量子力學和信號與系統這兩門課之間是不是有某種聯繫？

01-04

國內物理系很多都不教信號與系統這門課我也是物理系出身的偶爾看了下信號與系統經常覺得這門課跟量子力學有些地方比較相似
在思維方式和概念理解方面
比如傅里葉變換表象變換以及涉及到後面固體物理裡面的實空間倒空間還有哈密頓量(矩陣)和系統函數矩陣之間等等

感覺這種聯繫來自於數學？亦或是這兩門課本質上的相同點都是人類在研究信號以及信號和信號之間的轉變微觀世界波動性起主要作用之後微觀粒子本身就變成了一段信號而信號與系統面對的宏觀層面的信號(一個複雜系統產生的信號)

$e^{xy}$ 中， $x,y$ 稱為共軛變數。例如在平面波中：

$e^{ixk-iomega t}$ , $x,k$ 共軛； $omega, t$ 共軛，因此有變換關係。

之所以信號和量子力學有相似處，因為他們處理的都是波而已。量子力學最本質的共軛變數變換關係是要求：

$[x,p]=ihbar$ 。或者又說， $p=hbar k$ 。這個可是和信號系統半毛錢關係也沒有的。

Conjugate variables are pairs of variables mathematically defined in such a way that they become Fourier transformduals of one another, or more generally are related through Pontryagin duality. The duality relations lead naturally to an uncertainty in physics called the Heisenberg uncertainty principle relation between them. In mathematical terms, conjugate variables are part of a symplectic basis, and the uncertainty principle corresponds to the symplectic form.

把技術問題歸到「哲學」原理的都是耍流氓

只是從形式上倒是有些相似的東西，都是由數學上的相似導致：

香農採樣定理在[-T，T]×[-Ω，Ω]的採樣數目等同於量子統計中區間內的獨立態數目，從Heisenberg原理容易看出聯繫，而信號上，這是Landau和Pollak的prolate spheroidal wave function作為特徵函數的數目（也就是本徵值數目）決定的，它是所謂時頻受限運算元的本徵函數，函數一般不能時域頻域同時受限（Paley-Weiner定理），它只用于衡量受限時逼近原函數的程度。那麼香農採樣定理就是說至少需要采n=S/2π次樣來分辨這n個本徵函數（等同於該區間內的N個量子態）以便在該區間內重構信號。

技術上加窗傅里葉變換和小波都能構造量子光學中的所謂P型運算元（量子力學中似乎叫做Wigner分布？）來構成時頻局域化運算元。題外話Daubechies的小波十講還說過一個有趣的應用——Lieb使用P運算元證明了多體庫倫勢在Z趨於無窮時的確會趨向於Thomas-Fermi理論

有。

時域和頻域之間的轉換和坐標表象與動量表象之間的轉換是一樣的。

「不確定原理」在信號這邊就看的更清楚一點：時域越窄，則頻域越寬；頻域越窄，時域就越寬。

同一段錄音，放的越快，頻率就越高；放的越慢，頻率就越低。

因為大多數信號處理的系統假設信號由一個線性或者準線性系統產生；有限採樣下的 variance-bias trade off 是否能夠和統計物理有很好的數學上對應我沒有想清楚

是因為它們都有共同的底層數學基礎，就是處理周期性問題。而處理周期性問題，數學上的方法就是傅立葉變換。

信號往往在時間上有周期性，而固體物理研究的一大對象--晶體--在空間上有周期性。對於這樣子有周期性的問題，做了傅立葉變換，可以得到信號強度與周期頻率的關係。所以信號做了傅立葉變換得到頻率分布信息，而倒易空間實際就是晶體周期的描述，所以倒易空間的點和晶面以及衍射有關。

所以說，傅立葉分析是這兩種周期性問題的基礎。

解決的物理問題不同，使用的數學工具類似……

時域越窄，則頻域越寬；頻域越窄，時域就越寬。

——白如冰

Heisenberg"s Uncertainty principle

$e^{j2pi f_0 t} longleftrightarrow delta(f-f_0)\ delta(t-t_0) longleftrightarrow e^{-j2pi f t_0}$

i.e. if a signal is infinitely concentrated (Dirac delta function) in one domain, it is completely spread out (exponential) in the other.

Also recall the scaling property:

$sleft( frac{t}{T} ight) longleftrightarrow T cdot s(Tf)$

i.e. if signal spreads out in time domain by factor of T, spectrum is compressed by same.

e.g. $ext{rect}(frac{t}{T}) longleftrightarrow T cdot ext{sinc}(Tf)$

Duration of signal = T s, main lobe bandwidth of spectrum = 1/T Hz.

In previous examples, Signal duration x Bandwidth = constant. Can be shown that for any signal,

$ext{Duration} imes ext{Bandwidth} ge frac{1}{4pi}$

Uncertainty principle (after Heisenberg)

(Bandwidth and duration above defined in terms of RMS quantities.)

Intuition: if signal decays rapidly with time (i.e. short duration)

? d/dt must be large

? High frequency content significant

? Bandwidth large

有，離散信號處理的教學上有個很尷尬的問題，最基礎的問題「奈奎斯特採樣定理」很少能給出理論上很嚴謹的推導。

這個問題和不確定性就有很大的聯繫。

具體參考

http://arxiv.org/abs/1108.3135

The Heisenberg Uncertainty Principle and the Nyquist-Shannon Sampling Theorem

其摘要如下：

The derivation of the Heisenberg Uncertainty Principle (HUP) from the Uncertainty Theorem of Fourier Transform theory demonstrates that the HUP arises from the dependency of momentum on wave number that exists at the quantum level. It also establishes that the HUP is purely a relationship between the effective widths of Fourier transform pairs of variables (i.e. conjugate variables). We note that the HUP is not a quantum mechanical measurement principle per se. We introduce the Quantum Mechanical equivalent of the Nyquist-Shannon Sampling Theorem of Fourier Transform theory, and show that it is a better principle to describe the measurement limitations of Quantum Mechanics. We show that Brillouin zones in Solid State physics are a manifestation of the Nyquist-Shannon Sampling Theorem at the quantum level. By comparison with other fields where Fourier Transform theory is used, we propose that we need to discern between measurement limitations and inherent limitations when interpreting the impact of the HUP on the nature of the quantum level. We further propose that while measurement limitations result in our perception of indeterminism at the quantum level, there is no evidence that there are any inherent limitations at the quantum level, based on the Nyquist-Shannon Sampling Theorem.

《信號與系統》是電子類的專業基礎課。

個人感覺兩門課的聯繫更多來自於數學上的聯繫。傅立葉變換，拉普拉斯變換都是用於信號分析處理的。

有幸，量子力學、信號與系統、固體物理幾門課都蜻蜓點水般學過。

個人淺見，彼此並無什麼關係。信號與系統和另兩門分析或處理的都不是同一個問題，最多數學方法上有些許類似，如題主所述的矩陣相關內容（而且量子力學多是算符計算，傅里葉變換、拉氏變換好像涉及也不多）。固體物理和量子力學倒真還有部分相關，特別是分析粒子屬性，什麼費米子、玻色子，或是能帶、勢阱、躍遷等相關內容。不過，實空間、倒空間主要是研究晶體、晶胞結構的，好像和量子力學也不怎麼相關。布拉格、布里淵之流在光學領域更多一些。

不得不感嘆，本科學的真是雜。培養計劃寫的：當做工科培養的理學學士，物理學的各種力學+電子通信類的基礎+各類光學。然而，目前看來除了忽悠一下外行，裝裝逼，好像並無卵用。

網易公開課-斯坦福大學的傅立葉變換與應用就有講到，其實本質都是傅立葉變換，只有有互為倒數的域就可以看成傅立葉變換的兩個域，不一定一定理解成頻域和時域，晶體成像就是晶格寬度域與長度倒數域的傅立葉關係

難道是傳說中的光電信息科學與工程？

相互糾纏

世間一切封閉環境都可視為系統，其中一切狀態的改變都可視為信號。

很好奇題主是什麼專業

本質是線性代數

系統對時域的分辨能力越強，對頻域的分辨能力就越弱。所以才有後來的小波變換，在不同的頻率具有不同的解析度。

建議去聽一下網易公開課《傅里葉變換及其應用》

看完之後，你就會覺得真的跟量子力學有關係

這門課很酷很酷！