅就音叉而言這個結論沒問題，但是要注意，音叉本身發出的聲波是很小的，所以除非在特別的情況下（例如體檢測聽力），我們都需要一個諧振腔來放大音叉的聲音。想想小學的自然課上，老師拿出來的是一個插在木頭盒子上的音叉，我們聽見的聲音實際上是來自木頭盒子這個諧振腔。諧振腔本身就有對頻率的篩選作用，所以如果音叉振動本身是一個具有很小展寬的尖峰，諧振腔會使得這個尖峰更加的尖，也即使得頻率更加的單一。

總而言之，音叉產生的肯定不是嚴格的單頻簡諧波。引起非單頻的原因有兩個：音叉的非簡諧性和敲擊的非瞬時性。至於如何定義理想音叉，想怎樣定義都可以……

不同意 @馬晨的答案。敲擊的非瞬時性不會影響振動頻率，非簡諧效應才是根本原因。

考慮方程

$mfrac{d^2x}{dt^2}+kx=F(t)$
當 $0<t<T$ 時， $F(t)=F_0$ ；當 $t>T$ 時， $F(t)=0$ 。這代表一個簡諧振子受到有限時間內的恆定外力 $F_0$ 的作用，外力的作用時間為 $T$ 。設初始值 $x(0)=0$ ， $v(0)=0$ ，這個方程的解是
$x(t)=frac{F_0}{k}(1-cos{omega_0t}) (0<t<T)$ $x(t)=frac{2F_0}{k}sin{frac{T}{2}}sin{(omega_0t-frac{T}{2})} (t>T)$
其中 $omega_0=sqrt{frac{k}{m}}$ 是振子的固有頻率。可以看出，在相互作用時間 $T$ 之後，振子仍然以其固有頻率作簡諧運動。敲擊的非瞬時性的影響只體現在振幅項 $frac{2F_0}{k}sin{frac{T}{2}}$ 中，而對振動頻率沒有影響。
這個結果是好理解的，因為鎚子不可能一直和音叉接觸，敲完就拿開了，所以外力的作用時間總是有限的。拿開鎚子後，音叉就是在自由振動。如果沒有非線性效應，那麼就一定是固有頻率的簡諧運動。所以只要振幅不大，非線性效應不顯著，正弦波就是很好的近似。與正弦波的偏離一定是由於非線性效應產生了其他頻率的分量。