關於三維旋轉的歐拉角的問題?

01-04

我想用這種方法代替歐拉角。
在 $mathbb{R}^3$ 中，繞 $x_1$ 軸旋轉 $heta_1$ ，再繞 $x_2$ 軸旋轉 $heta_2$ ，再繞 $x_3$ 軸旋轉 $heta_3$ .

這裡繞某軸轉動的意思是這個軸不動，別的軸所在的平面旋轉。
比如繞 $x_1$ 軸旋轉 $heta_1$ 就是坐標乘以矩陣：
$egin{array}{ccc} 1 0 0\ 0 cos heta_1 sin heta_1 \ 0 -sin heta_1 cos heta_1\ end{array}$

顯然，為了得到所有的旋轉結果，所有的 $heta _i$ 可以限制在 $[0,2pi)$ 內。
能否更進一步縮小範圍？
化為純代數問題就是
所有的 $heta _i$ 可以限制在一個怎樣的最小範圍內，使得：

$left[ egin{array}{ccc} cos heta_3 sin heta_3 0 \ -sin heta_3 cos heta_3 0\ 0 0 1\ end{array} ight]$ $left[ egin{array}{ccc} cos heta_2 0 sin heta_2\ 0 1 0 \ -sin heta_2 0 cos heta_2\ end{array} ight]$ $left[ egin{array}{ccc} 1 0 0\ 0 cos heta_1 sin heta_1 \ 0 -sin heta_1 cos heta_1\ end{array} ight]$
能取其最大範圍（應該就是三維特殊正交群吧）

這其實也是歐拉角... 根據歐拉旋轉定理, 空間中的任何一個旋轉都可以用三個參量表示. 這三個參量就叫做歐拉角. 只是比較常見的是zyz形式的分解而你的分解是xyz形式的(也叫pitch-roll-yaw convention).

所有類型的歐拉角的取值範圍都是一樣的, 只有一個區別. 總是有 $heta_1, heta_3in[0,2pi]$ , 但有時 $heta_2in[0,pi]$ , 對應有重複軸的分解, 比如zyz; 有時是 $heta_2in[-pi/2,pi/2]$ , 對應沒有重複軸的分解, 比如xyz. 這只是一個習慣問題.

最重要的是, SO(3)的拓撲是不平凡的. 因此無論你怎麼取範圍, 總不是雙射, 會有singularity. 比如zyz形式的歐拉角 $heta_2=0$ 或者 $pi$ 時就一個旋轉就不能唯一確定 $heta_1$ 和 $heta_3$ . 這實際上就是萬向鎖的起源.

這個叫做「卡爾丹角」，和歐拉角其實是一樣的。

歐拉角在theta角為0的時候是一個變換奇點，也就是說其變換矩陣行列式為0，所以在描述剛體旋轉姿態的時候往往和「卡爾丹角」結合使用，因為「卡爾丹角」的變換奇點為theta角90度。

話又說回來，現在流行用四元數。