僅從導熱微分方程看，傳熱的速度是否是無限大的？

01-04

一個穩定的溫度場，若是某點X1的溫度突然抬升了1K，那麼計算域內任意一點X2的溫度會瞬間發生改變嗎？
（假設微粒的熱運動速率無上限）

僅就這個數學表達式本身而言，傳熱的速度是無限大的。然而我們都知道這個結論違背了相對論——因此，必然存在一種物理機制，使得這個表達式在和相對論矛盾的時候失效。

實際上，導熱微分方程也好，Fick定律也好，或者大名鼎鼎的N-S方程也好，這些傳遞方程都建立在連續性假設的基礎上。該假設認為，流體和固體是的所有性質都是連續的，同一相內部不存在間斷和突變。這意味著：流體和固體可以無限細分——否則，微分項就會失去數學意義（連續函數才可微~）。

因此，這些方程都是有局限的，只能在操作和觀測的空間、時間和能量尺度都遠大於分子熱運動的空間、時間和能量尺度的情況下使用。

回到題主說的特例，按照導熱微分方程，的確「牽一髮而動全身」，一個局部微小的溫度擾動都會給無限大的全局帶來瞬間變化。然而這個「瞬間」是有條件的——此「瞬間」必須遠大於分子通過碰撞傳遞動量的時間。

比如，一個小分子在常溫下的平均速度大約是幾百米/秒，那麼我們可以估算分子動量傳遞一分米大約需要不到一毫秒。如果我們要測量常溫常壓下一個一分米直徑的鐵盤上的導熱過程，觀察的時間尺度是遠大於一毫秒的，因此完全可以適用導熱微分方程。然而，如果你要在京九鐵路的北京站提供一個溫度擾動然後測量廣東那邊在一秒之內的變化，導熱微分方程的適用條件就被打破了。

歸根結底，工程上常用的這些傳熱、傳質和流動方程都是牛頓時代的產物，是服務於宏觀尺度和低速度下的經典物理學的。這些牛頓時代的方程很容易弄出一些看似和相對論矛盾的結論，這是古人的局限，要大度一些~

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PS:

在問題下面的評論中少年· @黃健提出：

"研究人員用激光照射金屬化合物的結晶，世界上首次成功對熱傳導進行了連拍，並據此確認熱是以秒速5萬千米的類似波的形式進行傳導的。"

我贊同啊~~在激光的激發下，傳熱的確不僅僅是靠分子碰撞了。高能狀態下能量反覆被電子釋放-吸收可能會導致其以高能光子的形式傳遞，因此其傳遞速度是完全可能和光速在一個數量級的。

輸運方程本來就是建立在牛頓力學的基礎上，所以得出熱傳導速率無限大不足為奇。如果把相對論考慮進去，需要把方程改寫成相對論性輸運方程。

相對論性輸運方程熱傳導速率就不會超過光速。此外方程還有其它的預言，比如溫度波。

Reference: Relativistic heat conduction

謝邀。

傅里葉定律+守恆定律給出的一維heat equation，格林函數是exp(-x^2/t)/sqrt(t)。物理意義是無限大介質中某處溫度突變則距離為x的某處溫度也隨之變化，對任意有限時間，整個x軸上溫度變化均為有限值。一般工科數理方程課上講「熱導方程具有無限傳播速度」都是從這個意義上，不存在類似f(x-ct)的行波解。

物理上在傅里葉尺度之下，傳導速度基於氣體動理論、固體晶格振動等等，當然是有限的。田長霖-Mujumdar/陳剛/Austin Minich這個流派對傅里葉尺度之下的傳熱問題有系統的研究。

謝謝邀請。

之前已經給其他回答點贊了，但正好今天剛好看教材時看到這一部分，就貼上來。

來自於梁昆淼老師的《數學物理方法（第四版）》。

熱梯度傳導速度應為光速其影響的已經有很多文獻了叫廣義熱力學問題。在熱衝擊很大的情況下需要使用。

我覺得傳熱速度無窮大這個結論是因為牛頓導熱定律引起的，在極端條件（某處突然出現一個熱衝擊）的情況下牛頓散熱定律就不成立了。

謝邀，這是個模型近似帶來的bug而已。實際上核函數e^-x^2即正態分布函數衰減非常快，稍微遠一些的地方已經接近無窮小了。

有一個叫做熱擴散率的物理量，是熱傳導和熱容的比。

$alpha=frac{k}{ ho C_p}$

$alpha$ :熱擴散率

k: 熱傳導係數

$ho$ ：密度

$C_p$ ：等壓比熱容

這個量衡量了熱傳導的快慢。

確切來說，這個方程描述的是溫度場的變化方程，不是傳遞熱的傳播方程，也不是輸運方程。這同不輻射的電磁場一樣，因為沒有物質和因果律，僅僅是固定點的場強時間變化而已（想像成一個兩端固定抖動的布，他是不輸運任何物質的），沒有實體物質傳遞，壓根沒法定義速度。但可以定義影響快慢，這需要關聯函數（格林函數），x1的溫度變化和x2點的溫度變化是靠它們的近鄰傳遞著的，這種傳遞本身的解是衰減的含時場，沒有行波解。

導熱微分控制方程是基於傅立葉導熱本構方程推導得出的，後者本身是一個基於試驗測量的定律，本身不顯含時間，默認了導熱過程具有無限大的速度，這一描述顯然是非物理的，在極端導熱條件下會出現失效的情況，即非傅立葉導熱現象。

對於熱傳導方程的解釋，特別是考慮導熱速度限制的導熱過程描述，一直是相對論性導熱研究的一個問題，這個問題給出了很多相關的解釋：

如何理解熱傳導方程的解? - 物理學

如果你在清華，可以去參考新概念熱學。書裡面有明確的說明。

簡單的說，這個公式是有問題的，只能應用於現象學領域。

新概念熱學裡對熱的傳到提出了一些新的概念。熱確實是以波的形式存在的。

高等傳熱學，導熱部分第一章。

傅里葉定律是實驗推出的，只在一定範圍內有效，梁昆淼的數學物理方法說明過這個問題，其實，任何定律都有其適用範圍，如胡克定律，牛頓三定律

當然不是，要不然方程裡面的時間量就沒用了。

Relativistic heat conduction，加一項時間的二階導就有光速了。

微觀情況下就不能用這個公式了

居然真的有人問專業問題，這是娛樂網站！

這是穩態下的傅里葉導熱方程。在極端條件下，或者極端時間、極小尺度下的熱導應使用非傅里葉導熱方程。非傅里葉導熱方程下熱以波的形式傳播。相關論文可以搜索non fourier heat conduction

你應該講的是傅立葉方程吧。如果只看方程，是無限大的。這也是傅立葉方程不「正確」的原因。

說的是穩態方程吧，方程的意義就是不考慮耗時，能夠到達的最終狀態。完整的方程是考慮熱傳遞的時間的，因為有些時候我們不關心耗時，只想知道最終狀態，就只用簡化後的穩態方程。