只有三維向量有向量積嗎？

01-04

力距（力臂）與力的向量積等於力矩，
難道只有三維向量有向量積？
還有，人類是如何發現力矩這個概念的呢？

除了3維，7維也有向量積。當然，前提是你心中如何定義向量積。

可以參考下圖中的文獻。

應用例子：利用八元數乘法可以在6維單位球面S^6上誘導出一個近復結構J，但不可積。

關於向量積，也就是叉乘，本質上是二矢(兩個矢量決定的平面)的對偶(法矢)，全空間為3維，平面為二維，對偶自然就是3-2=1維。這種對偶運算稱為hodge*運算元。

也就是說，對於n維空間，二矢的hodge*運算得到的是n-2維多矢。自然只有三維空間的叉乘才能得到矢量，其它維空間得到的是多矢，不滿足封閉性，也就沒必要稱它為矢量積了。

至於力矩，物理含義是確定的，表示一種旋轉力，在研究槓桿原理時應該就有了。剛好可用叉乘來表示其數量和方向信息，至於何時有了現代這種表述，估計要晚很久吧。貌似叉乘本身來源於四元數。

因為向量積本質上是兩個1-形式做外積得到一個2-形式。如果想讓得到的東西看起來像是一個向量，2-形式子空間應該與1-形式子空間作為向量空間同構，從而 $dimLambda^1V=dimLambda^2V$ ， $frac{n(n-1)}{2}=n$ , $n=3$