為什麼向量的內積是標量，而向量的矢量積是向量？

01-04

脫離內積、矢量積這兩個命名來看待這個問題，
內積等於兩個向量的模乘以夾角的餘弦值，
向量積等於兩個向量的模乘以夾角的正弦值（僅從絕對值角度考慮），
那麼為什麼不把內積也定義成向量呢？而只是單單
地把向量積定義成向量？

如果讓你改變向量內積的定義，並且把內積定義成矢量，那麼你會如何定義呢？

Sin與Cos不是區分點積與叉積的重點這兩種運算本身就是針對不同情況提出的沒必要糾結這個個人覺得就像距離和位移沒必要一定要把距離定義成向量

這兩者都是一般的線性空間里的結構在三維空間里的特殊情況。

內積本質關心的是向量的長度，兩個向量的夾角，等等。

叉積本質上是張量積，關心的是向量之間線性相關，線性無關之類的性質，可以推廣到許多個向量（其實叉積是用張量積和內積一起定義的）。

知其然而不知其所以然。

題主過分地把目光放在了無謂的sin和cos上了。然而點乘和叉乘只不過是在模長上恰好滿足三角函數的表達而已。

好像哪裡錯了……算了，懶得改了

自己在手機上無法修改提問，因為我覺得從數學上，正弦函數並不比餘弦函數特殊，那麼為什麼一個是向量（對應於向量積），一個是標量（對應內積）呢。

誰能把上面的話添加到提問裡面呢？

inner-product和cross-product的區別不是cos和sin的區別，而是數學上的不同需求

對於一般向量空間而言，向量是其中的基本元素，單個向量我們關心它的方向，而對兩個向量我們則關心它們間的相關性，這個相關性則由它們間的「角度」來度量，這個角度值是一個標量，所以我們引入了inner-product，

$cos heta=frac{acdot b}{|a||b|}$

這裡的cos是從二維的餘弦定理擴展到一般的內積空間。

而cross-product即向量積，我們需要的是一個法向量，即：

$n=a imes bRightarrow not a,not b$

所以其實對於法向量，我們最關心的是它的方向這個主要信息，長度倒不是很緊要，最後定義它的長度帶sin，可能是從方便用混合積計算平行六面體的體積來考慮的吧

$V=|acdot (b imes c)|$

邏輯是這樣的，cos,sin之類的三角函數無疑最初來自於幾何定義：直角三角形各邊之間的關係。

後來又有人需要用內積度量來表示矢量相關性，又定義出矢量夾角的概念

$cos heta=frac{ucdot v}{|u|,|v|}$

然後人們發現，在三維空間，矢量定義出來的這個cos其實就是原來定義的那個cos。高維空間矢量的角度就完全只能腦補了。

和內積不同，叉乘只對三維空間適用，它就是用來求法向量的。至於叉乘為什麼要在定義中用到sin，那是因為可以讓叉乘反映平行四邊形的面積。而且，兩個角度為零的矢量的法向量是沒有定義的，sin函數正好滿足這個性質。

涉及到所謂的叉乘, 應該考慮用多重線性代數來討論.

事實上你對n維空間的向量都可以定義內積, 但是不能定義叉乘. 從多重線性代數的角度看, 在3維中 $Awedge B$ 正好是個贗矢量(假如我們做一個行列式為-1的正交變換之後, 矢量不變但是贗矢量會變號, 這就是所謂的左手系和右手系的來源), 所以只有在3維才有這種矢量的叉乘. 在2維中 $A wedge B$ 是個贗標量. 在n維如果要類似的東西, 那麼你需要n-1個向量, 把它們給wedge在一起, $A_{1} wedge A_{2} wedge ... wedge A_{n-1}$ , 這玩意兒就是個贗矢量, 可以作為推廣的高維"叉乘"

數學概念又不是憑空產生的，都有一定的背景和物理意義。而物理意義則決定了叉乘的結果是向量。

向量叉積的幾何意義

也許張量分析能給你點啟示：

標量是零階張量，矢量是一階張量，還有二階張量，三階張量……你想要多少階就有多少階。

而點積會降低張量的階數，叉積不改變張量的階數，還有一個張量積，會升高張量的階數。

向量內積的幾何意義是，將其中一個向量躺倒變成1*n的矩陣，把另一個向量按照這個矩陣，線性變換到一條一維數軸上，它是有明確的幾何意義的，幾何意義就是數軸上的一個數，怎麼可以隨便定義成標量呢？

axb的定義是一個向量他是垂直於 ab所在平面的一個向量

而axb這個向量的長度也就是帶sin的那個公式左邊的東西長度當然是標量裡面那個東西才表示向量

我看很多書上都有誤導的嫌疑呵呵

外積其實還有一個很複雜的公式你搜向量叉乘應該能搜到這個結果就是向量

而那個帶sin的公式算出來的是這個向量的長度

我也是醉了