音叉振動產生的聲波是嚴格的正弦波么?

敲擊音叉產生的聲波是嚴格的正弦波還是近似的?假使只考慮振動初期(不考慮振幅隨時間衰減的情況),以及考慮「理想音叉」,忽略實際音叉由於製造工藝等產生的誤差。以及能否在理論上證明這一點?順便問一下,怎樣的音叉才是「理想音叉」?


沒有嚴格計算,不過如果音叉製造的不好是可能產生諧波的。用簡諧振動來描述音叉振動其實有一些錯誤,它默認了音叉尺寸遠小于波長,所以整個音叉的振動幅度可以用一個集總的參數來描述,對音叉來說,440Hz的頻率,而聲速在金屬中通常高達5000m/s,因此基頻波長一般大於10米,滿足尺寸遠小于波長,但高次諧波有可能出現波長小於音叉尺寸的情況,如果形成駐波,就可能出現其他頻率的諧波,因此音叉應該是考慮了如何抑制這些雜波的問題(比如Y造型可能就是)


這個問題分為兩個部分:其一是音叉的振動是不是單頻簡諧振動;其二是音叉產生的聲波是不是單頻的簡諧波。

第一個部分,簡單地回答:不是。一方面因為音叉本就不是一個完美的簡諧系統,另一方面敲擊的過程也不是完美的一瞬間。

音叉大概可以看做一個底部固定而上端自由的金屬桿,我們就先從這個模型入手。這樣一根桿的振動,在小振幅下可以看做簡諧系統,由以下方程描寫:

ddot x + omega ^2 x = 0

我們忽略了阻尼,因為阻尼並不影響振動頻率。當我們敲擊它時,實際上是給方成右端加上了一個時間極短的力:

ddot x + omega ^2 x = f delta (t)

這個方程解下來,我們會得到一個單一頻率的振動。所以在完美簡諧系統和完美瞬時敲擊的情況下,我們的確可以獲得單頻率振動的音叉。

但是,敲擊一定不是瞬時的,總有一個持續時間,這就意味著右邊實際上是一個展寬很小但有限的函數:

ddot x + omega ^2 x = f(t)

我們可以把方程右邊展開成傅里葉級數。因為這個方程是線性的,所以我們實際上只需要對級數每一項解方程,然後把這些解加起來。所以我們需要解這樣樣子的一些方程:

ddot x + omega ^2 x = A cos(Omega t)

這種方程的解是容易得到的。

##這種方程的一個性質是:無論怎樣的初條件,經過足夠長的時間後,方程的解總會穩定在以右邊的頻率Omega 為頻率的振動上。於是一般情況下,由於敲擊力雖然很小但有限的展寬,我們得到的也是有著很小展寬的振動。##

(上面的推理是不對的,事實上只要是有限時間內存在的外力,撤除之後都是自由振動,於是只有特徵頻率,確實是嚴格正弦波。詳情參見@根號派的答案 )

我猜由於非瞬時敲擊引起的偏差要比非簡諧效應大得多:一方面音叉由於是金屬的並且較短,所以振幅一般都很小,往往需要一個共振腔才能發出足夠大的聲音;另外敲擊是由人來敲,並且常常用木質或者橡膠質小錘,所以敲擊的非瞬時性往往很大。不過我懶得做估計了……

至於非簡諧效應,就不用多作分析了。如果音叉變形太大的話,非簡諧效應就會出現,也會對系統的振動產生影響。

所以,這兩個方面的原因,導致了音叉的振動往往不是單一頻率的簡諧振動。

似乎現在我們也可以對第二個問題作出同樣的否定回答:因為聲源振動不是單頻的,所以聲波也不是單頻的。僅就音叉而言這個結論沒問題,但是要注意,音叉本身發出的聲波是很小的,所以除非在特別的情況下(例如體檢測聽力),我們都需要一個諧振腔來放大音叉的聲音。想想小學的自然課上,老師拿出來的是一個插在木頭盒子上的音叉,我們聽見的聲音實際上是來自木頭盒子這個諧振腔。諧振腔本身就有對頻率的篩選作用,所以如果音叉振動本身是一個具有很小展寬的尖峰,諧振腔會使得這個尖峰更加的尖,也即使得頻率更加的單一。

總而言之,音叉產生的肯定不是嚴格的單頻簡諧波。引起非單頻的原因有兩個:音叉的非簡諧性和敲擊的非瞬時性。至於如何定義理想音叉,想怎樣定義都可以……


不同意 @馬晨 的答案。敲擊的非瞬時性不會影響振動頻率,非簡諧效應才是根本原因。

考慮方程

mfrac{d^2x}{dt^2}+kx=F(t)
0<t<T時,F(t)=F_0 ;當t>T 時,F(t)=0 。這代表一個簡諧振子受到有限時間內的恆定外力F_0 的作用,外力的作用時間為T 。設初始值x(0)=0v(0)=0 ,這個方程的解是
x(t)=frac{F_0}{k}(1-cos{omega_0t}) (0<t<T)x(t)=frac{2F_0}{k}sin{frac{T}{2}}sin{(omega_0t-frac{T}{2})} (t>T)
其中omega_0=sqrt{frac{k}{m}} 是振子的固有頻率。可以看出,在相互作用時間T 之後,振子仍然以其固有頻率作簡諧運動。敲擊的非瞬時性的影響只體現在振幅項frac{2F_0}{k}sin{frac{T}{2}} 中,而對振動頻率沒有影響。
這個結果是好理解的,因為鎚子不可能一直和音叉接觸,敲完就拿開了,所以外力的作用時間總是有限的。拿開鎚子後,音叉就是在自由振動。如果沒有非線性效應,那麼就一定是固有頻率的簡諧運動。所以只要振幅不大,非線性效應不顯著,正弦波就是很好的近似。與正弦波的偏離一定是由於非線性效應產生了其他頻率的分量。

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更新:

看到很多新的答案說正弦波聲音不好聽,而音叉聲音很好聽,所以音叉發出的聲音肯定不是正弦波。還有說音叉發出的高次諧波使其音色好聽,有金屬質感。

在這裡我要指出兩點:

1.音叉發出的聲音近似為正弦波是沒有問題的。有人說他聽到的正弦波很刺耳,那是因為你設置的頻率太高了。請試著把頻率設置在330Hz左右,再聽一聽是不是很像音叉的聲音,有清脆的金屬質感。

2.高次諧波通常是雜音,不好聽。音叉的聲音好聽就是基音好聽,和高次諧波無關。清脆的金屬質感同樣是基音的特點,參考上面一條。


個人看法:

1. 完全理想的條件下,如 @根號派 所說,把音叉看作一個集中系統或者質點來看待,並且忽略非線性效應,可以產生純粹的正弦波。

2. 但是現實世界音叉不是一個質點,且即使是空氣本身也有一定的非線性效應。那為什麼音叉還能用呢?因為只要基頻符合要求人耳就可以分辨出音高了,其他諧波的產生只是改變了音叉的音色,不會影響音高which決定著音叉的功能。

3. 實際上音叉的音色是很好聽的。各位可以隨便在網上搜一下正弦波的generator(合成器必備的組件)試聽一下正弦波的音色,雖然由於耳機振膜或音箱紙盆以及空氣的非線性效應,多少會有一些高次諧波,你也無法聽到純粹的正弦波,但已經很接近了,會發現正弦波並不好聽……和音叉相差甚遠。

(夾帶私貨:英國樂隊Yindi Halda在上海演出時,最後四人分別拿兩個音叉演奏過一段旋律,不用擴聲設備,只要人群安靜下來,整個場地都可以聽清……音叉的聲音真是又大又好聽。)


當然不是了。


純正弦波的聲音出來就是單純的嘀,很刺耳的那種。類似電話撥號聲(電話撥號是雙頻)。音叉那麼好聽的聲音,有很多高次諧波


當然做不到,但是的確可以近似看成是。

先看整個頻譜。

可以看到一開始的不穩定,到了大概2.5s處的響度最大穩定共振,然後又是不穩定的顫音。

先看1.4s處,的確不是很像正弦。

但是到了2.6s處

基本接近正弦了。

所以我覺得如果是完美音叉,可以做到嚴格的正弦。當然,以上全部是由錄音得出的,所以也有可能有麥克風的問題。


當然不是了,都有相位變化的,也就是相位雜訊pharse noise。


做個小錄音程序測測就知道了。

實測口哨挺像正弦波的。

嗯,俺用示波器看的


你們答題的人裡面,能不能給我解釋一下,我有一點不明白,縱波的波形是通過什麼函數轉化成正弦函數的?聲波明明是縱波呀


首先,既然提到理想音叉,該明確的第一點是現實中不存的,完美震動幅度無縮減及頻率無變動,即無能量消耗情況下,然而聲音本身震動亦是能量傳播過程,故可理解為保證一個音叉規則震動且無止盡提供相同幅度能量的實驗環境在理論上可行,但是很不實際。


啥叫嚴格的正弦波啊,絕對的正玄波當然不可能,但是音叉近似效果是很好很好的

第一,非簡諧效應總是有的,但是音叉振動幅度確實小,可以近似的很好

第二,長條形的東西不可能沒有諧波的,但是音叉的諧波不是跟自己振動而是跟空氣振動,所以小的一逼

最後,請有錢的土豪拿示波器說話。。。我記得音叉的音色在電腦里可以只用正弦波模擬的。。。

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修改:

好吧聽下來完全不一樣,音叉還是多了很多高頻的金屬質感在裡面的


你能聽出來是音叉的音色,就說明不是。純正的正弦波的音色你可以聽一下就知道。

音色是由頻譜決定的。


不是。你生成一套掃頻正弦波聽聽,就是那種刺耳的聲音。那是正弦波的音色,除此之外都是有諧波的。

諧波不同而產生音色不同。


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