量子力學中能量的本徵值可以為零嗎？

01-04

對場量子化可知真空中也有能量漲落。那麼量子體系中到底有沒有能量本徵值解得為零的情況？

當然可以為零。

我們可以對 SHO (simple harmonic oscillator) 的 Hamiltonian 稍加修改來得到任何你想要的值（數學上）。

SHO 的 Hamiltonian 是

$hat H = hbar omega left( hat a^dagger hat a + frac{1}{2} ight) = hbar omega left( hat N + frac{1}{2} ight)$

其中 $hat N$ 是能量量子數算符，表示的是 energy quanta 的數目，當然只能從 0 開始的整數。所以對於 SHO，最低的能量當然只能是 $frac 1 2 hbar omega$ .

不過只需要稍加修改，就可以看到數學上這個可以是任何值。SHO 裡面的這個 1/2 來自 $left[hat x, hat p ight]=mathrm i hbar$

而不是什麼其他奇妙的原因，所以只需要往這個 Hamiltonian 裡面加其他的項就可以使其基態能量為負了。

為什麼可以往裡面加其他的項呢？這個 Hamiltonian 是由動能和勢能組成的。當然這裡動能不能為負，但是我們完全可以設計一個為負的勢能。比如我們加某些項是的整理成上面的量子數算符形式的時候為下：

$hat H = hbar omega hat N$

這樣就可以有一個基態能量為零的 Hamiltonian 了。

如果可以用密爾頓運算元 $H$ ，我看不出為什麼不可以用 $H-lambda I$ 。

如果需要，如果可以帶來方便，你盡可以把任何本徵值轉換成零。

可以，勢能零點可以任意選取。。

若H|ψ&>=E|ψ&>,令H"=H-E,則H"|ψ&>=0|ψ&>

以我粗淺的量子力學知識來說。。。可以為0，可取0的本徵值對應的一套模式沒意義啊。。。。