如何舉例說明數學期望有時是不存在的？

---

另一個回答的例子舉得很好，但是沒有答到點子上。

數學期望的定義里要求定義式是絕對收斂的，出發點是，當一個分布給定下來之後，它的期望值不應該受到定義式求和順序的改變而改變，而絕對收斂是能夠保證這一點的。

連續型分布中有一個典型的例子就是Cauchy分布。

---

柯西分布的例子上面已經有答主給出，但想借這個問題說一下：期望值定義裡面的絕對收斂條件只是一個習慣（convention），這不是唯一的定義也不是最全面的定義方法。它的好處如上面答主所說，期望值是個和，絕對收斂可以保證其取唯一的（有限）值，而不會因為重排求和順序而得到不同的值的情況（即條件收斂）。但要求絕對收斂，會忽略期望值取的情況，事實上這種情況在另一種定義是允許發生的。

記分別為的正部和負部，則它們都是非負的隨機變數（會有非負的期望值），並有，

則···

那麼一共有四種情況

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

關於期望值（存在）更全面的定義應該是這樣的，

定義：（1）如果（此時或都有限），則稱可積()，為的期望值。

（2）如果或有限（即不同時為正無窮），則稱關於概率測度的期望值存在。

不難看出（1）對應的是（i）的情形，而（2）對應的是（i），（ii），（iii）， （2）包含（1）。

關鍵在於（*）式中的兩個運算，是兩個非負數（可取正無窮）之差，或取有限值時，這個差是有意義的（分別是的情況，a，b有限）。但兩個數都是正無窮時((iv))，這個差是沒有意義的，因為我們不知道它們分別發散的速度（特別地如果能取某個有限值時總可以通過重排求和次序（改變其發散方式）使其取任意有限值，即條件收斂）。

因此只要差運算有意義時，我們可以都認為期望存在。在很多資料中，定義期望時只提到了（1），而沒有提到（2），這樣的做法可以帶來很大的方便，因為絕對收斂條件成立時我們不用去考慮會否出現無窮減無窮的情況，得到的期望值一定有意義，這是一種習慣的做法也是最常用到的情況。然而這樣得到的期望一定是有限的。取值（正負）無窮的期望也是有意義的（（ii），（iii）的情況），但這種情況並不常見。

因此上面離散的例子在上述定義下是存在的，它是一個取值正無窮的期望

（)，但不可積。

連續的無窮期望例子，如：布朗運動的首達時，

不存在的例子就是柯西分布，因為出現無窮減無窮的情形。

歡迎指正。

---

我來補一個離散的例子。

假設一個隨機變數取正整數n的概率為，容易驗證。

則期望不存在，因為不收斂。

---

你可以搜一下聖彼得堡悖論

---

我也來摻和一下，嘗試從統計的角度來解釋。

假想我有2台隨機數生成器A和B，

首先按照同一個分布各自獨立地生成隨機序列Xa和Xb，

然後分布對兩個序列作統計平均，得到ma和mb

最後比較ma和mb之間的差異。

如果數學期望存在，那就幾乎一定能發現數學期望，ma和mb三者之間的差別要多小就有多小，只有序列長度足夠長。

如果數學期望不存在，那觀察到的現象就是ma和mb之間不會隨著序列長度的增加無限地靠近。

---

推薦閱讀：