如何理解粒子波函數虛部的物理意義？

01-04

以上為中子轟擊原子核對散射截面和反應截面的量子力學描述，在出射波函數中多了一個係數 $eta$ ，它是個負數，出射波的位相發生變化的原因是什麼？

將波函數的虛部和實部分離: $psi=|psi|e^{i heta}=sqrt{ ho}e^{iS/hbar}$ , 其中 $ho$ 和 $S$ 均是實數. 則 $psi^* ablapsi=sqrt{ ho} abla(sqrt{ ho})+left(frac{i}{hbar} ight) ho abla S$ .

容易看出幾率流密度正是 $m{j}=frac{ ho abla S}{m}$ , 因此相位在空間中的變化影響幾率流, 相位在空間中變化越劇烈, 幾率流密度越大, 並且某點處的幾率流密度垂直於該點處的等相面. 如果考慮一個平面波 $psi(m{x},t)proptoexp{left(frac{im{p}cdotm{x}}{m}-frac{iEt}{hbar} ight)}$ , 則有 $m{p}= abla S$ . 我們還可以定義"速度" $m{v}=frac{ abla S}{m}$ , 這樣幾率流的連續性方程 $frac{partial ho}{partial t}+ ablacdotm{j}=0$ 可以寫成 $frac{partial ho}{partial t}+ ablacdot( hom{v})=0$ , 與流體力學中的方程一致. 事實上我們就是這樣定義超流速度(superfluid velocity)的. 這個觀察是量子流體力學(quantum hydrodynamics)的基石. (但是要注意我們不可能同時測准一個粒子的位置和速度. )

將 $psi=|psi|e^{i heta}=sqrt{ ho}e^{iS/hbar}$ 代入Schrodinger方程, 可以得到 $-frac{hbar^2}{2m}left[ abla^2sqrt{ ho}+frac{2i}{hbar}( ablasqrt{ ho})cdot( abla S)-frac{1}{hbar^2}sqrt{ ho}left| abla S ight|^2+frac{i}{hbar}sqrt{ ho}+ abla^2 S ight]+sqrt{ ho}V=ihbarleft[frac{partialsqrt{ ho}}{partial t}+frac{i}{hbar}sqrt{ ho}frac{partial S}{partial t} ight]$ . 如果 $hbar o0$ (嚴格說是 $hbarleft| abla^2 S ight|llleft| abla S ight|^2$ ), 則Schrodinger方程退化為經典力學中的Hamilton-Jacobi方程 $frac{1}{2m}left| abla S ight|^2+V+frac{partial S}{partial t}=0$ . 因此我們說相位的物理意義在經典極限下為作用量. 這也是WKB近似的出發點.

針對題主所提出的具體問題, 散射時相位變化的原因, 李巨格說得是對的, 彈性散射導致幾率守恆, 因此只有相位可以變化. 如果說相位變化的物理原因, 可以參考我上面說的第二段.

相位變化的原因是只有相位可以變化，這是能量守恆的要求。

其實量子力學中的相位，可以看做是幺正演化的要求。假設量子態一開始處於本徵態的實係數疊加，由於厄米矩陣本徵值全是實的， $exp(-iHt)$ 一定是一個復的對角矩陣，因此隨著演化的進行，係數都會變成複數。

沒有含義。

更準確來說，波函數的相位沒有含義，因為你把系統波函數的相位加了一個常數也沒有影響量度結果，因為 $|psi(mathbf{x})|^2 = |psi(mathbf{x}) e^{i heta}|^2$ 。

可是，相對相位很重要，如果波函數有兩個項，它們相位的差很重要，例如， $|psi_1 + psi_2 e^{iphi}|^2 = |psi_1 e^{i heta} + psi_2 e^{i ( heta+phi)}|^2$ ，當中 $heta$ 沒意義，但 $phi$ 會影響量度結果。

為了波函數的歸一化引入的虛數。

經典力學中波函數可以寫為 $Psi(x,t)=psi(x)(cos(omega t)+sin(omega t))$ ,這是不滿足歸一化條件的。

但量子力學中波函數寫為 $Psi(x,t)=psi(x)(cos(omega t)-isin(omega t))=psi(x)e^{-iomega t}$ 是滿足歸一化條件的。

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昨天我就寫了這個答案，但覺得題主沒有給出他讀的書以及他理解的背景，就沒有貿然發出來。

如果針對這個情況，問題就好解決了。

第一個式子，對指數函數展開後消了sin項，只是保留cos，原因是這是波方程解。

第二個式子中，加了eta後，改變的是sin與cos函數的自變數（這是考慮三角函數變換），原因是發生散射，相位改變。

我記得原題是問複數項的意義，其實這是有意義的，經典力學中，我們得到的波函數是沒有複數項的，因為我們不需要歸一化。量子力學中一個最重要的假設就是歸一化，也就是概率波，只有引入複數才能有如此意義，原因是歐拉公式。

就如電磁波，由電場波和磁場波相位交錯組成，用波函數描述電子行為時，必須是峰谷交錯的兩個波，才能保證在傳播方向上強度無波動。甚至可以說本來就沒什麼電子，有的是兩種波，類似於電場波和磁場波，只是這兩種波都無法檢測與感知。至於用複變函數來描述，只是為了數學處理方便，別說虛部，實部又有什麼意義呢？假如「另類」無法感知電場磁場，或許也用類似的波函數來描述光子，整出什麼統計解釋，測不準什麼的，我們是不是覺得可笑呢？

樓主明顯標題問得是波函數虛部的物理意義嘛，也就是/psi(r)=x(r)+iy(r) ，y(r)的物理意義，怎麼回答的都是相位的意義：psi(r)=SQRT(
ho) exp(i heta) 里的theta，實部和虛部都對相位有貢獻，波函數的相位意義也可以理解在量子干涉起作用，多體相互作用時也能保證波函數正交，也可以如樓上提到的從單粒子的幾率流貢獻理解-----------分割線------------不過我關心的是像標題那樣描述的，單獨實部函數和虛部函數對實際物理意義有啥貢獻，定性定量都可以。知道的可以討論一下，哈哈