數學中很多技巧和輔助函數都是怎麼想出來的？

01-04

有很多數學題如果不看答案那讓人根本想不到的技巧和構造輔助的話是沒法做的，那麼那些奇怪的技巧是怎麼被想出來的，而這些技巧和輔助構造的思路為什麼沒有人去講解，而是讓學生照答案的背？

想出十個思路，其中有一個最巧妙，悄悄把其他九個扔到垃圾簍。

哇，你的解法好妙。

靈光一閃就想出來了，也沒有那麼妙啦，哦呵呵呵。

我一直認為人並沒有自己想像的那麼聰明

比如從小到大，基本所有的知識都是學了才會，很少有學了數分領悟出泛函分析的。

至於工作後，也是大部分的模仿和進行小的改進。

所以，以前的大牛也是大量的借鑒加大量的苦思冥想才有的成果的。

你是想知道如何刷知乎，還是

手機中有幾個元器件，每個元器件是什麼原理如何發明的，你刷知乎的時候這些元器件是如何配合的，知乎的程序是如何編出來的，商業邏輯是什麼……………………

追根溯源是好的，但是有些大神的思想我們學了反而會使得我們學習遇到障礙，要知道幾百年才出一個大神啊。

首先，題主先要知道，數學題目大致可以分為兩類。

第一類是完全可以套用已有定義、公理、定理的題目，儘管對於某些具體的題目，其邏輯鏈條可能比較長。

而第二類呢？許多數學題目，題設與結論之間的邏輯關係並不直接。然而，這並不代表我們就解不出來。畢竟，我們可以藉助已有知識，構造出從未知到已知的橋樑。

顯然，求解第二類題目往往要比解第一類需要更多的思維技巧。

現在，我們就來思考一下：為什麼雞兔同籠能夠在我國流傳一千多年，並成為現在奧數與公務員的基本訓練素材？

很明顯，這類題目如果只利用已知條件的話，不可能同時求出雞和兔分別有多少？但是，我們設想一下，假設所有的兔都被替換成雞的話，那麼我們可以求出假設與實際，腳的總數相差多少。而每把一隻兔替換成一隻雞，其腳的總數目減少（4-2）。最後，將假設與實際腳的總數差除以將一隻兔替換成一隻雞腳的總數的減少量，就是被替換的兔的數目。

由此可見，雞兔同籠的本質就是「替換」。替換法的奧妙在於，它與數學中一些其他的技能有著異曲同工之處。譬如添項、拼湊、配方、幾何中的輔助線等等。

添項、拼湊、配方在高等數學中求極限與不定積分時，是非常常見的。然而，高等數學也是其他理工科、商科，以及許多其他數學分支的基礎。所謂「輔助函數」，本質上與輔助線的作用是相同的。

它們的共同之處在於構造出從未知到已知的橋樑。至於究竟如何構造，則強烈依賴於題目的具體條件。之所以這樣構造，是因為只有這樣才能同已有的知識和方法靠攏。

對於同一題目，也可能有許多種不同的構造方法，進而形成很多種解法。之所以勾股定理目前可以有幾百種證法，就是由於已知條件過於簡單，只有一個直角三角形。因此，需要構造一些輔助圖形，放到一個大的知識背景上，獲得直角三角形的三邊關係。對於條件越簡單的題目，越可能有多樣化的思維路徑，有幾百種證法不足為奇。由此可見，對於構造的思維，既需要我們對學過的知識有全方位掌握，同時也需要我們有相當的觀察力和創造力。這也是所謂「難題」的根源之一。

瀉藥。

Top-down aproach。出題的時候往往從「已解決」的「達成狀態」出發，一點點「拿走」一個一個的達成狀態的組成條件。

例如拿走兩個條件，其中一個作為你提問中的「輔助」，即隱藏條件；另外一個作為所求。

有時是直覺，

有時是運氣，

有時是刻意想很多種可能恰好有一個中了，

有時是對這類問題特別熟，只要想構造就能構造出來，

有時是看了別人的東西，恍然大悟

不一定是技巧，可能只是表達得簡潔，

而要想表達的簡潔，說明理解地透徹，

而要理解地透徹，則要大跨度的思維，

因為當你著眼點很小時，是沒有大境界的

我是一個喜歡數學的人，對於我來說，可能更多的是興趣，群主的問題，我覺得除了老師上課授課外，主要還是要自己琢磨，自己思考。。。。我記得高中的時候有時候我會被一個難題想一個晚上。。。當你想通了以後，就不會覺得難了。。。。。。有了基本的解題知識以後，更重要的是自己學會思考，學會理解。。。。我的經驗就是這樣的

數學教學不重視這塊是有原因的，因為相關的中文資料太少。

多做題多總結多嘗試，總會有一種感覺的。

雖然我每次看到數學的這類題都是瞪大了眼睛然後感慨『哇～居然還有這種操作，好神奇啊～』

感覺張益唐最近的那個大成果就可以作為一個例子。還有Wiles證明費馬大定理。（雖然我感覺很多大神是一下子就想到了）

先說一下Dirac吧，因為在經典力學裡已經大量應用了柏松括弧，Dirac作為參考，推廣到了量子力學，提出了non commuting dynamical variables。

然後張益唐和Wiles，都是想到了很多可能解決問題的方法，然後在其中一個方法中找到了解答。

不得不說的是，很多問題都是相同的，即使是數論，也應用了很多dynamical system和algebraic geometry。