如何將WilsonianRG和DimensionalRG聯繫起來？

01-04

如題。

謝邀，這個問題很小眾，但我覺得很值得回答。

首先，你的叫法不正確，這也是量子場論初學者的常見誤解。不過這個問題很好，我本科的時候也被困擾了兩年之久。

維數正規化(Dimensional Regularization)是一種正則化技術，不存在維數重整化(Dimensional RG)這種說法。同樣，你說的威爾遜重整化（WilsonianRG）實際上是截斷正規化（Cutoff Regularization)。這兩種都只是不同的重整化方式，其物理本質是一樣的。截斷正規化的Lamda和維數正規化的Miu都代表物理過程的能量尺度。

這兩種正規化的聯繫也可以從Callan-Symanzik方程來理解。你會發現維數正規化的時候引入的參數miu正相當於Callan-Symanzik方程里的自變數M，也就是能量尺度。詳細內容沒法在這裡多說，自己可以仔細看Srednicki或者Peskin的書相關章節，做幾個習題就明白了。

需要說明的是，不同的正規化技術可能會導致不一樣的結果。比如對於有規範不變性的理論，你用截斷正規化就沒法讓正規化和規範不變性（Ward-Takahashi恆等式）相融洽。規範理論也正是t"Hooft發明維數正規化的初衷，他在讀博士的時候用此證明了非阿貝爾規範理論的可重整性，從而拿了1997年的諾貝爾物理學獎。現在做規範理論的重整化，都用維數正規化的技術，而不用截斷。（當然，早期也有別的正規化技術，比如Pauli-Villars正規化，但這個太繁瑣。）

RG流作為參數的標度變換關係是唯一的。不同的正規化方案給出的是RG流的不同參數化。

換句話說，哪個參量（維度正規化里的參數和wilson的截斷並不是同一個量）作為「標度」其實不重要，重要的是保證格林函數（量子作用量）不變的參數變換關係本身。

這個思路從格林函數滿足的運動方程來看是很自然的：考慮正規化後的理論，在非相互作用體系（或者樹圖近似下）里，格林函數滿足線性運動方程，標度變換可以用量綱分析簡單得到；而在相互作用體系里，格林函數滿足高度非線性方程，量綱分析做不下去，圈圖修正就自然「湧現」出來了。

對 @李星河的回答做一點微小的補充：

事實上，雖然從現在的教科書上看不到影響，但確實有人提過 "Dimensional Renormalization" 這個概念。比如：Breitenlohner, P., Maison, D. (1977). Dimensional renormalization and the action principle. Communications in Mathematical Physics, 52(1), 11-38.

在他們的文章里，經過 Dimensional Regularization 的振幅還需繼續進行重整化操作以剪除掉奇點。他們定義了幾條關於 Lagrangian 的方程，並提出了一種剪除方案使的這些方程仍被保持。後者即被稱為 Dimensional Renormailzation. 在他們的文字描述中，是希望剪除掉的部分直接對應於奇點的，有些像 MS 的目標，但我沒有讀懂他們具體的證明。

大噴菇來支持一下小噴菇~

從EFT角度下自然地這兩種是一種辦法吧