協變微分的物理意義是什麼？

01-04

因為協變(或者應該叫規範不變？)是好的，而普通導數 $partial_i$ 不是協變的, 是不好的。

所以我們找一個場 $a_i$ , 兩個湊成能協變的 $D_iequivpartial_i+a_i$ , 這樣就是好的。

場 $a_i$ 就自然帶上了物理意義。

為什麼這樣做？先說說啥是微分， $F(x)$ 可以是一個任意的「東西」：

$partial_iF(x)=lim_{epsilon o 0}frac{F(x+epsilon)-F(x)}{epsilon}$

現在我們要搞事情, 假設 $F(x)$ 沿著 $epsilon$ 前進的時候會增加一個因子 $e^{epsilon a_i}$ , 那麼「微分」變成

$egin{aligned} lim_{epsilon o 0}frac{e^{epsilon a_i}F(x+epsilon)-F(x)}{epsilon} = lim_{epsilon o 0}frac{e^{epsilon a_i}F(x+epsilon)-F(x+epsilon)+F(x+epsilon)-F(x)}{epsilon}\ =partial_iF(x)+a_iF(x)=D_iF(x) end{aligned}$

根據 $a_i$ 所屬的代數，它可以是引力場( $a_i=(Gamma^k_j)_i$ ,Christoffle symbol),

或者是Yang-mills場( $a_i=mathrm{i} g(A^k_j)_i$ ,),etc.

但是搞事情不能亂搞的——畢竟狡猾的人會說為什麼不將包含了因子的F定義為新的F，這樣就根本用不著a了，這也正是問題的關鍵

這涉及到，什麼叫規範？

比如力學中描述質點的運動，不同的測量者可以選擇任何坐標系——閔可夫斯基坐標系/曲線坐標系;

比如如果質點能和電磁場耦合在一起，不同的測量者能根據同一個電磁場制定自己的一套「矢勢」, 量子化之後體現在量子態在空間不同位置的「相位零點」不一樣;

蛤姆雷特只有一個，但一千個人有一千個蛤姆雷特;

它們代表的物理都是一樣的，但不同的測量者又的確得到不同的數據，說明有場 $a_i$ 裡頭有冗餘的東西——為什麼以前我們沒有注意到冗餘？因為在沒有真實的引力場的情況下，在沒有真實的電磁場(及其它規範場)的情況下，扣除掉冗餘之後， $a_i$ 就沒有了，這時候用普通導數就是墜好的。在平直的時空里，加上的 $a_i$ 可以等效成引力場，但是並沒有實打實的曲率。

btw, 描述曲面上的質點可以用到 $a_i=(Gamma^k_j)_i$ ，但完全是奇淫技巧(黎曼幾何)。

後來大家就發現，有些情況下沒法用扣冗餘的辦法把 $a_i$ 扣乾淨——比如愛因斯坦發現「真實的」引力場只能在局域通過「電梯實驗」消除(實際上這事情要追溯到高斯絕妙定理)——說明這背後有一些不同以往的東西(曲率)。我們就不去掉 $a_i$ 了（思路變成尋找更合適的 $a_i$ ），甚至還想搞個一般化的大推廣(Yang-Mills場,纖維叢), 並將 $a_i$ 賦予基本作用力的「詮釋」。事實上， $a_i$ 是否是trivial的，正是可以通過觀察 $e^{epsilon a_i}F(x+epsilon)$ 沿著閉合路徑走一圈能不能回到原來的數值來確定。

坐標系是人定的，所以好的物理量不應該依賴於坐標系。

協變張量的好處有：

1.協變張量可以很容易地構造出不變數來，如協變動能項 $frac12D_muphi D^muphi$ ；

2. 協變張量在非退化的坐標變換下不會變成0，反例如克氏符，在每一點總存在坐標系（Free Falling）使得克氏符為0，你就很難說這是一個好的物理量。

協變導數便是導數算符的協變版，意義同上。

對於規範理論協變導數，把上面的「坐標系」換成「規範」就可以了。

物理上最簡單的兩個例子

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1，我們要求拉格朗日密度在定域規範變換下保持不變，那麼普通導數算符就需要「修改」(普通導數算符無法保證拉格朗日密度保持不變)。

以最簡單的U(1)定域規範變換為例：

如圖我們必須定義新的「導數運算」，而且「逼」出了4維矢勢。

更具體的說，U(1)主叢上的聯絡給出了底流形上的4維矢勢。

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2，如圖在牛頓-嘉當時空和廣義相對論做牛頓近似時，聯絡係數在物理上反應「引力場強」。

由上面兩個簡單的例子可以發現，擁有「看得見」的物理意義的是協變導數算符中的聯絡係數。

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幾何上看……

1，協變導數表面上是為了保證對張量場做微分運算時，結果還是張量場。而張量在某種意義上的「不變性」正是物理中所需要的。

2，流形上定義協變導數後，可以做到：

(1)對張量場做「微分運算」，並保證結果還是張量場。

(2)定義矢量場沿曲線的「平移」。

(3)利用繞異性定義黎曼曲率張量。

(4)賦予了不同點切空間之間曲線依賴的同構映射(利用「平移」的概念)。

(5)引出測地線的概念。

………………

(字丑勿噴)

就是彎曲空間中的導數。

我寫的簡單一點，不說那麼高深的定義（事實上水平也不夠）

在任何一個空間當中，我們需要定義一個參數坐標系，比如我們在一個圓環上用角度定義一個坐標，在球面上用兩個角度來定義。

我們知道一個矢量需要用一組基和每個基上的係數來刻畫，那一組係數通常我們叫做分量（component）。一個真實的物理量是不會因為我們選擇怎樣的坐標系就改變的，在不同的坐標系下，表示該矢量的分量顯然是不同的。而這時候為了保證這個量本身是不變的，在進行坐標變換時，我們要求這些分量按照一定的規則來變換。矢量如此，張量也是如此。因而某些書上會將張量定義為，按照某種規則進行變換的量。

對於空間當中的每一個點上的矢量，在這個點上的切空間中定義。而切空間中的基的一個很直觀的定義，就是沿著參數的切方向，也就是坐標線的切線方向。

那麼問題來了，對於彎曲空間當中，不同的點上的基是不相同的。比如一個圓環上各個點的切方向當然不同。於是我們在對任何一個坐標求導的時候，除了要考慮分量的變化，還要考慮到基的變化。分量的變化是導數通常的那一項，而基的變化就構成了協變導數中那多出來的一項。

這個協變導數是協變的（廢話），他滿足張量在坐標變換時的變換規則。直觀上我們可以認為，任何真實物理量總是不隨坐標系的選擇而變化的，因此它們的分量總是應該滿足變換規則。而真實物理量應該是基用分量作為係數的線性組合，自然對它的導數應該對兩部分都求導，對於乘積的求導當然就會求出來兩項。