x^11+x^7+1的因式分解是怎麼想出來的？

01-04

編輯者補充：
用Matlab等工具容易得到答案是 $x^{11}+x^7+1 = (x^2 + x + 1) (x^9 - x^8 + x^6 - x^4 + x^3 - x + 1)$ 。
但是怎麼想到會有 $x^2+x+1$ 這個因式呢？

這就跟初中學習因式分解時候的基本方法是一樣的啊，比如說我們嘗試分解

$x^3 - x^2 + x - 1$

我們會發現1是這個多項式的根，所以就分解出一個(x-1)，然後變成 $(x^2 + 1)(x-1)$

只不過到了更高級的階段，我們會去嘗試的根，除了簡單整數以外又多了一類： $x^k = 1$ 的複數根，它們可以寫成 $exp(frac{m}{k}2pi i)$ 的形式，恰好有k個，而且剛好有： $sum_m exp(frac{m}{k} 2pi i) = 0$ 。我們可以簡單記 $w_k^m = exp(frac{m}{k} 2pi i)$

那麼回到問題，我們看到 $x^{11}+x^7+1$ ，它是三項的和，係數都是1，其中有一項階數是0，那麼我們自然會想到 $w_3^2 + w_3^1 + w_3^0 = 0$ ，再仔細一看，剛好 $w_3^{11} = w_3^2, w_3^7 = w_3^1$ ，所以 $w_3^1, w_3^2$ 都是這個多項式的根，那麼我們就可以分解出一個 $(x - w_3^1)(x - w_3^2)$ 了。這個多項式也可以展開成實數形式也就是 $x^2 + x + 1$ 。約掉這個多項式剩下的部分就沒那麼容易分解了，不過看來大家也不分解。

最早做這個題時，是注意到 $11equiv 2(mathrm{mod}3)$ 和 $7equiv 1(mathrm{mod}3)$ ，自然而然就想到了三次單位根，帶進去發現果然是解……然後用多項式除法除出來的.

其實潛意識裡想的是：任意實係數多項式必可分解為若干個實係數一次式和二次式之積

證明很簡單，記 $f(x)$ 的實根是 $alpha_{1}, alpha_{2}, cdot cdot cdot , alpha _{n}$ ，復根是 $eta_{1},ar{ eta_{1}}, eta _{2}, ar{eta _{2},} cdot cdot cdot , eta _{m}, ar{eta _{m},}$

$f(x)=(x-alpha_{1})cdot cdot cdot (x-alpha _{n})(x^{2}-(eta _{1}+ar{eta _{1} })x+eta_{1} ar{eta_{1} })cdot cdot cdot (x^{2}-(eta _{m}+ar{eta _{m} })x+eta_{m} ar{eta_{m} })$

這個東西是一直支持我試下去的精神支柱，雖然不一定可約但是依然很好啊。

然後就觀察觀察，就看到 $11equiv 2(mathrm{mod}3)$ 和 $7equiv 1(mathrm{mod}3)$ 了……

放到 $F_{2}$ 上考慮， $F_{2}$ 上一次不可約多項式只有 $x$ 和 $x+1$ ，顯然都不是因式，二次不可約多項式只有 $x^2+x+1$ ，經檢驗是因式，然後繼續用三次不可約多項式（只有2個）嘗試，以此類推可得

腦中沒有現成的定理, 觀察法也是可行的

x^11+x^7+1 若 x := 2 則 2048 + 128 + 1 = 2177 = 311 * 7

若是熟悉九九乘法表的話, 就能直接看出2177的質因數是7了, 看不出來的話分解一下也成

另兩因數 311 跟 7 可用來初步猜測兩因式的最高階差距比較大

整理下觀察到的現象

1. 先行分解成兩式的結果, 很可能是一個某因式階數大, 另一個因式階數很小, 從階數小的著手並先猜測其為簡單的二次方程, 不行的話再考慮更高次的

2. 因為原式 x^11+x^7+1 最高階(最低階)項係數為 1, 所以因式最高階(最低階)項係數也只能是1

據上述想法猜測: 當 x = 2 時, 某因式為 x^2 + b*x + 1 = 7, 求解得 b=1, 其中一個因式是 x^2 + x + 1

使用多項式除法後, 證實 x^2 + x + 1 可以整除 x^11 + x^7 + 1, 並得到下面的另一個因式

x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1, 此式的 x 帶進 2 會得到 311, 開根後小於20, 驗證20以下的數是否有質因數, 經驗證分解沒有 1 以外的因數, 所以只能是質因式

要是你老師非得要你用因式分解技巧解題, 那就用多項式乘法把

(x^2+x+1)*(x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1)一步一步乘回去, 多項式演算順序顛倒過來就是因式分解了, 記得把其中幾個步驟合併以掩飾原來的實驗觀察法, 看起來更自然

二進位

1000 1000 0001

就是十進位的2177

非常容易看出來2177可以被7整除

7的二進位就是0111

也就是

x^2+x+1

合理的過程，我們班同學做出來的。

三階單位根可秒。

用手機寫一個思路正常計算量不大的方法。（事先明確一下，整數環上的因式分解並無一般性的方法，不過出題人會告訴我們用哪種方法。多刷題就會有感覺。）

若將原式在整環上分解，則每個因式的首項與末項係數都是±1。而 x±1 又顯然不是原式的因式，故可【猜想】想它有 x^2 + k x ±1 這種形式的因式。而原式在 x=-1 時為 -1，故其因式只能是 x^2 + x + 1 或 x^2 - x - 1。此時可驗證前者是其因式。

（補充一下吧，若驗證結果說明它沒有二次因式，那麼這種方法就行不通了。）

對於這種冷僻的數學問題，

應該不是先有問題後出答案的，因為類似這種問題有無窮多個啊

（對於五次以上的一般多項式，已經證明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也沒有固定解法。）

估計某神計算其他問題時的副產品，是無心插柳之作

這種神答案我輩用笨辦法也許也能找出來幾個

aX^（n）+bX^（n-1）+cX^（n-2）+dX^（n-3）.......+xX^2+yX+z=F(X)*G(X)

編程，用窮舉法一個一個試吧

（可以把所有字母換成10以內的數字，如果哪套數字把等式成立了，就記錄下來針對性地重複驗證或者研究）

炯線代第一章某習題裡面有……一般形式……好像

考慮餘數定理，和那啥，代數基本定理。先帶入三次單位虛根w.

w的11次方＋w的7次方＋1＝0

於是有x-w和它的共軛因式都是原式因式。

這兩式相乘就是x2+x＋1

然後配方一下

接下來還要證明另一個因式在有理數集內不可約

這個我不會。。

有個東西叫三次虛單位根。

令x=2，素因數分解，將因數嘗試復原為對應多項式。

【在只會寫√n耗時的簡單的BASIC程序的高中時代我這麼做過

滿腦子都是建立線性方程組用行列式去解的我沒救了。

看來是思路被限制住了。