二十世紀以來最牛的數學家（grothendieck這種級別的）都有誰，你最崇拜誰，為什麼？

01-04

我們老師說grothendieck是「飛在天上的數學家」，很好奇，希望能多探聽點牛人的事迹。

首先定義這個龐大的問題就很困難，我們不自量力地定義了一下：

這是兩個問題

1)當代最牛的數學家都有誰?

1.1)最牛：我暫且理解為在所在分支做出了重大貢獻，並影響整個數學的面目的mathematican。

1.2)當代：我理解為主要工作完成在50年代以後的數學家，因為二戰前後的東西實在出的太多了，具體的參考的書都不止一本，比如GEB，Klein的數學史或者是AMS的東西都是合適的。因此我們決定分工合作寫一點對二十世紀後半葉傑出數學家的綜述，既然不提代數幾何，我們就暫且提提

（1）動力系統（2）代數（3）拓撲

這三個方面二十世紀後半葉傑出的數學家吧。選擇這三個方面的原因在於Chin 認為中國國內分析、動力系統以及PDE是主流，若將來搞這個怕是多少需要了解這個；而後兩個的選取，原因在於S.S.Chern曾經說過二十世紀數學的兩大砥柱是抽象代數和拓撲。而我們也稍稍自負地不妨一提這兩個龐大的學科。由於認識的局限性，我們的答案還是膚淺的，希望讀者多多指正，我們互相學習。

（1）

動力系統領域最出名的問題應該是Hillbert第十六問題，討論的倒是相當簡單，對一類二階ODE的極限環做定性。但是許多的ODE工作者都在這方面出了岔子，比如上個世紀八九十年代PKU一位德高望重的老學者認為解決了這個問題，結果被學生舉出反例，一時學界小有震動。當然國內的動力系統研究還是具有一定水平的，比如說S.T.Liao老先生在八十年代率先提出「阻礙集」的概念，直接研究連續的情況從而避免了離散向連續逼近過程中的種種問題，這個方法的確是很新的。
S.Smale是另外一位動力系統的大家，他在早年研究拓撲之後拿到NSF去了巴西，在里約熱內盧的海灘上，他用馬蹄形映射的辦法引入了混沌的概念，從而使ODE的應用進一步延展。
在這以前，動力系統一直是蘇聯學派的天下，主要是兩位比較厲害的拓撲大師早在Smale之前就意識到動力系統的拓撲基礎，這兩位人來頭都不簡單，一位是和Hopf合寫Topologie這部拓撲學奠基性著作的Alexanderov，另一位則是身殘志堅雙目失明仍然自學成才的Pontryagin。這兩位的研究路徑幾乎決定了在二十世紀後半葉動力系統對拓撲特別是微分拓撲的極大依賴，這也導致了泛函和一般分析的手段能夠通過拓撲介入動力系統的研究，使得我國一直以來的分析傳統不至於毫無用處。

（2）

現在就來看看這兩位拓撲大師的研究路徑怎樣決定了二十世紀後半葉的動力系統研究吧。有心人可以看看二者的文集，Alexanderov在二三十年代之後一直是做點集拓撲，這並不是說他的工作毫無價值，但是當時的潮流是拓撲迅速融合到其他學科中去，比如後來分離出兩支相當有潛力的分支：微分拓撲和代數拓撲。這兩者分別作為研究動力系統和代數幾何的基礎工具進入了主流數學家的toolkit。不僅如此，與此同時微分拓撲和代數拓撲自身發展出了自身的理論，比如微分拓撲的向量叢理論（Steenrod）和代數拓撲的Donaldson Theory等等。這些理論自身是具備生命力的，也就是說即便完全不看其服務的目的，這些理論本身就是很精緻的，簡單的例子就是Covering Space 只是Fund. Group 裡面的一小部分，但其完整性是相當好的。
而Pontryagin則毫無理由地認為「純數學不能服務生產力」（類似原因），Arnold到去世前還對Pontryagin在國際數學家大會上和自己的瓜葛念念不忘，不過他們的私交似乎是很好的。畢竟Lusin學派在二十年代培養出各個分支——沒有錯，是各個數學分支——的一群大家之後，可能勉強可以跟Lusin學派的輝煌遙相呼應的就是七八十年代的Moscow 數力系了，包括Postnikov（代數拓撲、拓撲動力系統）、Novikov（拓撲大家、提出了一些重要的conjecture）、Shafarevich（代數幾何宗師）一干人等都是從那裡走出來的，我們沒有理由不仰望他們，並時刻反躬自省。這方面具體的材料可以參看 Golden Years of Moscow Mathematics這本小冊子，AMS出品。

（3）

在上面我們討論了拓撲是如何進入主流數學家的toolkit裡面的，代數家自然是不甘示弱的。這當然沒有問題，最近獲Wolf Prize的Artin父子二代代數學家，Artin的獲獎主要貢獻直之一是為代數幾何定義了Artin Stack，還有一個Artin Motive，這個我就不知道和Artin有什麼聯繫了。我們細細瀏覽一遍二十世紀後半葉出現的數學新分支，這些分支似乎都是Algebriac 打頭的，其中一個原因是這些。正如E.Kunz曾經無奈地辯解道，現有的代數幾何內容足夠讓我連續上200 lectures。而他說這句話的時候才是1980年代。現在的代數幾何內容更加龐大複雜，甚至還分裂出Analysis approach(Griffith)和Algebraic approach(Hartshorne)。因此這些新的分支很大程度上都是為了服務於代數幾何的發展而產生的。

回到代數本身，二十世紀不得不提的兩個名字是Grothendick和N.Bourbaki，前者一下子引入了諸多的。當Novikov所謂的某個方向的學術著作快出速產生至於出現了informational mess的狀況的時候，我們就應該去考慮這樣一個問題，那就是理論完整性的好處。Bourbaki的出現就是這個問題的答案之一，此時Bourbaki引入了代數結構和拓撲結構來描述數學對象，使得在Category沒有嚴格地出現之前，石階上的數學家獲得了一門共同的語言，減少了很多麻煩。Grothendick把本來是旁門絕學的同調代數一下子變成了正室，同調方法作用在代數結構上威力無窮。直到現在我還根深蒂固地認為找直和或正合列是一種相當好用的手段（笑）。代數自身相當多的各式各樣的結果在Bourbaki整合之後變成了一套很好用的toolkit，從而使代數幾何的發展不至於跌跌撞撞或者回頭來質疑代數基礎。我們前面所提到的理論完整性在整合之後初顯，完整性的好處就在於各種各樣的新東西可以容易的生長出來。比如本科生很熟悉的Galois Theory，現在純粹代數的進展就是Partial Galois Extension（偏序Galois擴張），沒有理論完整性，這種小家碧玉的創新很難想像。但是Bourbaki本身反對Poincare的過度直觀化，Bourbaki自己又被後來的動力系統大家Arnold所反對。
Arnold不但批評過Bourbaki的過度抽象化，也曾經抱怨美國數學家靠重做蘇聯七八十年代的研究混飯吃，在這一點上我仍持保留態度，如果比方說用Category重寫Complex Analysis，我並不認為毫無意義。這是觀點的提高，比如Atiyah-Singer定理一出來，結果上沒有太新，角度一變化，就迥然不同。比如Li-Yorke定理，假如不和混沌理論聯繫，就是一個一般分析的technical lemma而已。

2)你最崇拜誰，為什麼？

我對這個問題不作回答。

另外上面的引文我沒有標註，一是沒有必要，二是此文仍可用作它途。

希望這些錯誤百出的廢話激起各位的興趣，更多人熱愛純粹數學，那我的目的就達到了。

by Lin Chinn Hu

Refined by S L

謝@YS Sun邀。我們方向比較遠，我只說說離散和組合方向我立即想到的幾個人／成果。

Neil Robertson and Paul D. Seymour 等在 20 年內發表的 20 篇共 500 頁論文證明了 Robertson–Seymour theorem，在我看來是當代圖論最精彩最重要的一段歷史。
Yves Colin de Verdiere 提出的 graph invariant 以很詭異的方式聯結了圖論和譜論，目前我們還沒有徹底理解這個量。
Laszlo Lovasz，組合天才，詳細的就不多介紹了。現在布達佩斯是組合學的聖地。
Harold Scott MacDonald Coxeter 在反射群和 Coxeter 群的工作現在還在產生有趣的結果。

最近在學集合論里的公理化系統，看到這個問題頓時想到 Kurt G?del，簡單說說這哥們的事迹...

At the age of 18, G?del joined his brother in Vienna and entered the University of Vienna. By that time, he had already mastered university-level mathematics..

Kurt G?del，奧地利數學家，1906年出生於奧地利，18歲時，G?del 入學維也納大學，入學時已經掌握大學水平數學...入學時專業是理論物理，但是天才就是天才，必然涉獵廣泛..兼修數學和哲學.

1928年，大數學家Hilbert 在義大利的Bologna做了題為completeness and consistence of mathematical systems 的著名演講，提出了公理化系統的completeness 和 consistence 的問題，結尾處留下名言「we must know! we will know!」,聽的當時年僅22歲的小G?del興奮不已，回到學校後苦心鑽研，僅僅三年之後（1931），25歲的G?del就回答了Hilbert 的提問，發表了著名的Incompleteness of the Arithmetic logic system的論文，提出了著名的觀點：

For any axiom system that is powerful enough to describe the arithmetic of the natural numbers (e.g. the Peano axioms or the ZFC system) that:

1.If the system is consistent, it cannot be complete.

2.The consistency of the axioms cannot be proven within the systems.

衍生的結論就是算數系統（Arithmetic system）是不完備的而基本幾何系統是完備的..

年少的大神就這樣輕易的解決了跨世紀的尋找完備的公理化體系的漫漫嘗試。。

說了一大堆還是另一位大神馮·諾依曼的評價足以讓人體會G?del 的偉大：

「Kurt G?del"s achievement in modern logic is singular and monumental; indeed,it"s more than a monument,it"s a land mark which will remain visible far in space and time."

想想大神25歲已經可以終結跨世紀的難題，而我等渣渣還在為能不能畢業發愁...頓時感覺應該多多捂臉搬磚...

Hilbert?

希爾伯特。外爾。嘉當，馮諾依曼。柯爾莫戈羅夫和教皇一個級別的