除納什均衡以外，約翰·納什（John Nash）在數學及其它領域還有哪些貢獻？

01-04

約翰·納什在數學領域有哪些建樹，這些建樹的影響有多深遠？
如何理解博弈論對經濟學的影響？
除了經濟學領域對博弈論的廣泛研究應用，博弈論還被哪些學科所應用？

謝邀.

就我所知, John Nash對於純數學的主要貢獻在如下幾個方面: Hilbert第十九問題(橢圓偏微分方程解的正則性), Riemann幾何, 泛函分析(主要應用是研究偏微分方程的可解性和解對微擾的依賴性). 代數幾何方面的我全無了解, 不敢亂說.

必須要說一句, 他對於Riemann幾何和泛函分析的貢獻是捆綁在一起的. 後面詳述.

1. Hilbert第十九問題

在橢圓型二階偏微分方程的理論中, 有一部分現在被稱作de Giorgi-Nash theory, 發展這套理論最早是為了證明某些Euler-Lagrange方程的解的正則性. 例如, 可以考慮如下的變分問題:

設 $F(p)$ 是定義在 $mathbb{R}^n$ 上的光滑函數, 求出適當的函數 $u$ , 使得它是如下泛函的臨界點:

$int_Omega F( abla u)dx$ .

自然要問: 它有臨界點嗎? 臨界點有沒有所需求的性質? 通過一些計算與討論, 問題往往要歸結到研究如下的"散度"形式的二階橢圓微分方程(研究的是弱解):

$sum_{i,j}D_i(a_{ij}D_ju)=f$ .

其中係數矩陣 $(a_{ij})$ 只滿足一些相當寬泛的條件: 它們在所論的區域上是一致正定的對稱矩陣, 並且是有界可測的.

De Gorgi和Nash使用了不同的方法獨立地得到了有關這一方程的結果. Nash研究了相應的熱方程並且得到了Holder估計, 即證明了弱解的Holder連續性. 橢圓方程可以視作不依賴時間的熱方程, 從而其結果可以一併得到. 由此即可推出原來變分問題的解具有相當好的正則性, 即給出了Hilbert第十九問題的答案.

如何評價de Giorgi和Nash的工作? 這些工作對於研究同變分相關的偏微分方程是非常基本的, 對於研究許多從幾何中來的半線性偏微分方程(比如極小曲面方程)都有很重要的意義. 他們的工作使得我們知道了, 散度型線性橢圓方程以及半線性橢圓方程原來同Laplace方程一樣, 也具有較好的正則性. 前者的解甚至還滿足Hanarck型的不等式. 這件事在Kovalevskaya定理(解析解的存在唯一性)發表的時代就已經在引起人們的注意了, Hilbert在第十九問題中將它明確地提出, 而de Giorgi和Nash解決了問題最主要的部分.

2. Riemann流形的等距嵌入

然後來看看Nash在Riemann幾何與泛函分析上的貢獻. Riemann幾何中有一個相當基本的問題: Riemann流形能不能等距嵌入歐氏空間中? 我們知道, Whitney嵌入定理斷言任何 $n$ 維微分流形都可以光滑嵌入(即嵌入映射同時是immersion也是拓撲嵌入, 或者等價地, 流形可以表示成沒有奇異點的光滑參數曲面) $2n+1$ 維的歐氏空間中, 但是如果考慮Riemann流形的等距嵌入, 就不得不研究一個非常複雜的偏微分方程組. 實際上, 不妨取定一個局部坐標系, 使得在這個坐標系之下, 嵌入映射可以寫成 $u(x)=(u^1,...,u^N)(x)$ ( $N$ 是目標空間的維數), 而Riemann度量具有局部表達式 $sum_{i,j}g_{ij}(x)dx^iotimes dx^j$ , 則所求的嵌入在這個局部坐標之下必須滿足如下的微分方程組:

$left<frac{partial u}{partial x^i},frac{partial u}{partial x^j} ight>=g_{ij},1leq i,jleq n$ .

在這裡, 尖括弧代表歐氏空間的內積. 這方程可以簡寫為:

$^tu$ ,

其中左上標代表轉置, 乘法是矩陣的乘法, 而撇號代表對坐標的導數. 嵌入問題的可解性等價於這個方程的可解性.

為了求解這個方程, Nash使用了一種微擾方法. 首先可以不太困難地說明, 在流形上面全體的Riemann度量組成的空間(是二階對稱張量空間的一個開集)中, 可以表達成(1)的形式的度量是稠密的. 於是可以把問題歸結成如下形式:

對於任何自由嵌入 $u_0$ , 誘導度量 $^tu_0$ 附近的任何度量都可以寫成 $^tu_0$ 的形式. 證明對於"小"的 $f$ , 關於 $u$ 的方程 $^tu$ 存在解.

Nash使用了一個本質上是Newton迭代的方法來證明上述方程的解的存在性. 他在論文的前言裡面提到, 這一套方法似乎並不是只能應用於處理嵌入問題, 許多其它的微擾問題都可以納入到這一框架之下. Moser注意到了這一點, 於是將Nash的方法加以抽象提煉, 即得到了泛函分析中重要的Nash-Moser隱函數定理.

這個定理的意義是很重大的. 傳統的隱函數定理討論的對象是Banach空間, 並且要求所研究的映射具有導出映射. 然而在實際問題中碰到的許多空間都不是Banach空間, 例如緊流形上的無窮可微函數空間: 它是Frechet空間. 在這種情況下, 研究隱函數問題就會碰到相當大的障礙. Nash的方法使用的導數只是方嚮導數, 而且也只要求背景空間是"柔性"的Frechet空間, 比起傳統的隱函數定理來講, 應用面要寬廣多了. 它幾乎是關於微擾問題可解性的最一般的定理了. 許多困難的非線性分析問題(尤其是方程的可解性)都可以通過Nash-Moser方法加以解決.

[注]八十年代時人們發現, 等距嵌入問題其實完全可以使用傳統的隱函數定理來解決. Alinhac和Gerard在他們的書中寫道: 儘管這一方法(Nash的迭代方法)最終證明對解決嵌入問題並不必要, 它依舊是研究擾動問題的一個基本工具.

限於篇幅, 不能在這裡給出定理本身的任何細節, 因為說清楚任何一個細節都需要相當長的篇幅. Nash的這兩項工作都是非常困難的分析, 若是讀他的原始文章, 常常會覺得此人的靈感或許來自上帝的提示. 由此可見Nash確實有一個天才的腦子.

我不懂經濟學和博弈論, 所以無法對後兩個問題給出回答. 歡迎各種討論.

我給大神@DTSIo Shao 補充兩句：

(1)」Hilbert第十九問題「：Nash和De Giorgi partially證明了」the regularity of scalar minimizers of uniformly convex Lagrangians in any dimension「（by C. De Lellis）。這個結果對應的方程問題是the Holder regularity of second order (uniformly) parabolic PDEs of the divergence form with non-constant coefficients。實際上De Giorgi的結果略強一點：其中的a priori estimate的right-hand side只包括the L^2 norm of the solution,但是Nash的需要L^infty norm。但另一方面，Nash的做法依賴其中的一個overlapping estimate，跟stochastic PDE里發展transitional probability的估計關係很大。（不過我不懂概率論...）

(2)"Isometric Embedding Problem「。Nash有兩篇文章：一篇是關於C^1 isometric embedding的，主要結果是：「Given any short（i.e., distance-shrinking）immersion/embedding u and any $epsilon>0$ , there is a C^1 isometric immersion/embedding v, such that $|u-v|_{C^0} < epsilon$ 「。這篇文章開創了convex integration的先河，後來經Gromov的發展搞出了h-principle的理論。Nash C^1 embedding的Philosophy可以概括為：Manifold整體的geometry不受局部microscopic的geometry的影響。第二篇是關於C^k （k不小於3）isometric embedding的，在這篇文章中發展了Nash-Moser iteration的方法，對PDE有深遠的影響。這兩篇文章的方法和idea是非常不同的。

剛因為nonlinear PDE的工作被授予2015年的Abel獎，參見http://www.abelprisen.no/artikkel/vis.html?tid=63683；

那什等距嵌入定理，黎曼流形可以嵌入到歐式空間中；實代數流形；

貌似還研究過情報密碼什麼的，不太了解，美國國家機密；

N-person 非合作博弈均衡解的存在性：布勞威爾不動點定理，可以推廣到Kakutani fixed point theorem……

先謝邀一下要了解數學方面的貢獻直接查MathSciNet的Citation應該算是比較簡便和直接的方法。我就上個截圖

可以看出他在純數學方面的主要貢獻是在微分幾何（流形嵌入等）和偏微分方程上。其它很多文章都是在博弈論方面。如果想了解更多可以自己去仔細看看評論員的介紹。

另外可以關注的一點是，納什在MathSicNet的文章在1971年後就出現了大量的時間斷裂：後面的基本上都是書，文章很少。從某種意義上來說，在那個時間節點以後，納什基本上算是淡出數學這個圈子了（至少在數學方面的活躍程度降低了）。

【我的方向和他不同屬於外行所以可能有偏差不過這也算是外行了解某個人最直接的方式之一】

謝邀，很激動~

首先得向納什的逝世表示哀悼啊，因為博弈論對現代經濟學的影響實在是太大了。

數學修為比較低，無法評論納什數學方面的成就。

經濟學方面來講，說他是有史以來最偉大的經濟學家之一也不為過。納什對於博弈論的分析徹底改變了經濟學的分析方法。無論是古典經濟學還是新古典經濟學，其實一直都沒有解決人與人的互動問題（其實說到本質是如何通過對他人決策的推測做出最優於自己的決策）。博弈論的出現給很多涉及策略性行為的情況提供了理論基礎，比如這個問題：為什麼麥當勞和肯德基總是開在一起？ - 經濟學，再比如勞動力市場中的集體議價模型，公共品提供，產業結構（寡頭壟斷模型等），不對稱信息等等（省略n多字）。可以說博弈論大大擴展了經濟學可以分析的內容。

當然博弈論本身給新古典理論帶來了非常大的挑戰，就是單次囚徒困境博弈的合作解問題（也可以理解成單次博弈中的合作問題）。根據經典的博弈論理論，單次囚徒困境不可能達到合作解（這就意味著充滿單次商品交易的新古典經濟學是達不到最優解的），但是在現實生活中和大量心理學實驗都證明合作解的廣泛存在。Ostrom（2009年的諾貝爾經濟學獎得主）就致力於分析在相對封閉環境下，小規模人類社會如何解決公有資源的有效使用問題。其他還有腦科學，心理學研究試圖揭露人類傾向合作的心理學機制（這個關於分配財富的博弈論模型試驗有什麼心理學解釋？ - Zhi Li 的回答）。

由於納什的分析框架實際上是一種全新的方法（純粹數學的，和經濟學理論本身沒什麼關係），所以在經濟學之外也有廣泛的應用。約翰·梅納德·史密斯的《演化與博弈論》就是把博弈論拓展到生物學研究的經典著作。政治學不是特別了解，但是集體行動的分析應該也離不開博弈論的分析。

http://en.wikipedia.org/wiki/Nash_embedding_theorem

納什嵌入定理

謝邀

我對納什的了解很標籤化，博弈論，普林斯頓，精神病纏身，《美麗心靈》電影原型。作為非經濟學相關專業的學生，本科時代唯一修過的一門外專業課程就是博弈論。但是這一門課程我至今印象深刻，甚至超越了我所學的其它專業課程。

囚徒困境，小雞博弈，混合策略納什均衡，這些詞又一次冒了出來。這樣的一個理論模型，讓原本模糊的爭論變得清楚了，很好地解釋了策略在人們工作生活中的重要性。這樣的一門學科，有厚黑學的影子，也有兵法的思想，用數學的工具實現了統一。

石頭剪刀布的遊戲，多麼接地氣，但是用博弈論的研究方法來看，又可以很高大上。生活中無時不刻都在博弈，概率論和博弈論的結合讓選擇不必糾結，最優策略讓結果決定。概率論研究的更多是人與自然的關係，而博弈論講究的是人與人之間的關係。

記得當時課堂上，老師掏出100塊錢，對大家說，你們在0-100之間寫一個整數在紙上，然後我們把紙收上來，計算大家數字的平均值，誰寫的數字離這個平均值的一半最近，誰就能獲得這100塊錢。大家開始琢磨，如果別人都瞎寫一個數，那最後平均值會是50左右，那寫25的人就能贏得這一百塊錢了。大家也不傻啊，那人家也都寫25呢？那就是寫12或者13的人能拿錢了。多想想就會發現，最後寫0才是正解，大家都寫0，然後平分這100塊錢。

事實上，最後寫0的人並沒有拿到這100塊錢，最後的平均值好像是5左右，寫2的人拿到錢了。因為並不是所有人都是完全理性分析了一切，有人也許就是隨便填了個數字。這些人改變了最後的結果，要準確預測對手，還要基於對對手的了解。

上周六，剛好我去普林斯頓參觀了美麗的校園，回來聽到這個不幸的消息，以後出門一定記得系安全帶。

謝邀請不勝榮幸

數學方面了解的真是不多，除了納什均衡以外，我個人其實比較關注他個人成長帶來的一些啟示：

很多時候，中國的成功學都將成功人士塑造的特別完美，性格優秀、人脈良好，在很多事情都獨當一面。因此，國內的很多輿論在成功教育上都是各種雞湯，各種扭轉人本性的標準化成功學。

同時，這也使得社會更缺少包容一些偏才，怪才。其實任何成功的人都可能存在著各種缺陷，我們真正應該強調的是，每個人都應該在自己感興趣或擅長的事情專註、專註、再專註。

人家是個交換獎得主啊，數學上的貢獻都不見得低於納什均衡了

瀉藥

不懂

單純就納什均衡對於經濟學的影響，那自然是巨大的，在這裡羅列兩個典型事實：1. 目前流行的微觀經濟學教材里都會為納什均衡騰出一塊可觀的位置；2. 我國設立經濟學專業的高校幾乎都會要求學生修習博弈論課程，而比起海薩尼和澤爾滕，nash的研究又總是被最先提及。

In addition, in the movie 《a beautiful mind》, I always remember that John kept saying "Adam Smith was wrong" .. We can see his equilibrium theory has successfully challenged Classical Economic Theory .

http://mathoverflow.net/questions/207477/john-nashs-legacy

謝邀，不勝惶恐。

和老先生不是一個領域的，僅僅是看過電影而已。不過《美麗心靈》沒有太多表現其30之前和病癒之後的事情，納什自己也說，那電影只是幫助人們理解精神病人罷了。

咳咳，跑題了。。。

我看樓上說博弈論基本都集中在經濟領域，實際上這個理論在心理學或者國家政策制定上都是有巨大作用的，因為它指向的是人類的心態和思維方式。原則上，只要有人參與博弈的地方，這個理論都會生效。

很簡單的例子，比如說社會制度，即便一個制度對大多數人都不利，但是大家還是會自覺遵守，因為在其它人策略不變的情況下，主體當前策略最優（就是納什均衡）。你可以說，如果大家一起做出改變，會得到共贏局面，是的沒錯，就是這樣的，上層的決策者的目標就是這個，如何令大家一起做出改變，走出困境。這裡面就需要國家的強制力，或者局部的利益引導。反過來說，國家要制定一個讓大家自覺遵守的制度，就務必達到一個納什均衡，這樣才是穩定的，才會長久存在。

學識淺陋，說不出啥，還望題主見諒。

人家解決了Hilbert第19問題。。。

謝邀，賣龍貓的。

Darling I"ll be loving you till seventy.

Then we both die of a car crash miserably.

我只知道他是博奕論的創始人。

他的研究領域到目前為止我也就碰過偏微分方程，而那門課我上課是在聽天書……與之對比，複變函數我上課聽一遍就能懂

也就是說，他研究的領域太高端以至於我並沒有接觸過多少……自然我也不知道，偏微分方程算是我唯一接觸過的了。他對橢圓形和拋物形偏微分方程有過研究。在這裡我必須陳述一個事實，那就是偏微分方程的理論直到現在還很不完善，而要完全從理論的高度研究偏微分方程，需要泛函分析相關的理論。

我並不懂經濟學，因為我學的是偏向工科的應數，並且由於學校性質，所以我跟的導師，做的科研訓練，都是跟打打殺殺的東西有關，那種經世濟民的東西我還真的說不出啥來啊

謝邀

大多數人從美麗心靈中了解到的納什，其實都是假的

其他領域有貢獻他還研究過宗教和神學還是精神病領域的一個患者