如何從初等幾何角度證明直線和橢圓最多有兩個交點？
01-04
我可以從初等幾何角度證明直線與圓最多有兩個交點。怎麼證明橢圓的情況？
初等幾何，準確地說是「公理化的、純邏輯演繹的歐氏幾何」。線性變換是連續變換，坐標系做線性變換的話，應該不改變拓撲性質。
因為直線與圓只有兩個交點，那麼直線與橢圓也應該只有兩個交點。這個事實應該是正確的，但我們能不能單純的從初等幾何證明呢？
根據橢圓的定義：到平面上兩點之和為定點的點的集合
如果一條直線上有三個點滿足這個條件：
這是很容易證明的
你題文里說的方法還不夠初等嗎？事實上把橢圓變成圓只需要坐標伸縮變換，這個高中數學有講，當然直線變換後還是直線。而坐標伸縮變換不改變拓撲性質（可以換用非學術的辭彙，比如「位置關係」之類的，高中解題都是允許的）是非常顯然的
橢圓是二次曲線，聯立橢圓和直線方程，當然仍然是二次式，最多只有兩個解。
基於經驗直觀的樸素體系（並不嚴密），從構造的角度：
Apollonius Ⅰ.1從圓錐曲面的頂點到這曲面上的一點所連接的直線都在該曲面上（據圓錐曲面的定義，而該定義是一個構造過程）
推論：連接從頂點到這曲面內的某點的直線，它將在這曲面內 連接從頂點到這曲面外的某點的直線，它將在這曲面外 （據Eucl.Ⅺ.1 （一條直線不可能一部分在平面內，而另一部分在平面外）該命題無法用歐幾里得提供的定義、公理、公設證明，該命題作為一個公理出現比較好。而Apollonius這裡將平面替換為了圓錐曲面，不嚴密）Apollonius Ⅰ.2 在兩個對頂的圓錐面的任何一個上取兩點，且連接這兩點的線段延長後不過頂點，則該線段在曲面內，而它的延長線在曲面外（據Ⅰ.1 推論）
Apollonius Ⅰ.7 是對圓錐截線的構造，我們結合前後幾個命題，排除圓（當然圓和虧曲線即橢圓後來經常放在一起討論），剩下的平面與圓錐曲面的交跡即為常說的三類圓錐截線
橢圓如下：
那麼不過頂點的平面與圓錐曲面的截線即為圓錐截線（包括圓），根據Ⅰ.2，顯然直線與圓錐截線最多有兩個交點
然而我們知道Ⅰ.2由Ⅰ.1 推論而來，Ⅰ.1 推論由Eucl.Ⅺ.1而來，這裡非但Eucl.Ⅺ.1無法證明，用圓錐曲面代替平面也不嚴密推薦閱讀：
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