泛函里的內積判別式平行四邊形法則有沒有什麼結構或者拓撲上的意義？

01-04

這個是用來判定什麼樣的norm space可以被內積誘導出來
他有沒有別的什麼深刻意義

因為看過一句話泛函里每個奇妙的不等式都能在拓撲里找到這樣變形的意義

謝邀，我最近有點忙，只能講點簡單的東西，更多的以後再補充把。通過平行四邊形不等式，我們可以證明這個空間是一致凸空間：

一致凸空間一定是自反的（Milman定理），也就是說 $X^{**}$ （對偶空間的對偶空間）和

$X$ 是「一回事」。值得一提的是自反的空間一定存在一個等價範數使得它是一致凸的。如果我們引入如下的（多值）運算元

一致凸強於嚴格凸，嚴格凸的定義如下

嚴格凸導致下面的結果成立：

一致凸另一個優秀的性質是可以使得弱收斂幾乎等於強收斂。

值得一提的是， $L^p$ (1&

我不知道題主說的「結構或者拓撲上的意義」是什麼意思。以下僅作為一點評論。

希爾伯特空間論里非常重要的Hilbert projection theorem （你讀的那個notes https://goo.gl/zouS4K 的p.45 THM3.4.1）的證明中關鍵的幾步要用到平行四邊形法則，這是我見過的第一個應用。

與平行四邊形法則直接相關的一個不等式是Hanneramp;#x27;s inequalities，可以用來證明dhchen提到的 $L^p (1<P> 空間的一致凸性。詳細內容可以讀Clarkson 和Hanner的文章：</P><P style=$

當然你也可以自己證，Tao 在他的實分析課上把它作為習題（245B, notes 5: Hilbert spaces）。 Harald Hanch-Olse在06年給出了更簡單的證明：http://www.ams.org/journals/proc/2006-134-08/S0002-9939-06-08366-3/S0002-9939-06-08366-3.pdf

Olse 的文章里的一段提到了uniform convexity的意義：