一道行列式，最後結果的係數有什麼方法求？

01-04

$egin{vmatrix} 1/(a_{1}+b_{1}) 1/(a_{1}+b_{2}) cdots 1/(a_{1}+b_{n})\ 1/(a_{2}+b_{1}) 1/(a_{2}+b_{2}) cdots 1/(a_{2}+b_{n})\ vdots vdots vdots\ 1/(a_{n}+b_{1}) 1/(a_{n}+b_{2}) cdots 1/(a_{n}+b_{n})\ end{vmatrix}$

白如冰老師 @白如冰的做法有丘老獲獎論文的暴力美學感。令人敬佩。

以下記 $Delta(a)=prod_{i<j}(a_j-a_i)$

考慮 $m=$ $det (frac{1}{a_i+b_j})prod_{i,j}(a_i+b_j)$ , 根據行列式兩行或兩列相同則歸0的性質得，m在超平面 $a_i=a_j,$ 或 $b_i=b_j$ 上取零，換句話說， $Delta(a)Delta(b)|m$ ,但 $deg Delta(a)Delta(b)=deg m=n(n-1)$ ,故 $det(frac{1}{a_i+b_j})=cfrac{Delta(a)Delta(b)}{prod_{i,j}(a_i+b_j)}$

斷言 $c=1$ ，對n做歸納證明。 $det(frac{1}{a_i+b_j})(a_n+b_n)=cfrac{Delta(a)Delta(b)}{prod_{i,j=1}^n(a_i+b_j)}(a_n+b_n)$ .

左邊讓 $(a_n+b_n)$ 進入行列式最後一列，再取 $a_n=-b_n$ , 會得到 $detegin{pmatrix} left(frac{1}{a_i+b_j} ight)_{i,j=1}^{n-1} 0\ * 1 end{pmatrix}=detleft(frac{1}{a_i+b_j} ight)_{i,j=1}^{n-1}$ .

右邊取 $a_n=-b_n$ 得到 $cfrac{Delta_{n-1}(a)Delta_{n-1}(b)}{prod_{i,j=1}^{n-1}(a_i+b_j)}$ .

現在根據歸納假設得到所需結論 $c=1$

應用：取 $a_i=1/x_i,b_j=-y_i$ 可得Cauchy恆等式：

$R(x,y)=det(frac{1}{1-x_iy_j})=sum_{sigmain S_n}frac{1}{prod_{j=1}^n(1-x_jy_{sigma(j)})}$ .

用Cauchy恆等式配合有限群表示的第一蒸餃關係可以得到組合學中(?)著名(?)的Frobenius特徵公式，取共軛類為單位元得到鉤長公式，也正是S_n的不可約表示維數。細節請移步https://zhuanlan.zhihu.com/p/22466090?refer=shuxuehenyouyisisuoyiyaohaohaoxue@陸zz

https://zhuanlan.zhihu.com/p/22004424?refer=shuxuehenyouyisisuoyiyaohaohaoxue

Cauchy 行列式如果你不想硬展開的話，你注意到它總是一個有理式，所以只需要把零點和極點找到就行。

零點是顯然的，行列式任意兩行或者兩列相等就為零。

極點也是顯然的，因為注意到對於每一個變數u/v，所有的極點都是單極點。

最後取幾個特殊值定一下比例係數就證明了_@白如冰的結果。當然他的做法是最標準的做法也必須要會。

這種行列式似乎有個名字叫：Cauchy"s double alternant ~