怎樣直觀的理解有限覆蓋定理？
01-04
最近看完高數，在看數學分析，有些東西想不明白。實數係為什麼要充分的定義？ 拓撲學和集合論是怎麼樣構成分析的基礎的？
緊緻性一直是分析學裡一個重要的性質，是閉集的推廣。有限覆蓋這個說法源於海涅-博雷爾引理，一個關於閉區間的定理，在實分析總起了至關重要的作用。之所以叫緊緻性是源於其另外一個等價命題:任意無窮子集必有極限點。緊這個說法很形象，如果裡面足夠有多的點就會很密集(就是有極限點)。一般來說，在分析學裡用到閉區間的性質基本上就是這兩個，特別在證明有最大最小的情況。我印象比較深的就是關於「閉區間上的連續函數必一致連續」一致連續意味著在固定的Δx由於這個性質特別好用，自然要推廣到任意拓撲空間去了。所以緊緻集就是閉集的一種推廣，事實上，豪斯多夫空間里的緊緻子集就是閉集。在舉個例子，在微分幾何裡面，要證明著名的斯托克斯定理的時候，為了把各種奇奇怪怪的流形上的積分化成能和
所以要理解有限覆蓋，必須要先從閉區間上開始理解。
記住其要害:把無限個對象化成了有限個對象。有些數學概念是不能被直觀想像的。舉幾個例子：實數的良序化，不可測集。實數的良序的良序構造存在，但是構造不存在（此處存疑），給個鏈接Could you give an example of a well-ordering of the real numbers R? 這是我在quora上提的一個問題。比如說有限覆蓋定理，它的證明是都是非構造性的證明，也就是我們知道有限覆蓋的存在，但除此之外我們對它幾乎一無所知，但是有限覆蓋這個性質已經能解決很多問題了。當數學進入對不可數集合的深入探討的時候，人們就已經很難對其進行直觀認識了。原因是，我們研究不可數集的時候，很多情況下要分析不可數個集合/元素之類的東西。現實世界中我們很幾乎遇不到不可數的對象，也就是難以想像。另外，如果我們對於一般的集合進行研究，必然要用到選擇公理。選擇公理的表述是直觀的，但是與其等價的良序原理確是違背直覺的。
也就是說引入選擇公理的集合論已經不能夠用所謂的直覺進行理解了。
另一方面，實數系的嚴格定義是必須的，一個數學體系的嚴格化必然是公理化的過程。實數系是數學的基礎概念必須嚴格定義。拓撲學研究集合的拓撲性質，集合論是幾乎所有數學的基礎。我來說個直觀化的理解方式
取一個包含左端點的區間s1，取一個包含s1右端點的區間s2，取一個包含s2右端點的區間s3這樣一直取下去區間序列的右端點會收斂於一個點再取一個包含那個點的區間，這樣可以刪除若干個區間保持有限的連接這樣一直搞下去，你會看到無窮多個區間序列組成的序列，如果把這個叫做二維的話，甚至是自然數維，甚至維數都是二維無窮，甚至迭代了無窮個維數的區間也可以出現大致有點zorn引理和遞歸序數的感覺吧，就是你可以一直爬，那麼早晚能爬到頂舉個應用於一個定理的例子介值定理
如果左端點的函數值為正，右端點的函數值為負那麼由連續性，左端點往右走一段仍然是正的再走一段，仍然是正的如果你走了無窮多次呢？如果極限點是0，完事，如果不是，你還能再走。那你能不能構造一個反例，使得無論如何交替地走和取極限點，永遠也達不到目標？在某種意義上，這是要把那個點的位置陷在某個有規律的過程里，可是一取極限點再一走它又出來了。太不爽了如果這時候用起那個描述總能走到頭的有限覆蓋定理，馬上問題就解決了其實有限覆蓋定理的證明不太符合直覺，我想到一個符合直覺但讓人很彆扭的證明考慮左端點出發的經由有限個區間連接能走到線段內的所有點顯然如果能走到某個點那它左邊的點也都可以走到
我們取出上確界t來，有一個開區間s包含那個上確界t於是，，，先經有限個區間走到比t靠左但是在s內的點，再在s內走到大於t的點，你看，t不是上確界了吧除非大於t的點壓根不能走，也就是t是右端點看完這個證明，突然領悟到原來那個證明的含義了上確界是否在前1/2段里？再二分在哪一段里？再二分在哪一段里？這樣一直問下去我是不是很民科！無限的東西不可知，把它分成有限類，認識每一類從而達到認識無限，這就是高等數學的方法論。數列極限的定義中就是這樣：把無窮數列分成 N + 1 類， 即 {a(1)}, {a(2)}, ... , {a(N)}, {a(N+1), a(N+2), .... }.
有限覆蓋定理就是根據極限的這一原則給出的。所以有限覆蓋定理很直觀。
我也不懂這個題，在一個qq群 問出來的
比如 【0，1】可以被 （-1，1/5） （1/n，1）n=1，2，… （1/2，2）覆蓋 這區間有無窮個 那麼一定可以找出有限個 （-1，1/5） （1/6，1） （1/2，2）覆蓋不知道對不對啊推薦閱讀：
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