歐拉數 e 為什麼是無理數？

01-04

$e=lim_{n ightarrow infty }{(1+frac{1}{n} )^{n} } =2.718281828459cdots$
如何證明它是無理數？

我再補充一點，鑒於題主提問方式的特殊性，

所有的無限不循環小數都必然有像題主描述的那個小循環的現象。連一次都沒有的話，我想可以證明它是個循環小數。（後一句話有邏輯錯誤…來自評論區的更正）

評論區有詳細證明，特感謝@Frey

以下為原答案

—————————————————謝邀。

e如果是循環小數，那就一定能表示成兩個整數的比值，即p/q。

一般用來近似計算e的公式是1/n！從0到無窮求和。

這樣我們寫出等式兩邊，只要推出矛盾即可。

第一步，兩邊同乘以q！，則等式左邊是

p（q-1）！

右邊前邊有若干項為整數，從1/（q+1）開始，後面都是分數。

第二步，證後面的所有項加起來不是整數。

提出公因式1/（q+1）以後，後面放縮，可以得出後面所有項的和小於1/q…

因為是大於零的，…所以明顯不是整數

第三步，感謝網路資源，杜玉二在某知道上的回答，不太會貼網址…有什麼細節有問題，就搜「如何證明e是無理數」吧

^_^

因為它沒堅持下去

人家一個無理數怎麼可能循環下去呢, 可能題主覺得是個巧合吧, 但注意這是自然對數底在十進位下的表示, 在其他進位或表示下就沒那麼巧了, 除了, e在連分數表示下是

$e={2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,14,dots}$

即

$e=2+1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/(6+dots))))))))$

因為它不講道理（Irrational）

3.141516171819...

設 $e_{n}=sum_{k=0}^{n}{frac{1}{k!}}$ ,熟知 $left{ e_{n} ight}$ 收斂於 $e$ .

注意到： $0<e_{m+n}-e_{n}=frac{1}{(n+1)!}+frac{1}{(n+2)!}+...+frac{1}{(m+n)!}$

$=frac{1}{(n+1)!}left[ 1+frac{1}{n+2}+...+frac{1}{(m+n)(m+n-1)...(n+2)} ight]$

$<frac{1}{(n+1)!}left[ 1+frac{1}{n+2} +frac{1}{(n+2)^{2}}+...+frac{1}{(n+2)^{m-1}} ight]$

$<frac{1}{(n+1)!}cdotfrac{1}{1-frac{1}{n+2}}$

$=frac{1}{(n+1)!}cdotfrac{n+2}{n+1}$

$<frac{1}{n!}cdotfrac{1}{n}$

令 $m ightarrow∞$ ，則有 $0<e-e_{n}<frac{1}{n!}cdotfrac{1}{n}$ ,於是設 $e-e_{n}=frac{lambda}{n!cdot n}$ ,其中 $lambdainleft( 0，1 ight)$ .

下面運用反證法證明 $e$ 是無理數.

假設 $e$ 是有理數，則設 $e=frac{p}{q}$ ,其中 $p,qin Z^{+}$ 且 $left( p,q ight)=1$ ，代入上式知：

$frac{p}{q}=2+frac{1}{2!}+frac{1}{3!}+...+frac{1}{n!}+frac{lambda}{n!cdot n}$ ,

令 $n=q$ ,則有 $frac{p}{q}=2+frac{1}{2!}+frac{1}{3!}+...+frac{1}{q!}+frac{lambda}{q!cdot q}$ ,

兩邊同乘 $q!$ ,並移項整理得：

$p(q-1)!-2q!-q(q-1)(q-2)...3-q(q-1)(q-2)...4-.......-1=frac{lambda}{q}$ ,

而這個式子左邊為整數，右邊 $0<frac{lambda}{q}<1$ ,因此產生了矛盾.

所以 $e$ 是無理數.

謝邀。其實前面很多的回答都已經給出了正確的回答，我來畫蛇添足吧。

首先要知道e是什麼，人類怎麼知道e的。e是科學常數，我們高中階段的自然對數就是以e為底（上課的時候還有學生問我為什麼叫自然對數？至於為什麼用e表示，數學界誰也給不出一個確切的說法？或者是因為e是指數的英文第一個字母）。一開始想知道e的確切值的是伯努利，即題主說的當n趨向於無窮時，（1+1/n)^n的值。

實際上這個式子和我們的生活息息相關，和算利息有關。複利是利息也可以並進本金再生利息。但是在本金一定的情況下，肯定是記息周期越短錢越多。如果計息周期無限制地縮短，比如說每分鐘計息一次，甚至每秒，或者每一萬億分之一微秒，本利和會無限制地加大嗎？答案是不會，它的值會穩定下來，趨近於一個常數值，而e這個數就現身在該極限值當中。

而以e表示這個常數值的是歐拉，所以也叫歐拉數。他把e表示成級數的形式：1/0！+1/1！+……+1/n！+…至於如何證明這是無理數，前面的答案里很多，通常用的最多也最容易理解的是反證法。

（插播廣告）Google在2004年的招募股金是$2,718,281,828，這是取最接近整數的十億金額。

同時亞冠聯賽廣州恆大的一幅海報非常有數學味：

你看是不是用到了e啊，後面的這個等式值是0，被稱為歐拉恆等式，也被稱為歐拉的寶石。

未完待續。

突然靈光一現想用「量度」這個角度回答

莊子《逍遙遊》曾講到：

小知不及大知，小年不及大年。奚以知其然也？朝菌不知晦朔，蟪蛄不知春秋，此小年也。楚之南有冥靈者，以五百歲為春，五百歲為秋；上古有大椿者，以八千歲為春，八千歲為秋，此大年也。而彭祖乃今以久特聞，衆人匹之，不亦悲乎！

也就是對於不同的物種來說，「時間」具有不同的量度。對於數來講亦然。

一個人只能看到有限的數位，想像有限的數值和空間。無限在某種意義上來說超越了我們的認知範圍（並非有一個無限的概念和詞語就可以完全領會到無限的含義）。一個無理數，小數點後面有無限多位，按照概率來說有一個小小循環很正常啊。因此不能用我們看到的有限「眼界」來限制之後每一個數位數值，非要糾結在其中一些看起來貌似有規律的數字上沒有必要。

也許在百萬位後面又會有一個小循環呢~

再說你要是循環下去不就有理數了（側臉）

以上

如果換成二進位，你的疑惑會更多。。

1828（一步兩步）1828（一步兩步）459（似魔鬼）的步伐

俗話說事不過三，都循環兩次了差不多得了吧

我猜題主是把分數的概念帶入了。

那些可以因為出現餘數相等而循環的小數是可以表示為分數的數，而分數是有理數，不是無限不循環小數。

攤手。

我記得π到2000多位有一次出現了連續7個3

因為它循環兩次就歐啦

一般是除法結果的才會循環下去吧。。e不是除出來的

第一次看e的取值的時候我也這麼想過，2.718281828。。然後沒了，有點悲傷

一直嘮嘮叨叨個沒完（無限的），卻又沒個重點（不循環的），這麼不講道理這麼煩，你說是不是它是不是無理數。。。

因為它不是畫除法符號除出來的……

當初用計算器時（只顯示小數點後九位）也感嘆了一下：

這麼重要的自然對數e在十進位下小數點後僅兩位就出現了四個字長的循環節，真是大自然的鬼斧神工啊！

因為即使e按照題主思路循環下去，e=2.71828182818281828...

它也是個無限循環小數，而不會成為有限循環小數。

當然，事實上，e是個無限不循環小數。

事實上，有誰能告訴我，存在有限循環小數么？

以上，出自我的初高中數學知識，有不對之處望指正。