克萊因瓶的實物不存在嗎？

01-04

看過克萊因瓶的示意圖，感覺是三維空間內完全可以存在的物件，為什麼有些資料強調這是想像出來的，無法製造出來呢？

克萊因瓶可以浸入三維歐氏空間但是不能嵌入三維空間。

也就是說想像你拿細繩打了個結，你想要在紙上畫出這個結的示意圖當然是可行的，但是在示意圖上的線條就不得不與自身相交，而你心裡清楚繩子其實是沒有交點的。

那麼你覺得紙上的示意圖和繩結是一回事嗎？

示意圖而已…… 因為真正的克萊因瓶是沒法在三維空間表示出來的

名可名，非常名。此馬非彼馬。

你看到的Klein bottle和數學家說的Klein bottle不是一個概念。就像，兩條垂直的直線在平面內必然相交，在三維空間可以不相交。但是，以上兩種情況都可以在紙上畫出來。

Klein Bottle不可以在三維空間中可以表示出，但可以在四維空間中表示出來：嚴格地說，不存在一個從Klein Bottle到三維歐氏空間的embedding，但是存在到四維或者更高維的embedding。

參考：《一般拓撲學》（阿木斯特朗）

以及Whitney embedding theorem

首先，克萊因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現出來的曲面，在三維空間中是無法存在的。

題主看到的示意圖是人們把克萊因瓶放到三維空間中所顯示的樣子，於是只好把它表現得似乎是自己和自己相交一樣，讓瓶頸穿過了瓶身連接到底部。就像把一個存在於三維空間的籃球畫到二維的紙上時，球的一些線與面在紙上不得不相交一樣，但在三維中是不相交的。

在四維空間中，克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，並不穿過瓶壁。如果從瓶子外面往瓶底的洞口倒水，水會從裡面流出來（裡面其實也就是外面...），題主腦補下。

網上那些概念圖和那些玻璃製造的「克萊因瓶」實物圖片，其實都是偽克萊因瓶。瓶壁上的「把」兒和瓶底部間那個連接的「洞」，其實應該表現為沒有那個洞，那個地方仍然是瓶壁，但是那個地方卻有個看不見的「蟲洞」，可以從瓶壁的一邊瞬移到另一邊，這樣瓶壁兩邊仍看成是一個「連續的」空間。那些偽克萊因瓶，是為了表達瓶壁這裡有個「蟲洞」，所以人為開了一個「洞」（而且目前人類只能控制三維世界，無法控制四維世界，所以也造不出這個「蟲洞」，如果真的造出了蟲洞，那麼人類就成為可以控制四維世界的生物，可以瞬移（空間跳躍），對於目前的人類來說，這樣的生物就是「神」，像孫悟空一個跟斗立刻就十萬八千里外了）。

我扯遠點發散下，高維度的生物才能控制低維度的東西，比如某些深海生物，沒有三維世界這個概念，只有二維平面這個概念，對於它來說，你變換下高度，它就認為你消失不見了，你是三維生物，對他來說，你就是神；對於我們三維世界的生物來說，四維世界生物可以用空間跳躍，在三維生物的眼中會覺得「哇，那個仙人念個咒就飛到另外一個地方去了」，對他來說，四維生物就是神。所以很多科幻小說和電影，都會有「蟲洞」這個概念加入其中，外星人都是四維生物，都有牛掰飛船隨隨便便就從多少光年外飛到地球欺負地球寶寶了，因為高維生物完虐低維生物。

我們三維生物可以用紙折出莫比烏斯環（只有一個面的平面），但是這個環是在三維世界實現的而不能在二維平面上實現；正如我們無法實現四維世界的「克萊因瓶」以及「蟲洞」，因為我們是三維世界的生物，兩個莫比烏斯環在高維度的四維世界裡可以「折」出克萊因瓶。人類一直在尋找高級外星生命，但是如果外星生命是高維生物，它們不想主動和我們接觸的話，我們是無法聯繫到他們的。（這點在美國科幻系列電影《星際迷航：黑暗無界》里也有體現，那裡面人類實現了空間跳躍，跳到一些有原始生命的星球，都是偷偷行動不讓當地土著發現，因為不能影響它們的進化史）。所以尋找高智慧的外星人風險很大，如果對方是高維生物就可以完虐我們，這也是霍金以及一些科學家一直反對尋找高智慧外星人的原因（我也反對），但是最近霍老貌似又改口了。。。

我扯的太遠了額。。。