積分的區間再現公式應該在什麼情況下使用？

01-04

就是f(x)在a到b上的積分=f(a＋b－x)在a到b上的積分。
用x=a＋b－t代入可得證。
但是我不明白什麼時候應該去使用這個公式。

算定積分方法太多了，我怎麼知道哪時候用呢？

$int_0^frac{pi}{2} frac{sin x}{sin x+cos x}dx$

這時利用那個公式

$=int_0^ frac{pi}{2} frac{sin( frac{pi}{2}-x)}{sin ( frac{pi}{2}-x)+cos ( frac{pi}{2}-x)}dx$

$=int_0^frac{pi}{2} frac{cos x}{sin x+cos x}dx$

因為 $int_0^{frac{pi}{2}} frac{sin x}{sin x+cos x}dx + int_0^{frac{pi}{2}} frac{cos x}{sin x+cos x}dx =int_0^{frac{pi}{2}}1dx=frac{pi}{2}$

所以 $int_0^frac{pi}{2} frac{sin x}{sin x+cos x}dx =frac{pi}{4}$

區間再現公式的精妙之處在於，可以不改變積分區域的情況下對被積函數進行改造。

這也就是我們思考什麼時候需要用到區間再現公式的關鍵。

當三角函數摻雜在複雜的指數對數或者普通的多項式中（如x*丨sinx丨），且積分區域是含π/2、π等這樣形式的時候，就適合用區間再現公式。這樣一來積分區域不會變化，而變數代換導致的三角函數里x的替換又可通過誘導公式去掉複雜的形式。

希望對你有幫助。

感謝大家的贊，為了讓大家更直觀地了解區間再現，我決定

勇敢地祭出我拙劣的字跡

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以下是區間再現公式的證明及應用：

說白了，這種代換的本質就是利用了函數的對稱性。。

只要函數有對稱軸和對稱點，並且是在關於對稱點或對稱軸上的對稱區間里就可以用。。實質跟奇偶函數對稱區間的積分性質是一樣的。。