連接正方形四個頂點的最短路徑是如何找到的（證明方法）？

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最短路徑為AE+DE+EF+BF+CF，如何證明？

首先到三角形的三個點距離和最近的點叫做費馬點，它有兩種情況：對於有一個角超過120°的情況下，它就是那個鈍角頂點；否則是使到三個點的連線互相成120°角的點。證明就不細說了。有一個簡單的物理方法可以理解這個結果：在三角形三個頂點上打三個小孔，用三根繩子各自系著一個相等重量的重物，穿過小孔系在一點上。重物自然下垂的時候，重力勢能最小，也就是垂下去的繩子長度最長，所以桌面上的繩子長度最短，這時候三力平衡，所以剛好各自成120°。

其次，連接所有頂點的形狀從結構上應該是一個樹形，只有分叉點和分叉點之間的直線段，而且每個頂點都是葉子節點（也就是只和一個頂點相連）。當中繼節點的度（相鄰節點數）超過3的時候，可以將這個節點拆成多個距離為0的節點，依次相連，每個節點度都為3，結果不變，而度為1或2的中繼節點顯然無意義，所以可以只考慮每個中繼節點度為3的情況。

樹形的邊數為總頂點數 - 1，連接n個頂點如果需要m個中繼節點，則有

m * 3 + n = ((n + m) - 1) * 2

m - n + 2 = 0

m = n - 2

所以4個頂點需要兩個中繼節點。

單獨考慮每個中繼節點，它必須是相鄰三個節點的三角形的費馬點。如果是費馬點的第二種情況，則兩個頂點會重合，也就是一個頂點構成了兩個大於120°的角，對正方形來說不存在這種情況，所以只需要考慮費馬點的第一種情況。

接下來按照中繼節點連接兩組對邊端點，和連接兩組對角線端點來分類討論，第一種情況下，兩個中繼節點的軌跡分別在兩條圓弧上，不難證明要讓兩點連線也符合費馬點條件，唯一可能的就是題目中的結果。第二種情況下長度顯然超過兩組對角線的和，可以排除。所以最小的情況就是題目中的圖。

這個問題的正式名稱叫Steiner最小樹：平面上有N個點，找到連接他們的最短線路，允許自行加入新的點（稱作s-point）。這是一個幾何問題，線和線之間具有夾角、平行、垂直等關係，點和線之間存在點在線外、點在線上等關係。

而最小生成樹（Minimum Spanning Tree）是一個圖論問題，所有點和線都是抽象的，可以用集合表示：G=&，不存在夾角等概念。求最小生成樹時不允許引入中間點。

想在網上找一個現成的證明，結果沒找到……

證明思路大概是這樣的：先證兩個引理：

1、若平面上有N個點，s-point個數不超過N-2；

2、三角形的費馬點。

有了這兩個引理，正方形的Steiner Tree瞎搞搞就出來了。

最後給一些參考資料：

維基百科：Steiner tree problem

油管子上有一段視頻用肥皂泡觀察Steiner Tree的視頻，挺有意思的：https://www.youtube.com/watch?v=dAyDi1aa40E

幾篇論文：Steiner最小樹問題及其應用

http://www.math.ucsd.edu/~ronspubs/89_02_steiner.pdf

初二課本題到正方形四個頂點最短路徑問題的證明_百度文庫

比較巧妙的初等證明。

給出距離的定義，用定義算即可