如何獲取FFT序列中每個點的頻率值？

01-04

例如H是一個向量，經FFT變換後得到序列F，要怎麼得到F中每個點的頻率值呢？matlab中函數fft(H,n)，n表示fft序列的長度，應該如何選取合適的n呢？謝謝各位啦！
****可能我的問題問得不太清楚，我再把問題補充完整一點吧：
我是基於遊程（run length）直方圖提取圖像特徵，先統計一幅圖的遊程直方圖，得到向量H（每個元素值在0~1範圍），再對H做FFT變換，得到fft序列F，特徵是高階矩，定義為：

L就是F序列的長度，F下標i先忽略吧，n是階數，！重點！是文中有句話是：Fi(fj) is the component of Fi at frequency fj，但是不知道怎麼求這個fft序列F中某個點的頻率值fj。
論文名：BLIND IMAGE STEGANALYSIS BASED ON RUN-LENGTH HISTOGRAM ANALYSIS
*****另外這篇論文中上述Mn公式引用了如下一篇文章中的定義：
！！不知道作者說的「傅氏變換的第k次頻率」是什麼？！！
論文名：《基於直方圖頻域統計矩的圖像隱寫分析》

FFT結果任意一點的頻率為：假設信號採樣頻率為fs，從採樣定理可以知道，信號抽樣後，抽樣信號的頻譜是周期譜，其頻譜的周期是抽樣頻率fs，因此，對信號做FFT時，無論你取多少點，其分析的頻率範圍就是0~fs，所以，如果你做N點的FFT（其實是離散傅里葉變換），則，FFT結果的兩點之間的頻率間隔是fs/N，這樣，任一點k（k=0~N-1)代表的頻率就是k*fs/N。另外，這N個點的FFT值是以N/2為對稱的，所以，一般真正用到的只有N/2個點。N點取的大隻說明譜線密一些而已，注意：採樣定理非常重要啊！

這幾天我在幫師兄做傅里葉分析，就是從示波器踩過來的數據，保存在excel文件中。用matlab讀取，進行fft運算。大概通過幾天的學習dft，了解到如果你拿來一個向量，N個點。進行fft後結果當然也是N個點。但是這些點的頻率你是無法得知的。因為你沒有交代著N個點的時間長度。

以我最近幫師兄做的工作為例。示波器對300HZ電壓進行採樣，時長0.1s。那麼也就是30個周波。由於示波器的採樣頻率很高，所得到的數據是50w個點。這僅僅是0.1s啊

保存在exce結果通過matlab讀取後，進行fft運算。結果也是50w 個點。於是問題來了，哪一個點是我要的300hz呢。答案是第31個點。

為什麼呢，因為matlab數組是從1開始，第一個點是直流分量。即0hz，那為什麼第31點是300hz呢。因為時間長度是0.1s。那麼這段信號進行fft的解析度就是10hz。所以300hz就是 30+1的點。

順便說一句，matlab進行fft運算的結果，幅值要經過*2/n的運算才能得到真實值。n是採樣點個數。還有，直流分量要再除以2，即第一個點雖然是直流但是幅值是真實值的2倍。原理高數傅里葉級數講過，已經喂狗。

回答的不好，不對的地方請高手指正。

這個問題問得很不清楚，按我的理解可能是這樣的：

H是一個向量（通常意義下應該是一串等時間採樣的時間序列），設H的採樣率為fs，即採樣時間為dt = 1/fs，採樣點為N，則總時長T = N*dt。對N點序列做FFT得到的頻譜，其分布區間為[0, fs)，而頻譜點的間隔即為df = 1/T。根據Nyquist採樣定理，其中只有[0,fs/2)有信息量，剩下一半是共軛對稱的。所以這段話有兩個重要的信息，採樣頻率fs決定了可分辨的頻率範圍是[0,fs/2)，而採樣的總時長決定了頻域解析度df

舉個例子：在電力系統中計算諧波。中國電網頻率是50Hz，一個周波就是20ms，假設採樣是一周波256個點，即採樣率是fs = 256*50 = 12800Hz，dt = 1/12800，採樣點N = 256個（正好一個周期），則FFT的結果也是256個點，分別對應直流量，基波（50Hz)，二次諧波（100Hz），三次諧波（150Hz），直到127次諧波；剩下的129個點是個特殊點，再剩下的127個點是跟1-127次共軛對稱的值。

如果我的理解是對的，題主想問的是要把FFT的結果n個點畫出來，其橫軸應該怎麼設置，那答案就是0:1/T : (n-1)/T，而縱軸一般是兩個分別畫：幅值和相角。

其實matlab自己fft這個函數的例子就有。

連續的時間域信號x(t)以採樣率fs進行採樣後，得到離散的時間域信號x(n)（即題主所指的向量H），然後經過N點DFT得到離散的頻率域序列X(m)（即題主所指的序列F）。

DFT輸出值X(m)對應的頻率取決於採樣率fs和樣點個數N。例如：如果採樣率為500Hz，然後進行16點DFT，那麼基頻為fs/N=500/16=31.25Hz，X(m)對應的頻率為基頻的整數倍，即

X(0)對應第1個頻率項，頻率=0 × 31.25=0Hz，

X(1)對應第2個頻率項，頻率=1 × 31.25=31.25Hz，

X(2)對應第3個頻率項，頻率=2 × 31.25=62.5Hz，

X(3)對應第4個頻率項，頻率=3 × 31.25=93.75Hz，

...

X(15)對應第16個頻率項，頻率=15 × 31.25=468.75Hz.

N點DFT的分析頻率為

$f_{analysisx} (m)=frac{mf_s} {N}$

更詳細的DFT計算過程見理解離散傅里葉變換

先來看看一段簡單的MATLAB代碼

dt = 0.002; t = 0:dt:2; f0 = 100; x = sin(2*pi*f0*t); X = fft(x,length(x)); plot(abs(X),"linewidth",2); set(gcf,"color","white") axis tight

很清楚，這是給一個100Hz正弦波做傅立葉變換，得到

很明顯得到一個單頻信號，不過下標沒有對準100Hz。不過沒關係。換成下面的代碼再跑一次：

dt = 0.002; t = 0:dt:2; f0 = 100; N = length(x); x = sin(2*pi*f0*t); X = fft(x,N);

f = (0:N-1)/N * (1/dt); plot(f,abs(X),"linewidth",2); set(gcf,"color","white") axis tight

看頻譜的時候，只要看前一半就好了。要得到真實頻率的下標其實很簡單。只要先將頻率歸一化

f = (0:N-1)/N;

然後，再乘以採樣率

f = f * fs;

這個採樣率就是你輸入的數據里，相鄰兩個點之間的間隔的倒數。比如說在你採集的數據里

$Delta t=t(n+1)-t(n)$

那麼採樣率就是

$f_s=1/Delta t$

至於為什麼要這樣做，這是因為在連續傅立葉變換轉換到離散傅里葉變換的過程中，頻率間隔是這樣的

$dw ightarrow Delta w=2pi /(NDelta t)$

首先我們得知道H的採樣間隔和採樣的時長即採樣的點數。

比如當採樣間隔為ts=0.01，採樣時長為t=10即1001個點。

設fs=1/ts的話，那麼頻譜的解析度等於fs除以採樣的點數即df=fs/1001

在Matlab里fft後經過fftshift後頻譜的範圍為f=-fs/2:df:fs/2

然後就可以獲得每個點的頻率了。

n的話看你怎麼用，不填寫n的話它為H的長度但是n超過H長度的話Matlab默認H序列補0到n這麼長。

上面的涉及到的知識點要看信號處理的書。

短時傅立葉變換

看過的最好的講解傅立葉變換的文章

http://daily.zhihu.com:80/story/3935067

http://daily.zhihu.com:80/story/3939307

關於如何選取合適的n，可以參考胡廣書《數字信號處理（第二版）》3.7節

為何看頻譜的時候，只要看前一半就好了 ?

你只需要知道這個序列的採樣頻率Fs，然後：

plot(linspace(-Fs/2,Fs/2,length(H)),abs(fftshift(fft(H))));

就OK了。

Fast Fourier transform

我覺得這個已經解釋的很好了。

至於為什麼要使用nextpow2，是fft蝶形演算法要求點數是2的整數次冪。當然你寫輸入點數比如1000而不是1024也是可以的，只不過計算時候會自動把1001-1024點的值都補成0。理論上說n取得越大頻率解析度越高，但是時間解析度會下降（比如你想把頻率解析度變成原來兩倍，除非你願意後面那些點都是0——有個高大上的方法稱之為補零法。現在終於曉得是怎麼來的了。要麼就同樣的精度原來采了一秒鐘就能拿去轉換，現在要等兩秒鐘。所以魚和熊掌不可兼得）。不過太高也是沒有必要的，你可以自己改改參數感受下。

別的應該沒什麼了吧。