可不可以說雖然數學歸納法本身是嚴謹的，但我們使用時卻不可能做到完全嚴謹？

數學歸納法的定義，我引用自陶哲軒的分析教材：

Axiom 2.5 (Principle of mathematical induction). Let P(n) be

any property pertaining to a natural number n. Suppose that P(O)

is true, and suppose that whenever P(n) is true, P(n++) is also

true. Then P( n) is true for every natural number n.

注意那個粗體的whenever，嚴格的說，在P（0）為true的基礎上，我們必須驗證在任何情況下P(n)和P(n++)都為true，才能得到最終的結論。在實際使用中，我們只是隨機挑選了一個或幾個n和n++來驗證，不可能滿足「任何情況」這個條件，因為那將有無窮多的情況需要驗證。

也就是說數學歸納法本身雖然是嚴謹的，但使用中我們不可能、做不到完全嚴謹？

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這是一整個命題，並不是無限多個命題的交集。前面的那個「對於任意的n」是這個命題的修飾。在推理過程中，這個修飾可以跟著推理過程保留下來，而不需要真的去對每一個n做驗證。最終來說，這個修飾來自於公理當中本來就有的修飾，比如：

任意兩點可以通過一條直線連接。

它實際上是說：

其中p(l,x)表示直線l過點x。

再比如：

任意正整數都有一個後繼

實際上是

也就是「任意正整數x，存在正整數y，使得y是x的後繼」

因為公理中已經處理了無窮這個概念，所以我們運用公理推理就可以一次證明所有的n都可以成立，而不是一個一個去證明。

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根本問題在於你對演繹法毫無概念。

形象點說，數學歸納法分為兩個「部件」。

部件1是「靜」態的，檢查輸入序列開頭是否正確（證明P0時成立）。

部件2是「動」態的，你可以認為它是一個「邏輯機器人」，這個機器人的邏輯構成是「如果Pn正確，則Pn+1必定正確」——你得先證明它成立，這個「邏輯機器人」才能造出來。

然後，把部件1和部件2組合起來：部件1證明了P0成立；於是部件2就說既然P0成立那麼P1肯定也成立；P1成立那麼P2當然也成立……

換句話說，部件1是打基礎，部件2是推廣器。

有了部件1打好的基礎後，部件2「嗖」的一下就沿著自然數軌道爬到無窮遠了，於是整個自然數域自動得證（嗯，有點像多米諾骨牌的感覺）。

換句話說，數學歸納法相當於「構造了一個可遍歷整個問題空間的邏輯機器人「，然後你只要證明了這個」機器人「在整個空間都能運行良好，那麼整個問題空間已經被遍歷了。

事實上，這種思路還可以推廣到自然數以外的領域。比如，實數域。

如果你真徹底理解了，這個推廣還是很容易的。

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經過我數年線上線下的各種答疑，我發現如何正確理解假言命題（若P則Q）是本科數學入門的其中一個大難點。

關於數學歸納法：

https://www.zhihu.com/question/60467390/answer/176478896

類似地還有，

答疑高等代數時，有部分同學不理解為什麼證明線性無關的時候，要設線性組合為0，這是怎麼得出來的？

答疑數學分析時，關於henie定理以及一系列類似的例子，有部分同學不理解為什麼要假設數列有極限？

這些本質上都是假言命題沒有深刻被理解。

另外，似乎題主還有一個問題：不理解如何證明全稱命題？數學歸納法是對任何的n大於等於2，滿足若P(n-1)則P(n)。我們的證明可以保證驗證「任何的」，而不是只驗證了一部分。我們證明全稱命題時，就是設一個字母出來代表集合中一個普通的元素，然後對這個普通的元素考察是否有結論中的性質。

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我知道了，萬惡的英語邏輯！題主你被他坑了！

Suppose that P(O) is true, and suppose that whenever P(n) is true, P(n++) is also true. Then P( n) is true for every natural number n.

按照漢語的邏輯，P(n++) 之前少了個then！所以產生了很大的歧義：whenever了兩句話，到底是一起做條件呢還是前面做條件後面做結論？

更可惡的是，這裡面加了一個不明所以的also。如果沒有這個also，可能還能判斷清楚，因為逗號之間沒有連詞。加了個also，讓人一頭霧水，很容易誤解成並列關係！

https://www.zhihu.com/question/38510895/answer/192442952

前幾天剛回答的一個。我覺得在數學定理的敘述中，明確「條件隔板」「結論隔板」非常非常重要！在這類問題上，我覺得這是英語的一個問題。我是主張打破這種語法壁壘以獲得更精確的表述。當然，我一個小小的學生人輕言微～

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數學歸納法是公理（模式），形式化表達為：

?xψ(x)?ψ(0)∧?x(ψ(x)→ψ(S(x)))

S是後繼函數，一般指x+1（但是因為+是用S定義的，所以公理里不用+;S也不一定是x+1，當然也可以x+2，或者是「下一個質數」，如果x是集合，也可以是x∪{x}等等，得看你用在什麼地方了）

ψ是個謂詞。

數歸包含兩個部分：

1）初始條件（ψ(0)）

2）推理規則。(?x(ψ(x)→ψ(S(x)))

就是

若ψ(0)成立，則ψ(1)成立；

若ψ(1)成立，則ψ(2)成立；

……

現在我ψ(0)成立了，我就可以得到ψ(所有自然數)成立了。

數歸也有好多變形，變形也很靈活。一般有這兩個部分的，都可以由最原始的數歸得到。

例：

跳躍歸納法

1）?xψ(x)?ψ(0)∧ψ(1)∧?x(ψ(x)→ψ(x+2))

2）

?xψ(x)?ψ(0)∧?x(?y(y&

很複雜的

3)

設p(x)為「x是質數」

（p(x)??u?v(x=u?v→u=1∨v=1))

?x∈P ψ(x)

?ψ(2)∧?p∈P((?q∈P(q|p-1→ψ(q)))→ψ(p))

推理規則的意思是

質數p ψ(p)要成立，只需要所有整除p-1質數q ψ(q)成立。

這個應用在Galois理論中，證明所有質數階群可解。

數歸最淺顯的應用

就是數列了

簡單的一條遞推式都是一個推理規則：

a[n+1]=a[n]+1。

我就不多說了。

本質上，一般涉及可數無窮的命題都要用到數學歸納法。

ps：

倒序相加法一類求通項公式的方法，只是一種計算方法，而不是一種證明方法。也就是說，求出來了，照理說還得用數歸證一遍才嚴謹。

為什麼呢？

舉個例子，

Sn=1+2+3……+n

這個式子的含義是，我們從1列舉到了某個數n。而不是對於所有的自然數n。

因為我們「沒有能力枚舉所有的自然數」

而數歸正是我們「觸及」無窮的一個工具。

不過平時 我們就不用管這麼多了，就當省略號承擔了證明功能吧（笑）

（這段話就當是一個民數所說的吧）

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樓主你再讀讀你這句話，覺得通嗎

在P（0）為true的基礎上，我們必須驗證在任何情況下P(n)和P(n++)都為true

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這就是沒學好英語就看英文教材的結果

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數學歸納法分兩步。

這兩部在證明上是獨立的，只有最後結論上才總結到一起。

第一步，證明f（0）正確。

第二步，當f(n)正確，證明f(n＋1)正確。

注意第二步當中，f(n)正確是已知條件，不是問題。

說這兩步是獨立的因為你完全可以先證第二步，再證第一步，從邏輯上來說沒有任何問題，只是普遍習慣採用第一步和第二步的方式來書寫。

我個人偏好第二種邏輯。 2成立，3就成立；3成立，4就成立；……100成立，101就成立……

為什麼101成立？因為100成立……為什麼4成立？因為3成立；為什麼3成立，因為2成立；為什麼2成立，因為1成立。

哦，原來只要1成立了所有自然數都成立。

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對任意的n屬於自然數，都是成立的。那麼就是對全體自然數成立

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英語和數學都不好，就不要裝逼了

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現在有直線排列的多米諾骨牌一列，如果每一塊多米諾骨牌倒下後都能壓倒後一塊，請問當第一塊骨牌倒下後哪一塊骨牌不會倒下？

第一數學歸納法同理，我們需要說明的就只有兩點：

1.第一塊會倒下

2.每一塊都會壓倒後一塊

其他數學歸納法也是類似的情況。

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我們不需要真的去取每一個自然數就能證明對任意n成立的命題，你再想想，想不明白就基本告別數學了。

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數學歸納法使用條件：

1，初始項成立；

2，所有項的遞推邏輯關係成立。

屬於白盒測試。

樣本驗證是給看不懂邏輯關係的人看的。屬於黑盒測試。

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我們驗證的不是某幾項的正確與否，而是項和項之間的關係。

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我大學沒學過數學歸納法，只在高中時學過一點皮毛，還是想來強答一下。

我想題主大概理解錯了一件事，驗證P(0)後，下一步並不是驗證在任何情況下P(n)和P(n++)都為true，而是先假設如果P(n)成立，然後去驗證P(n++)成立。

結合以上兩步，由P(0)可得P(1)，由P(1)可得P(2)??

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自己沒理解對

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不知道題主對於P(n)里的n是怎麼理解的？當我們使用歸納的時候，我們要證明對於任意n，若P(n)成立，則P(n+1)成立。而由於對象是任意n，所以並沒有喪失一般性。也就是說，我們並不是選擇了特定幾個值代入。不過事實上我個人並沒有理解題主為什麼會提出這個問題？因為哪怕沒有理論上完全理解，實際使用的時候也會發現是在證明對於所有n都成立啊？還是說題主常年在做偽證？。。

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1.

Suppose that P(0) is true

翻譯：假設P(0)成立。

這一步又叫奠基，一般對於n=0,1,2或者一些開始的值進行驗證。奠基完成，所以P(0) is true.

2.

and suppose that whenever P(n) is true, P(n++) is also true.

無論n為何值，當P(n)成立時，P(n+1)也成立。

這一步就是歸納的證明，目前為止我見過的證明 無一不是 對於 任意的n和n+1 進行證明的。

所以根本不存在你說的隨機取的問題

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了解了一下英語whenever用法，這裡的黑體whenever應該可以等同於if，這樣更好理解這段文字說的p(n)為真是假設吧。

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原回答：

以我有限的英文水平來看，我覺得是陶哲軒的鍋（當然也可能是題主引用錯了）。

Axiom 2.5 (Principle of mathematical induction). Let P(n) be

any property pertaining to a natural number n. Suppose that P(O)

is true, and suppose that whenever P(n) is true, P(n++) is also

true. Then P( n) is true for every natural number n.

粗體的Suppose that應該去掉。數學歸納法的n=1不是假設成立，必須實際成立。那麼第二個suppose that就順理成章了，翻譯過來就是，假設n為任何值p(n)成立，p(n++)也成立。

你的困惑是，「我們必須驗證在任何情況下P(n)和P(n++)都為true」。p(n)不是驗證的，是假設的，這是重點。

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