矢量積這個概念是怎麼產生的?為什麼人們會想到用一個垂直於原來平面的向量來表示這個運算結果?這樣做有什麼好處?

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維基上有矢量積的歷史 http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product#History，最先可比現在要抽象多了。

• 先是 Lagrange 用矢量的分量形式來研究四面體。

• 然後 Hamilton 定義了四元積。http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion

  兩個四元數 [0, u] 和 [0, v] 的乘積定義為 [-u.v, uxv]。很直觀吧？

• 然後 Maxwell 用 Hamilton 的這套符號，給出了電磁學的數學描述，最初有 20 個方程！

• 然後 Clifford 給出了現代矢量積的幾何意義，就是我們高中學到的平行四邊形。
• 然後 Gibbs 和 Heaviside 力排眾議，將四元數中的標量積和矢量積分開。
• 然後 Heaviside 用新的符號體系，把 Maxwell 方程降到 4 個。
• 然後 Grassmann 和 Clifford 各自發展了新的代數，擴展了矢量積的意義，這是後話。

• 然後 ……

如果原來覺得矢量積太抽象的話，現在是不是覺得應該感謝我加粗的那三位？

這段歷史告訴我們 http://www.zhihu.com/question/19824008/answer/13455338

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個人理解：矢量的標量積表示兩個矢量重合部分的積。而矢量積表示兩個矢量垂直部分的積。至於為什麼把方向定為垂直原平面，well, I dont know...But looks there is no better direction to be assigned to the vector of the cross product, so be it?

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