實數中乘法不是加法的複合么？為什麼乘法與加法並列提及？

01-04

2*4=2+2+2+2 乘法可以被「還原」為加法
問為什麼m*n和n*m相等？

我的腦海中有一個點組成的長方形，m行n列。m個n和n個m一樣多。

在 $mathbb R$ 或 $mathbb Z$ 上定義

$a+b := max{a,b}$ $ab:=a+b$

這就不是複合了

首先，在代數學裡面，加法和乘法是兩種獨立的運算，乘法不一定非要由加法來定義。

在實數這個具體的例子里，首先當然可以用加法定義自然數上面的乘法，然後再延拓為整數上的乘法與有理數上的乘法。注意到有理數的構造，正好就是交換代數中局部化／取分式域的構造。所以「整數上的乘法延拓到有理數上的乘法」實際上是說「利用原來的整區（在這個例子里就是整數環）的乘法來定義分式域（這裡即有理數域）上的乘法」。

從有理數上的乘法定義實數上的乘法，要把這個乘法「連續」地延拓到實數上面去，也就是直觀理解的「取極限」。在這裡利用了實數上面有自然的拓撲（序拓撲），不然「連續」這個詞是沒有意義的。

所以實數上面的乘法，某種意義上確實來自於他的加法，但是中間要經歷取分式域（which is 代數）和連續延拓（which is 拓撲）等過程，所以也不是那麼直接的。

首先題主應當明白，數學家要處理的，不僅僅是實數，還有各種數域和多項式環等等。

公理化的數環數域，是抽象的數學結構。

數學家最終不關心你是怎麼得到這個數系的，他們只關心這個數系具有什麼性質，怎樣能精確刻畫。

公理化實數的意義在於:

1.你用各種稀奇古怪的方法得到一個數系，只要符合實數的所有公理，我就可以把它們當作實數。

反之，即使看起來很像實數，違反了某條公理，就不是。

比方說： $dots 111$ ，小數點左邊無窮多個1，你說它是不是實數？對不起，阿基米德公理不允許這種無窮大數存在.

2.實數理論這一套建立好，稍微修改就能變成別的理論。

如果滿足一部分公理，那麼就具備只依賴這部分公理的性質。

我們用公理來區分開不同的結構的性質。

也許你覺得乘法交換律是顯然的，但四元數八元數怎麼就變了，實數複數怎麼就可以？

也許你覺得數有大小關係是顯然的，但複數怎麼就變了，實數怎麼就可以？

順便說一下，在自然數的皮亞諾公理里，沒有直接刻畫乘法和加法，都是通過後繼定義的。

如果你要是堅持從皮亞諾公理出發，把乘法和加法還原成後繼，不是不可以，但是只是增加麻煩。

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再補充說明一下，公理化有兩個層次上的使用。

一種是我直接給出有理數的公理定義實數，這時有理數和它們的運算就是基本概念

我直接給出實數的公理定義實數，這時實數和它們的運算就是基本概念

另一種是，雖然我用公理化方法定義了實數，但我擔心這組公理是不是相容，我想從我已經承認的數集比如有理數出發，構建一個模型，這時你就要利用有理數去定義實數，驗證你的模型符合實數的公理。

那根號2乘根號3，題主你要怎麼樣拆？

說到底，題主還是停留在高中思維，對於線性空間並沒有概念。

抽代大法好。

代數學研究的是代數結構。乘法加法都只是人為定義的兩個運算。所有二元運算都可以被稱為乘法，滿足交換律的二元運算被稱為加法。也就是說加法也是乘法。一個集合加上定義在其上的運算(一個，兩個)，並且滿足某些公設，就可以稱為基本的代數結構(群，環，域)。代數學家研究的是這些代數結構上的性質，比如其上的子群，陪集，理想，多項式等結構。

乘法和加法的定義可以是沒有關係的。只是在實域內由公理所定義的加法和乘法是題主所說的那種關係，即m*n=m個n相加。這並不是所有代數結構都有的性質。並且乘法按照代數學定義是不需要滿足交換律的，雖然實數的乘法滿足。

你看方陣的加乘法不就得分別定義嗎？並且方陣的乘法並不滿足交換律？這些跟實數的加乘法不一樣，但是和代數學的定義是兼容的。

數學家研究的是抽象的結構。實數只是構造出的一個性質很好的結構，由公理給定了其上的序關係，完備性，運算等等。這些公理讓實數擁有了題主所想的那些顯然的性質。

即使在整數範圍內，m個n相加也是一件很不顯然的事情，它需要加m-1次，而m可能是一個非常大乃至任意大的整數，處理這樣的操作需要動用數學歸納法，這是很不方便的，而對實數更是無從下手了。

沒有幺元的情況下，加法永遠無法推導出來乘法啊。

而你定義一個幺元，其實和構建一個乘法群沒區別啊。

至於提問者，數學比你想像的博大精深的多，希爾伯特嘴巴裡面的加法乘法和你所理解的加法乘法差距以光年計。

實數包含了自然數，但是不要總拿自然數來說乘法，靠這個你永遠理解不了一般實數的乘法。

前半句是顯然的。

後半句，加法是由乘法是定義的，是人們規定的某種二元運算。

普通群的定義是單位元，逆元，結合律

交換群的定義是單位元，逆元，結合律，交換律。

那題主有沒有發現關鍵呢？對，就是交換律。所以我們才習慣上將交換群稱為加法群。而正因為如此，所以才有了我在開頭說的那句話，加法是由乘法定義的。

所以，這兩個東西並不是並列的。

去學近世代數。比看我們這一群人從這說有用的多。

近世代數學的不好。。。有錯的地方請指出。。。謝謝。。。

加減法創造了整數數域

乘除法進一步把範圍擴大了到有理數數域（當你看到小數和分數時，要明白這是一個創建在乘除法之上的數，比如0.31這個數實質是31/100，你用加減法是造不出這個數來的）

指數及對數還有三角幾何的加入，再進一步創造了實數數域

數域是由運算符製造出來的，離開了運算符，數域無法單獨存在。

上面就是我的粗淺認知。

我就問你一個問題。

為什麼m個n相加和n個m相加結果一樣？請只在加法的知識基礎上給出解釋