為什麼萬有引力定律，庫倫定律都是平方反比？平方反比有什麼含義嗎？

01-04

每次老師都敷衍地說是實驗結論…

庫倫力和引力的大小反比於半徑的平方 $Fpropto r^{-2}$

而我們知道，球面面積公式是 $S=4pi r^2$ ，正比於半徑的平方

二者相乘是一個常數 $F imes S= ext{const.}$

也就是說，庫倫能（靜電能）和引力能，在以「源」為中心的球面上是守恆的

球面面積以平方的速度擴大，同時靜電能量和引力能量以平方反比的速度被「稀釋」

這反映了某種「守恆」的東西——當然，到了大學以後，你會知道這個東西叫做「通量」

那麼如果不是平方反比，意味著什麼呢？

比如三次反比，或者說只要負指數比2大

$Fpropto r^{-(2+delta)}$ ，其中 $delta>0$

那麼說明「稀釋」的速度趕不上球面擴大的速度

意味著在比較遠處，「通量」變小了

或者說，電場或者引力被「攔住」了

能量被「鎖死」在離「源頭」（庫倫力是點電荷，引力是質點）不太遠的地方

就像人被關在房間里出不去一樣

常見的例子是電偶極子（兩個離得很近的正電荷和負電荷形成的一對正負電荷）

電偶極子在遠處就是立方反比

$Fpropto r^{-3}=r^{-(2+1)}$ ，其中 $delta=1$

其實就是說，正電荷產生的電場被負電荷「攔住」了、「拖住」了、「抵銷」了一部分

還有一個例子是等離子體，它「稀釋」的速度更快，是以指數形式下降的

$Fpropto e^{-r/r_{ ext{D}}}$ ，在遠處根本感覺不到電荷的存在

這個特殊性質導致了在電磁學基本定律的基礎上，建立了一個完全新的學科：等離子體物理

比如說正比，或者說只要負指數比2小就算

$Fpropto r^{-(2-delta)}$ ，其中 $delta>0$

那麼說明「稀釋」的速度趕不上球面擴大的速度

意味著到了很遠很遠的地方，「通量」越來越大

到了無窮遠處，「通量」變成了無窮大

於是你會很容易感到某種「不安」

事實上這意味著：在無窮遠處還有某種「東西」存在

這種「東西」從「源頭」一直延伸到很遠很遠處

或者說，產生電場或者引力的「源頭」並不僅僅是點電荷/質點，還有一個可以延伸很遠的東西

常見的例子有兩個，二者其實有本質的區別

一個是彈簧，胡克定律 $Fpropto r=r^{-(2-3)}$ ，這裡的 $delta=3$ ，就符合這種情況

但是事實上，當 $r$ 很大的時候，彈簧就會超過「彈性限度」

也就是說，胡克定律只在離「平衡位置」不太遠的地方才成立

遠了，就會破壞胡克定律，我們叫做，彈簧的性質有一個「截斷」

另一個是「宇宙學常數」，也就是我們經常聽說的「暗能量」

顧名思義，它的性質是常數

$F=r^0=r^{-(2-2)}$ ，這裡 $delta=2$

它隨著「宇宙膨脹」無限延伸，而宇宙又很大

以至於它能夠在總量上超過所有我們熟悉的物質，同時又在我們身邊（近處）體現不出任何影響

而且，似乎暗能量是沒有「截斷」，沒有一個像胡克定律一樣受到破壞的限制的

這個謎團可能意味著某種我們未知的全新的東西

其實還有一個東西，就是庫倫力或者引力，只和半徑的大小有關，而與半徑的方向 $vec{r}$ 無關，其實這也是有物理內涵的，這東西叫做「有心力」，靜電場和引力場又屬於「保守場」，當然這和題目離得比較遠了
總結來說，平方反比定律，意味著非常深厚的根源，有很強大的物理意義，但是受限於中學或者低年級大學本科生，這個意義很難說清楚，而且也會佔用太多的課堂時間，所以老師不得不用「實驗結論」這樣的話來敷衍

如果題主是中學生，可能聽說過高斯定理吧（電通量正比於曲面內的電荷總數）。顯然如果不是平方反比率，那麼高斯定理就不對了。像高斯定理這種在數學上這麼『優美』的定理，必然是對的，所以一定是平方反比，而不是2.00000001次方反比。沒錯，這就是理論物理學家略帶耍流氓的思維模式，假定一些基本原理是對的，看看有什麼實驗上的後果。理論物理學家（麥克斯韋）假定高斯定理是對的，所以必然有平方反比率。現在的理論物理學家基本都是靠這種思維在做科研了: 因為現在很多理論根本無從以現有技術手段被實驗驗證！所以才會出現很多理論物理學家之間的爭論，因為他們是不同的相互矛盾的『基本原理』的「腦殘粉」。

但是，物理學從根本上說是實驗科學。你老師說的沒錯，不是敷衍。平方反比率的根本原因就是實驗結論。平方反比率有可能不對，這樣理論就要做修改。至於理論上更深層次的解釋（而不是原因），作為中學生理解到高斯定理就可以了。

PS:曾經楊振寧在清華教普通物理，一個大一新生問他『力』的本質是什麼。楊振寧說就是F=ma, 作為大一學生就理解到這個程度最好，該懂的以後自然會懂。

我以前也困惑過這個問題很久。

後來發現吹氣球時氣球表面厚度和氣球半徑平方成反比。這個是因為球半徑的平方與球表面積成正比，但氣球的物質總量不變，所以當半徑增加時只能以平方反比的形式變薄擴散了。

這是一種最自然的選擇。引力波和電磁波在空間中都成球狀擴散，所以是平方反比。

但不是所有波都這樣。比如你拿跳繩的一頭來甩，能量原封不動地傳了過去。因為跳繩只有一維，與距離的0次方成反比，所以距離多長能量密度都一樣。

當你在水上扔石頭，水波就在二維平面擴散，所以其能量密度和距離成反比。

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這麼多贊，誠惶誠恐。答主只是初中生，講的只是自己的粗淺理cai解xiang，大家請批判性接收。

更新一，更新部分用斜體標記

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題主抱怨說老師只是拿實驗結果的說法在敷衍，那麼可能有兩個含義：一是實驗發現確實是2，而不是1或者3；二是實驗發現數值剛好是2，而不是2.01或者1.99。對於後一種情況，在Quora上有更深入的回答，我會先結合它的重點和一些wiki百科的資料大概搬運下，然後在此基礎上和大家討論分享一些有意思的東西。另外，百度百科上也有一點內容，不過編輯太混亂不建議直接看。

Quora: How do we know that the inverse square laws of physics are accurate?

Wiki: Tests of general relativity

百度：水星近日點進動問題

既然評論里提到了引力場方程，那就再把相關的wiki鏈接放上來，感興趣的可以看下。場方程不用自己解，看下幾個主要解的形式就好。

Wiki:https://en.wikipedia.org/wiki/Gravity

首先，牛頓和庫倫公式並不是精確的平方反比關係，也就是說這個2，確確實實帶有小數點。

對於萬有引力，一個典型的例子是水星進動。早在1859年，就有一個法國的天文學家發現，水星每一個回歸周期的進動角和牛頓定律計算出的數值差了38秒（角度），這個觀測值後來又修正到了43秒。為了解釋這個現象，有人提出理論解釋說，萬有引力公式中的平方反比關係應該修正為2加上某個很小的小數，也就是我們正在討論的問題。除此以外，還有許多其他不成熟的理論，例如甚至有人猜想水星軌道內部還有一個更靠近太陽的神秘小行星「火神星」，總之一時間可謂眾說紛紜。一直到1915年愛因斯坦提出了廣義相對論之後，人們這才發現，原來水星進動角和牛頓定律的誤差是可以用通過廣義相對論進行修正的，修正值也是43秒左右，雖然修正之後依然存在誤差，但誤差已經小到了一個很小的程度，以至很多微弱的因素都會對其產生干擾，例如其他星體的攝動、太陽的扁率、設備誤差等，實驗上很難克服。

當然，單說到這些，你確實可以認為平方反比律存在微小誤差，即便它是受廣義相對論的影響，好歹計算結果終歸是符合的，可以說是一個合格的備選理論。後邊我將具體解釋廣義相對論是怎麼修正的，以及這個備選理論為什麼不好。現在咱們先繼續討論庫倫定律中的平方反比律。

根據Quora中這位答主（MIT物理本、Stanford粒子物理PhD）的回答，庫倫定律同樣不是精確的平方反比，而是比2稍微大了那麼一點點。根據量子電動力學的看法，宇宙中的真空並不是真正一無所有的真空，由於量子漲落效應，真空中時時刻刻都有正負虛粒子對不斷產生和湮滅，在強場情況下，這些虛粒子會對我們所觀測的電荷造成一定程度的屏蔽效應，使得場強會有略微下降，反映到庫倫平方反比定律里，就是這個2會稍稍變大一點。

然而，注意了，下面是關鍵。儘管平方反比定律在強場情況下都存在微小的誤差，但無論是廣義相對論還是量子電動力學，在弱場極限下，或者說離場源無限遠的地方，平方反比關係都會恢復為精確的，毫無哪怕一點誤差的，整數2。

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搬運結束，現在開始我們的正式討論。（有點小激動，搓一搓手先。

總結一下之前的結論，牛頓定律和庫倫定律中的平方反比關係，在強場情況下，在數值上確實不是整數2，而是比2大了一個很小很小的小數。前者是廣義相對論效應引起的，後者是量子漲落效應。但無論怎樣，當強場極限遠處衰減為弱場之後，這個比例係數，最後一定會恢復為精確的2。

那麼，對於這樣一個事實，我們應該怎麼去理解呢？這很顯然涉及到宇宙一些本原的性質，是一個很有意義的課題，其理解的方式當然可以是多種多樣的。看了一下這個題目下的許多答案，大部分都是在通過高斯公式中的通量守恆去論證平方反比關係，這樣的回答自然沒問題，也有確實利於人們理解，只不過有一個小缺點是，高斯公式和平方反比在數學上原本就是完全等價的，這樣的循環論證並沒有提供更多的信息。

當我們試圖去理解一個物理現象時，過分沉迷於數學推導並不是一件好事，因為數學並不反映現實，它本身只是一個主觀的邏輯體系，告訴你怎麼從A走到B，或者怎麼從B回到A，但它永遠不會告訴你，為什麼A就一定要長成A這個樣子。

放在這個語境下就是，為什麼平方反比關係在弱場極限下，一定是精確的2。或者更直接一點問，為什麼宇宙一定要這麼設計？

這就是最好玩的地方了。在我個人看來，之所以會如此，是因為我們宇宙有一個非常非常NICE的性質：它不允許分數維度的存在。

我們都知道，長度單位 $m$ 用來度量一維空間，而 $m^2$ 則用於度量二維空間。那麼現在我給你一個新的量綱， $m^{1.5}$ ——問，它能度量什麼？

我猜你可能會說，卧槽這不是日了狗嗎！

值得慶幸的是， $m^{1.5}$ 這種分數維度下的量綱不僅在我們的物理體系中無法兼容，目前看起來我們的宇宙也不允許它的存在。

我上學以來，見過的，推過的，聽說過的所有物理公式，中間的每一個量綱都是整數次冪的，即便有時候會遇到類似於 $r^{3/2}$ 這種分數次冪項，它也一定會有一個分子或者分母相除或者直接放到等號另一邊，從而消掉這額外多出來的 $0.5$ 個維度。

為了對此進行深入討論，不妨回到最初的水星進動問題。在廣相出現之前，有人將觀測誤差歸結為對牛頓定律中平方反比係數的修正，雖然修正之後的數值可以完美匹配觀測值，但那位可敬的天文學家卻忽略了一個很嚴重的問題：量綱不統一。

萬有引力公式是 $g=frac{GM}{r^2}$ ，其中重力加速度 $g$ 的量綱是 $m/s^2$ ，在引力常數 $G$ 和天體質量 $M$ 不變的前提下，假設將 $r^2$ 中的 $2$ 改成了 $2.1$ ，那麼計算出來的重力加速度，其量綱就會變成 $m^{0.9}/s^2$ 。

這是什麼鬼！

它和正常的 $m/s^2$ 是什麼關係？

$0.9m/s^2$ 和 $1m^{0.9}/s^2$ 哪個更大一些？

它乘以時間之後得到 $m^{0.9}/s$ ，這又是什麼鬼！是速度嗎？顯然不是。是不是可以管它叫亞速度？好像可以——那亞速度又是什麼物理意義？鬼知道！

如果 $m^{0.9}$ 這種量綱能夠成立，那麼還有 $m^{0.1}$ ， $m^{0.8}$ ， $m^{3.14}$ ， $m^{2.333}$ 等等一系列無窮無盡的分數維度等著你去定義。更糟糕的是，當你辛辛苦苦把它們挨個兒定義完了之後，卻發現不同的維度之間哪怕只差了一個極其微小的小數，也絕對無法比較大小。

當然，有人可能辯解說， $r^2$ 改成 $r^{2.1}$ 沒有問題，把引力常數 $G$ 同時也調一下不就行了，看起來似乎有理，然而問題在於這個平方反比的係數2，它在不同距離上的誤差漂移是不一樣的，為了保證量綱匹配，引力常數 $G$ 的量綱也得跟著不斷調整，既然如此，那這個 $G$ 如何還稱得上基本常數？

所以，文章最開始的表述其實是不對的，僅僅是賣了個關子。平方反比係數等於2，是三維空間的必然，等於精確的整數2，是物理維度不可分的必然。之所以在強場下會有觀測誤差，是因為場源（ $M$ 、 $Q$ ），或者也可以等效的認為是常數（ $G$ 、 $epsilon_{0}$ ），發生了畸變。

這麼說其實只是為了便於理解。引入了相對論效應的引力場方程是很複雜的，解出來也不是單純負冪數關係，而是多個不同冪數項的疊加，而其中每一項的量綱仍然都是整數，沒有分數維度出現。所以把這個整數2理解為一個數值上的最佳擬合就好了。

有人可能會說，那分形呢，分形不就是分數維度嗎。

雖然我們確實在數學上通過分形理論構造出了所謂的分數維度，甚至還應用到了英國海岸線長度測量上，但在實際的真實物理世界裡，並沒有真正的嚴格意義上的分形。河流、葉脈、血管、雪花，這些東西雖然具有類分形的複雜結構，但它們遠沒有無窮的細節，所以可以用整數的維度進行完全的度量。比如說海岸線的長度測量，用 $m$ 就足夠了，儘管在不同的精度要求下測出來的總長度會有所差異，但那只是工程近似問題，和分數維度其實沒那麼大的關係。分形意義上的分數維度本質上只是一種數學構造，反映的是物體對空間的不完全填充，和我們現在所討論的物理維度問題，並不是一回事。

假設你是負責某國海岸線測量的官員，測了半天發現怎麼也測不準，於是整了套分形理論，向你上司彙報說：「老闆，測出來了！我朝的海岸線長度是 $23333km^{1.26}$ ！」

你老闆會是什麼表情。

某個醉人的黃昏，你在吃完溫馨的晚餐後對你老婆說，親愛的咱們去海邊散散步吧，健胃消食，看看夕陽也好。啊，其實倒也不用走太遠， $500 m^{1.26}$ 就差不多了。

你老婆會是什麼表情。

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好了，玩笑歸玩笑，說正經的。

我們目前為止對世界的一切認識，以及由此建立起來的整個自然科學體系，從根本上說，來源於我們對世界的度量。世界之所以是可知的，首先在於它是可度量的。

在我看來，我們這個宇宙不允許分數維度的存在，實在是一件值得慶幸的事情。因為這樣一來，我們就可以用有限的整數次冪的量綱，去度量我們所發現的每一個物理實體，並且不用擔心不同次冪量綱之間物理量的滲透和泄露。

之前看到某個回答下的一條評論，說，精確的平方反比關係說明沒有物理量向其他維度泄露。這個說法很有意思，在Quora也有人提到過。咱們還是拿 $m^{1.5}$ 這個量綱來舉例——怎麼看待多出的這 $m^{0.5}$ ？

首先，它顯然並不是一個完整的維度，但它確實又在一維之外佔用了一點額外的維度。你說是有物理量泄露到額外的維度中去了，這樣講應該沒錯。不過需要明確的是，這裡的「額外的維度」並不是某個神秘的未知維度，而是一維之外的第二維（因為1.5就介於1和2之間），這很可能也就意味著，兩個原本獨立的空間維度之間，出現了耦合！

這簡直就是人類物理學的災難，三體入侵末日降臨！如果空間維度不獨立，那麼所有和對稱性相關的基本守恆律，空間平移不變性、空間旋轉不變性、乃至時間平移不變性，恐怕都得推翻重寫。麥克斯韋方程中，電場和磁場的旋度要加上空間耦合項，高斯定理癱瘓，電磁場的散度將不再是獨立於空間的常數，電磁波這玩意兒還有沒有都得另說。量子力學恐怕得加上新的非對易算符，薛定諤當時就傻了，海森堡嚇得整個人都不太好。至於依賴於自由度能均分定理的熱力學體系，直接轟然崩塌碎成一地。更糟糕的是，宇宙的造物之神為了維持時空的統一性，不得不為每一個多出來的小於1的分數維度，分配一個對應的光速。

假設宇宙是一個模擬器，這位造物之神為了防止玩家跑得太快太遠地圖刷新跟不上，所以設置了光速壁壘，同時也為了避免他們觀測到太微觀的層面發現一切原本是虛無，所以設置了量子力學壁壘強行燒腦。那麼分數維度這種東西一旦搞出來估計人家會陷入絕望抱著伺服器一塊兒自爆。試想如果連維度都不獨立了，那樹結構怎麼辦，矩陣怎麼辦，程序特么還怎麼跑！

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很久沒寫這麼長的文章，主要內容也說得差不多了。現在具體來解釋下萬有引力的廣義相對論修正大概是怎麼回事。

假設你和你朋友站在離太陽10米的位置，你保持原地不動，你朋友向太陽走了1米。在你看來他確實走了1米，可是他自己卻以為自己走了不止1米。你看他接著往前走，又走了2米，3米，但是他卻發現自己和你的距離要比2米，3米更遠。這是一件很奇怪的事情，同樣是一根線段的兩頭，觀察到的距離竟變得不一樣了。不止如此，當他向前走的越遠，你會發現他的速度越來越慢，不僅速度變慢了，連他整個人的肢體動作都變慢了，整個畫面看起來就好像點了緩速播放一樣；可是在他的眼裡，你卻像按了快進鍵一樣，上躥下跳動作誇張。

之所以會這樣，是因為度規發生了改變。你離太陽遠，度規是正常的，他離太陽近，度規就會被壓縮。所謂「度規」直觀來講就是他眼裡的1米在你眼裡要比1米更短，而你眼裡的1米在他看來卻比1米更長，不同長度的1米除以相同的光速，得到的時間也不一樣，所以時間的流速也改變了。

放在水星進動問題上。天文觀測得出水星到太陽的距離是這麼多，可是由於相對論效應，對於場源的太陽而言水星離它的距離要比我們以為的稍遠一些，所以相應的實際引力會比計算值偏小，平方反比律才因此出現了誤差，看起來就好像這個指數2要大一點才能匹配。

以上。

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關於評論里很多人提到的循環論證問題，我確實得承認自己也是在循環論證，或者更準確的說是在循環討論，要論嚴謹性的話其實談不上論證。

這可以引出一個更有意思的話題，是不是所有的物理規律都能找到更基礎更底層的解釋呢？就像個求知慾旺盛的小孩一樣，把「為什麼」永遠問下去。

答案是否定的。人類這一百多年來所取得的偉大科學成就有時候容易給人一種錯覺，好像科學可以無限制的永遠深入研究下去，以至於終有一天我們能解開宇宙一切奧秘上天入地改寫時空無所不能。

很遺憾，這只是一個美好的幻想。科學研究是會觸頂的，目前為止我們發現的許多宇宙的基本性質，或者更直接一點講，基本常數：萬有引力常數、真空介電常數、光速等等，我們只能靠實驗手段把它們測的越來越精確，或者發現它們億萬年來演變的蛛絲馬跡，但是我們永遠，注意是永遠，無法嚴格證明為什麼它們一定就要存在。我們只能在主觀上（或者說數學上）找到各種各樣的解釋，用一種自己能接受的方式去理解大概是怎麼回事。

這就像是一個物理學版的哥德爾不完備定理：既然我們身處這個宇宙，就不可能真正跳到它外面去證明關於它的一切。

在知乎上搜索了一下「Proca方程」後發現沒有多少相關內容，索性趁這個機會介紹一下吧。

所謂的「Proca方程」，其實就是麥克斯韋方程在光子質量不為0時的形式。當然你也可以說麥克斯韋方程組是Proca方程在光子質量為0時的特例。無論從經典電動力學還是量子電動力學的角度考慮，庫倫力的平方反比形式都是光子質量為0的直接結果。

寫出Proca方程並不需要太高深的技巧，寫出經典電磁場的拉氏量，再添加上一項質量項 $frac{1}{2}μ^{2}A^{mu}A_{mu}$ ，就可推導出Proca方程。

完整的Proca拉氏量長這個樣子：

$L=-frac{1}{4}F^{mu u}F_{mu u}+frac{1}{2}μ^{2}A^{mu}A_{mu}-A_{ u}J^{ u}$

而Proca方程組長得是這個樣子：

因為本人比較懶的關係，所有的推導都是在自然單位制下進行，請自動忽略公式中的所有常數。

接下來討論一下Proca方程的性質。

在Proca方程中，電場強度的定義式與麥克斯韋方程中的一致：

把這個公式帶入Proca方程組的第一個公式中，並假設是靜電勢，標勢和矢勢不隨時間變化，最後可得：

接下來的事情就是順理成章了：取電荷密度的分布為點電荷，解這個經典場方程。

最後得到的是一個類似湯川勢的東西：

$φ(r)=frac{q}{4π} frac{e^{-μr}}{r}$

可以看出，取μ=0時，就是經典的庫倫勢。抑或是說庫倫勢是湯川勢的特例也不為過。

另外Proca方程還有一些其它性質，比方說質量項的存在破壞了規範對稱性，同時由於光子質量的出現，真空中的光也會出現色散，這裡就不多介紹了。

（可以看懂本回答的基礎：初中）

讓我們來做一個類比：假設三維空間中出現了一個水源，該水源向周圍穩定地以速率 V 輸出水。那麼我們任意畫一個閉合曲面：

1. 當此閉合面不包括該水源時，進入和離開該曲面的水量是相等的；

2. 當此閉合面包括里該水源時，曲面總體上是凈流出的，凈流出的速率等於水源輸水的速率 V。

現在我們圍繞著水源畫兩個同心球面，半徑分別為 $r_1$ 和 $r_2$ —— 由於他們的總流出速率 $V$ 相等，那麼單位面積上的流出速率的關係 $v_1$ , $v_2$ 呢？其關係為：

$egin{align*} V=v_1S_1=v_2S_2\ =v_1 imes4pi r_1^2=v_2 imes4pi r_2^2 end{align*}$ .

即對任意半徑為 r 的以水源為中心的球面，其單位面積的流出速率:

$v=frac{1}{4pi}frac{V}{r^2}$ .

上式看起來很熟悉？是的，平方反比律。

把水源類比為電荷，那麼其輸出的水可以被當作電場；把水源類比為有質量的物體，那麼其輸出的水就可以被當作是引力場。

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提升閱讀：

1. 如果有無窮多個水源均勻地組成一個平面，那麼水流會被迫互相平行地流出；而無論距離平面的遠近，你所接收到的流出速率是一樣的。（類比：充滿均勻電荷的無限大的平板的電場。）

2. 如果在上述的球面中有我們不知道的另一個水源（或者一個排水點）呢？我們探測到的單位面積流出速率會大一些（或者小一些），因為有更多的水源了（或者因為有部分水被排出了）。在假設 V 不變的情況下，分母中 r 的指數 2 會因此變小（或者變大）。

3. 如果我們真的沒有其他水源（或者排水點），卻觀察到 r 的指數不為 2，會是什麼原因呢？我們只能懷疑球面的公式 $S=4pi r^2$ 是否正確了，或者說我們的空間是不是真的是三維的？

1) 在二維空間中，如果我們放一個水源，它只能在一個平面上排水，這時我們畫一個包含水源的圓即可包住所有的流出的水， $V=vC=v imes 2pi r$ ，即 $v=frac{1}{2pi}frac{V}{r}$ ，分母中 r 的指數為 1。一次方反比。

2) 在四維空間中，水源可以沿著四維的方向流水，這時四維超球的「表面積」為 $S$ ，則 $v=frac{V}{S$ ，分母中 r 的指數為 3。三次方反比。

綜合關於二維和四維的討論，那麼如果我們真的觀察到 r 的指數小於 2，那麼說明我們空間的維度小於 3；如果 r 的指數大於 2，那麼空間的維度大於 3，那我們看不到的的那些維度呢？我不知道（我也希望有高維空間的存在，這樣我們就可以想辦法進行星際旅行啦）。

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鏈接：n維「球」的「表面積」：N-Dimensions

因為我們是三維的，能量守恆而且光速恆定啊騷年

格林公式。。。。。三維勢能與x成反比二維與lnx成正比

這個問題水很深。

首先，老師說實驗結論，也並不全是在敷衍。

話說樓主知道這個平方因子是怎麼實驗測量的么？學習一下這些實驗，對於樓主現階段的幫助更大。

其次，說高斯定理的以及說三維空間的，只是在描述性質。高斯定理只是場的性質的描述，並不說明場的這種性質的起源。說三維空間的也只是說明了庫倫場引力場的一個側面。我也可以說是勢函數1/r的調諧性。到此為止都只是停留在對性質如何描述上，並沒有深入到起源問題。不過這些描述都暗示了場的一些拓撲性，比如通量和荷的聯繫，邊界對場的唯一確定性等等。。

曾經，愛因斯坦注意到了這一點，也想解決這個問題，然而窮盡畢生功力也沒能解決。一部分原因是歷史的局限性，那時強弱相互作用力還沒有實驗仔細測量，愛因斯坦很可能並不熟悉這兩個相互作用。另一部分原因則是愛因斯坦很可能走錯方向了。目前看來正確的方向是電弱統一理論。電磁學首先和弱相互作用一致，具有相同的起源。再之後是標準模型，電弱統一和強相互作用統一。而到目前為止，標準模型是現今實驗精確度最好的模型。然而這個模型也沒有引力。包含引力的模型現在目前有很多，但是沒有達成共識，實驗也尚無定論。

總結來說，目前還不能解決為什麼萬有引力定律和庫倫定律為什麼這麼像的問題，平方反比率的起源也不能回答。

占坑。

本質上老師說的沒錯，確實是實驗結論。物理學的的理論都是基於實驗現象，實驗事實，進行合理的抽象而最終形成物理公式的數學形式。（看來是個高中水平）。我認為你想知道的是怎麼抽象得到的這個公式：（靠，我要min科普一下了）

本回答基於幾個最基本物理圖像：

1質量和電荷都可以抽象成點，質點和點電荷，在後面描述的過程中自動認為此抽象過程是成立的；

2質量場和靜電場可以抽象成以質點或點電荷為中心的發散線，通過任意一圓周的線總量不變，此抽象只能意會；

3試探質量和試探電荷不影響源場的分布；

4試探質量和試探電荷所受到的力跟它所處位置的場強有成正比。

圖就是一個抽象的二維平面內的一個點電荷，質點所發出的場線示意圖。（此圖用了一分鐘畫，所以將就）現在1、2、3基本圖像在圖中得以實現。

現在針對4來求解二維情況下是怎樣的形式。

最後祝大家1111購物快樂……

徐一鴻在他的QFT in a nutshell中對在弱場極限下平方反比如此普遍有過討論。但是反例也是比較多的，比如引力在強場下就不是平時平方反比，電偶極子對電荷作用力就比平方反比更加複雜，如果光子和引力子有質量那麼平方反比也不成立。平方反比另外一種說法就是「力場」散度為0，明顯有些答案在循環論證。

現在可以補充一點個人的理解，當相互總用滿足何種條件時候，才會出現平方反比定律。

1. 只有一個長度量綱。

在引力中我能夠找到三個長度量綱的物理量：GM/c^2，Gm/c^2和距離。一個質量為M的黑洞的半徑就是GM/c^2。對於有質量的光子和引力子，我們能夠找到兩個長度量綱的物理量：e^2/(mc^2) (高斯單位制度)和距離。上兩種情況都是違反平方反比的。顯然，只有一個長度量綱是平方反比律的必要條件，因為具有兩個以上量綱的時候，力的大小是不可能是距離的簡單的冪律函數。

2. 拉格朗日量密度具有locality並且領頭項是四矢勢的一階導數。

在弱場條件下的引力和無質量的電磁力都只有一個長度量綱的物理量：距離。這時候已經沒有給一個理論本身任何剩餘任何長度量綱的常數。如果拉格朗日量密度的領頭階是 $L=f(A_mu)$ ，這樣的理論是trivial的，我們不考慮。考慮領頭項是四矢勢的一階導數的情況 $L=f(partial_ u A_mu)$ +更高階導數項，由於理論不包含的任何長度量綱的常熟，那麼這個理論的拉格朗日量是不包含二階以及以上導數的。所以這個理論的拉格朗日量必然有這樣的形式 $L=f(partial_ u A_mu)$ 。其對應的偏微分方程是二階偏微分方程。對於不隨時間變化的且滿足空間旋轉不變的二階微分場方程是 $abla^2psi=0(r eq0)$ 。定義 $m{F}= ablapsi$ ，則有 $ablacdotm{F}=0$ 。

3. 球對稱。

顯然只有相互作用具有旋轉不變性時候才能純粹的談力大小與距離的關係。電偶極子不是球對稱的（但是有 $abla^2psi=0(r eq0)$ ）。對於球對稱情況，應用高斯定律，便有 $Fsim 1/r^2$ 。對於d維，顯然 $F=1/r^{d-2}$ 。

顯然只不是嚴謹的數學推導而且少了大量細節。另外假設讀者了解廣義相對論，經典電動力學，經典理論的拉格朗日變分形式，量子場論里常用的量綱簡化思路。

一個三維空間的點粒子向外輻射相互作用的場，由於空間各向同性，所以是以球面波的形式向外均勻輻射（球面上各點平權）。所以，以點粒子為球心的球面上任意一個面元得到的輻射量(相互作用強度)是相同的。三維空間中球面面積嚴格等於4pi*r^2。所以就有了平方反比。你們老師說實驗驗證的，真TND扯犢子。實驗驗證是這樣的，只能說明我們處在三維空間。

如果你了解一點場的概念，我們的理解就會容易很多。

按照場論，存在一種基本粒子，用來傳播引力相互作用的粒子，該粒子可以與任何有質量的的物體發生耦合。這種粒子被稱之為引力子（graviton），引力子被設想為一個自旋為2、質量為零、不帶電荷的玻色子。為了傳遞引力，引力子必須永遠相吸、作用範圍無限遠及以無限多的型態出現。

我們了解了引力子之後，我們假定空間存在一個質量為M的質點（注意：在不影響結論的情況下，為了便於理解，在此我盡量不用嚴格的量子語言）。這個質點因為它帶有質量，所以會向外輻射引力子。那麼向外輻射引力子的方式是怎樣的呢？毫無疑問，在一個各向同性的空間中，引力子以球面波的形式向外擴張，於是很嚴格的得到這個球面面積為4pi*r^2。由於球面上每一點都是平權的，所以球面上一質點所受引力的大小要除掉球面的面積（力的大小和與質點發生耦合的引力子數量成正比，這就和兩人拋接小球一樣）。平方反比就從這裡來的，至於我們熟悉的那個引力公式 $F=Gfrac{Mm}{r^{2} }$ ，為什麼木有pi，在下面我會說道兩句。分子上的m可以認為質量越大輻射和接收的引力子越多。

說到這裡，我們為了便於理解。來看看另外一種相互作用吧，那就是我們所熟悉的電磁相互作用。那麼電磁相互作用是怎樣形成的呢？我們知道帶電粒子會輻射光子，光子以光速向前推進並與其它帶電粒子發生耦合，就這樣拋接光子，於是產生了電磁相互作用。光子也是玻色子，它的質量為0，自旋為1，電量為0。光子有一個特性就是可以和任何帶電物體發生耦合，所以它會成為電磁相互作用的傳播子，它的作用與引力相互作用的引力子是類似的。下來我們再看看兩個帶電的點電荷之間的庫侖相互作用。庫侖力的大小為 $F=frac{q_{1} q_{2} }{4pi epsilon _{0} r^{2} }$ ，看看這裡就有4pi*r^2，這同樣是因為點電荷向外輻射球面光波導致的。

此外，在中學庫侖力的公式是F= Ke* qq"/ r^2，形式上像極了萬有引力。但是大家有木有想過在大學裡為神馬變成了 $F=frac{q_{1} q_{2} }{4pi epsilon _{0} r^{2} }$ ，其中 $epsilon _{0}$ 是真空中的介電常數，我們知道它是物理學當中的基本常數之一，它的大小對我們來說意義非常重大，直接影響宇宙的演化。顯然用替代了ke是因為比ke更具有物理本質。現在，你應該明白引力公式里為神馬木有pi。我直覺上認為存在一個比G更基本的物理常數，因為4pi*r^2是嚴格的數學結果。

所以按上述方式來理解，我們可以嚴格的得到引力相互作用平方反比的結果。當然，如果有人在地球表面做地球引力的實驗驗證，顯然不會得到平方反比，我們上述的解釋是建立在質點上的，顯然在地球附近的話需要積分。

下面這一段是關於電磁相互作用平方反比的驗證，是從Wikipedia上摘錄的，眾位大神，包括Maxwell也做過相關實驗。

1769年，蘇格蘭物理學家約翰·羅比遜首次通過實驗發現兩個帶電球體之間的作用力與它們之間距離的2.06次方成反比。

1770年代早期，著名英國物理學家亨利·卡文迪什通過巧妙的實驗，得出了帶電體之間的作用力依賴於帶電量與距離，並得出靜電力與距離的 $2pm 1/50$ 次方成反比，只是卡文迪什沒有公布這個結果。

後來，麥克斯韋利用與卡文迪什類似的方法，得出靜電力與距離的 $2pm 1/21600$ 次方成反比的結果。

庫侖定律是電學的基本定律，其中平方反比關係是否精確成立尤其重要，而根據現代量子場論，靜電力的平方反比關係是與光子的靜質量是否精確為零相關的，所以，對靜電力的平方反比關係的精確驗證，關係著現代物理學基本理論的基礎。當前對庫侖定律平方反比關係的驗證越來越精確，如1971年進行的一次實驗，給出庫侖定律與平方反比關係的偏差小於 $2.7*10^{-16}$ 。

因為力是勢的積分，單點源的場的勢一定是調和方程的一個基本解。

所以四維以上空間的力其實不是平方反比

因為光子和引力子質量為0, 且考慮的是3維空間且光子之間沒有相互作用。在廣義相對論中引力也只有在弱場近似下才會有平方反比。

如果考慮的時空維度不是3+1維而是D維, 那就可能是(D-2)次方反比率, 當然相應的萬有引力常數和真空介電常數也要做相應修正。

如果考慮的是W，Z玻色子或π介子這樣有質量的媒介粒子, 那就是yukawa相互作用, potential在原先反比的基礎上還要乘上一個與質量相關的指數衰減的因子。

$V(r)sim -frac{e^{-mr}}{r}$

如果考慮的是膠子這樣有內部自由度color的無質量粒子, 在低能禁閉情形的作用和橡皮筋就有些相似了, 作用勢正比於之間的距離, 膠子和光子的不同之處在於不同color的膠子可以有相互作用。

$V(r)sim sigma r$

搬過來科普一下

這個解釋不深入，望各路大神輕噴…

有心的同學,在學習萬有引力和庫侖力之後，都會有一個小疑問——為什麼都是「平方反比律」？？難道就是老師說的「這個是實驗結論」或者敷衍的一句「背下來就OK」？

不，不，不能這樣學物理。一個缺乏本質理解的物理，只學了就忘的空中樓閣。要想學習好物理，就要盡量弄清楚它們，而不是盡量「記住」它們，何必那麼費勁背呢？

我上高中時，就面臨過物理老師的上述回答，讓人完全不滿意的答覆。但是很快，就自己弄明白了，「平方反比律」其實是很簡單的一個數學原理，只是用在物理學中而已。

物體之間的這些非接觸的相互作用，比如一個質點、一個電荷點對於一定距離的某處的作用，可以這樣理解為一種場，常見的就是引力場、靜電場。。。

在理想情況下（真空、無其他干擾），場,是在整個三維空間均勻擴散分布的，就象節慶夜空的焰火，在天上炸開，形成一個不斷擴展的球面。

以大家最熟悉的引力場為例，如果作為一種由中心質點A開始均勻球面擴散的能量E，那麼站在離A的距離R的位置B，能夠感受到的單位面積的能量X=E/S怎麼計算呢？

——很簡單，總能量E是均勻分布在整個球面上的，

球面積公式S=4πRR，所以X=E/S=E/4πRR ∝ 1/RR，即「平方反比律」。

我說的很細，其實就這麼簡單，就是一個均勻分布在三維空間分布的數學表達形式而已。「平方反比律」，就這麼回事。

於是，在物理學中有了這樣一條：如果任何一個物理定律中，某種物理量的分布或強度，會按照距離源的遠近的平方反比而下降，那麼這個定律就可以稱為是反平方定律。比如萬有引力、庫侖力、輻射強度、。。。

如果任何一個物理定律中，某種物理量的分布或強度，會按照距離源的遠近的平方反比而下降，那麼這個定律就可以稱為是平方反比定律。

例如，你在空曠的荒野上，寒冷的夜晚，點起一堆篝火，你能夠感受到的溫暖，與到火的距離的平方成反比。。。

平方反比律，是物質相互作用的本質屬性，根源在於三維立體空間的如此簡單而強大的數學原理。這一定律是物理學的最重要支柱，到目前也沒有任何實驗或推論能夠推翻，當然，如果一旦被推翻，那麼若干的重大物理根本規律，都得重新改寫。至少，在目前人類能夠涉及的三維世界中，平方反比律是絕對的金科玉律。也許，人們能夠自如地穿越維度，什麼四維或者多維空間的情況下，應該就不是平方反比律了。。。

再比如,增加維度不好理解,那麼減少維度,在二維平面下,它就是我們熟悉的相似三角形原理的一種情況啦

多餘的話，不說了，有興趣的話，自己想一下哦。。。

譬如，聲音的強度也是滿足這個，I＝P/A，而表面積A＝4πrr，所以，聲音與距離平方成反比。l

總之，一切能夠在三維空間中不受阻力和干擾（理想真空），而全方位同心球面自然擴散的「影響」（如力、能量、效果。。。），都符合這一規律，這一規律是三維度空間的最基本原則。不僅萬有引力、庫侖力、聲音強度、爆炸衝擊波、甚至在計算無線電波的距離衰減，都是用的這個平方反比律。這是基本的數學原則，呵呵，如果將來能夠深入分析高維空間的話，這個定律就要改一下啦，至於現在嘛，這就是我們生活和存在的空間的最基本原則。

如果這一原則被打破，那麼人類幾千年文明的數學和物理中的大量定理，都要重新修改。它在本質上，就是一個「點」源，對於整個理想三維空間發揮「影響」的分布。

如果我們退一步，對於二維平面的影響的話，那麼就是距離反比，而不是距離平方反比了啊。。。再退一步，對於一維的直線的話，那麼就是分母為1，與距離無關，永遠是百分之百。。

這個道理當初我是自己想通的.

當把重力和電荷都當作一個點的時候, 對另一個有質量(或電荷)的物體的作用力和距離有關.

第一反應是和距離成反比.

後來仔細想想在三維空間中離開一個點的距離相同的不是一個球面么? 球面積和半徑是平方比啊.

想像中就是把"離開質心"某個距離的引力攤薄到一個等距的球面上去了, 所以隨著半徑增加, 球面上的作用力就是呈平方反比了.

後來學到引力定律的時候一看果然是這樣.

再補充一個：E=mc^2，看，m=E/c^2，這個也是與二次方成反比的喲，哈哈，雖然我不知道答案，哈哈

因為我們的空間是三維。

理解梯度散度旋度、格林公式高斯公式斯托克斯公式就搞定啦！

因為引力和電場力都是有源的

計算時取球面用高斯定理得到的就是平方反比