微分流形中的映射度有什麼應用？

01-04

如利用映射度的概念可以很容易證明代數基本定理。但是我感覺上了微分流形課後對於映射度只是淺嘗輒止的介紹和證明了其為整數，有沒有更多的應用的例子呢？

看到拓撲度沒有看到微分流形，罪過罪過。看這個答案時候忘記微分流形吧。

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看到這個問題，我就翻了翻導師當年上非線性泛函分析時候的講義。把其中用拓撲度證明的有名字的定理羅列一下吧。

Brouwer不動點定理，Brouwer區域不變定理，Jordan分離定理，Jordan曲線定理，Borsuk對徑點定理，然後可以得到Borsuk-Ulam 定理

然後推廣拓撲度到無窮維，就會有Leray-Schauder度，利用這個Leray-Schauder度可以證明緊無縮定理，Schauder不動點定理的第一形式。

下面是我想到的一些相關的結果

再就是在臨界點理論中， Leray-Schauder度可以證明鞍點定理，然後再進行一些推廣，就可以利用鞍點定理得到Rabinowitz1978年在CPAM上關於Hamiltonian系統的解的存在性的定理。

1978年Fadell和Rabinowitz也進一步提出了李群作用下的指標定理。

1980年Lasry和Ekeland在Annals上用這個指標和Pinch條件證明了在緊凸超曲面上，pinch條件下，至少n條閉特徵。

There is one famous application in Chern"s intrinsic proof of Gauss Bonnet Chern Formula.

By Hopf theorem, we can find a vector field $X_0$ such that, $X_0$ has one zero at a point p and degree is $chi(M)$

Consider $xi:Mackslash p ightarrow S(M):frac{X}{|X|}$ . Then $pi_2xi=id$

$Omega=(pi_2xi)^*Omega=xi^{*}(pi_2)^*Omega=xi^{*}dPi=d(xi^{*}Pi)$

$int_MOmega=lim_{epsilon ightarrow 0}int_{Mackslash B(epsilon)}d(xi^{*}Pi)=-lim_{epsilon ightarrow 0}int_{partial B(epsilon)}xi^{*}Pi=-lim_{epsilon ightarrow 0}int_{xipartial B(epsilon)}Pi$

$xipartial B(epsilon)sim -deg(X)pi_2^{-1}(x)$

Therefore we have $int_MOmega=chi(M)$

$Omega$ is the pfaffian of curvature, $Pi$ can be identified with induced standard volume form on unit sphere of frame bundle with CERTAIN identification.

這個degree最初我知道是來自拓撲，某一天我做課後題突然想到一個問題，如何判斷球面之間的映射是不是同倫的，後來問別人，說Brouwer提出了一個叫映射度的概念來研究n維球面之間的映射，映射度相同的映射彼此同倫。後來發現在流形里也有這個有點吃驚，居然也是整數.....

見Milnor的小冊子: Topology from the Differentiable Viewpoint。可讀性高，書後習題有料。

不怕死的可以看GTM104現代幾何學2。

微分拓撲中的定義和代數拓撲中用同調的定義是一致的。

ps. 不知為什麼很多流形論的書只關注做微積分，不怎麼講拓撲。個人認為橫截性，映射度，de Rham理論都應該涉及到。

用來得到poincare－hopf定理中橫截向量場的嚴格定義。

可以引入index，然後就有了lefschetz formula。