1-1+1-1+1-1+1... 這個無窮數列的值是什麼？如何證明？

01-04

對於這樣的發散級數，你甚至可以讓它等於任何想要的整數，只要重排一下各項的順序就行了。所以，問發散級數的值是什麼，意義不大。

請維基一下維基百科中的「發散級數」，我上面的回答太膚淺，沒有價值。

這是Grandi"s series [1]，還是很重要的，應用也很廣泛。

在一般的求和定義下，部分求和的結果在0，1間震蕩，因此沒有極限，級數無解。

但是有很多方法，可以算出1/2這個結果。

方法A:先不管解存不存在，設他為S，得出S=1-S。

方法B:或者將級數看作(-1)^n的幾何級數，得到S=1/(1-(-1))。

以上用的兩個方法，一般來說都不合法，因為級數不收斂。但是這兩個非法的計算得到相同的結果不是巧合。事實上，可以用嚴格的定義將級數的值推廣到發散級數[2]。

方法A用的是Cesaro求和[3]，定義為部分求和的平均值的極限。

方法B用的是Abel求和[4]，定義為一個帶變數級數的極限。

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Grandi%27s_series

[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Divergent_series

[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Ces%C3%A0ro_summation

[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Abel_summation#Abel_summation

首先，這是一個發散的數列，在傳統意義上並不收斂。

但是，如果你想考慮一些非傳統意義上的事情，尤其是在物理這個學科里遇到這種問題，這個問題還是有意義的。

要處理這種問題，一般是要把這個問題拓展到複數域中，這個問題就變成了

$(1+0i)+(-1+0i)+.....$

即考慮 $sum_{n=0}^{infty}{((-1)^n+0i)}$

而 $sum_{n=0}^{infty}{((-1)^n+0i)} =sum_{n=0}^{infty}{e^{inpi }}=frac{e^{i*0*pi}}{1-e^{ipi}} =frac{1}{1-(-1)}=frac{1}{2}$

於是得到了在複數域上的答案，0.5

這個數列不收斂啊！！！！

請先定義級數和必須well defined

樓上的朋友們。。。

不是說非 絕對收斂 的級數不能重新排序或組合嗎？

難道是我的認知有誤？

這個級數本身就是發散的。

A convergent series which is not absolutely convergent
can be rearranged to sum to any number you choose, but rearrangement never changes the sum of an absolutely convergent series（非絕對收斂級數重排後可以獲得任何值）
http://www.math.ucla.edu/~ralston/pub/Rearrange.pdf

0.5，隱約記得youtube有證明的

針對以下的格蘭迪級數

1 ? 1 + 1 ? 1 + 1 ? 1 + 1 ? 1 + …

一種求和方式是求它的裂項和：

(1 ? 1) + (1 ? 1) + (1 ? 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

但若調整括弧的位置，會得到不同的結果：

1 + (?1 + 1) + (?1 + 1) + (?1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

用不同的方式為格蘭迪級數加上括弧進行求和，其級數和可以得到0或是1的值。

格蘭迪級數為發散幾何級數，若將收斂幾何級數求和的方式用在格蘭迪級數，可以得到第三個數值：

S = 1 ? 1 + 1 ? 1 + …，因此1 ? S = 1 ? (1 ? 1 + 1 ? 1 + …) = 1 ? 1 + 1 ? 1 + … = S，即2S = 1，可得到S = 0.5

我的世界觀都接近崩塌了，這不就是薛定諤的貓的數學實現么！

從常規的角度來說，這個數列的和是不存在的。如果數列求和存在一個極限值，那必須滿足必要條件：lim |An|=0

同事小孩三年級拿回來這道題，同事拿過來難倒了一層樓……

幸好我小學奧數老師講過～

1、設1-1+1-1+1……為a

2、1-1+1-1+1……=1-（1-1+1-1+1……）

3、所以a=1-a

4、2a=1

5、a=0.5

嗯，我是收斂不收斂什麼的再多了不懂，只能理解這個程度的數學廢……

無中生有，無事生非！

「半」傻不俏

呵呵

至少在本科數學專業的數學分析當中，是絕對不收斂的。其他說收斂的，回去翻定義，複習一下什麼是ε-δ語言。

至於硬要定義0×∞=0，然後什麼的，這就不是數學分析玩的了。

當然數學分析也不是不處理類似0×∞的數列極限，但那都是考慮兩個數列相乘，然後比較二者誰的趨近速度更快一些。

極限那章有講，奇數列和偶數列收斂不一致，所以該數列不收斂

你們有沒有讀過陶哲軒的書。第一章就提到這個。

按照傳統意義的極限定義，這個級數顯然是發散的

無窮級數的和實質上是實數有限和的推廣，在其中運用到了極限的概念，藉助Cauchy收斂性將有限和的極限定義為無窮和而已

而有限和的極限不存在時，就說這個級數是發散的，也就不存在無窮和

比如級數∑(－1)^n

不過可以定義發散級數的各種廣義和，比如∑(－1)^n在泊松意義下的廣義和為1/2

具體的可以參考菲赫金哥爾茨的《微積分學教程》第二卷

初中數學勉強及格的我可以看懂，我想這個可以幫助樓主

小學堂: 表情帝解釋 1-1+1-1… = 0.5

整數相加減，出現小數，我也是醉了，數學是個奇怪的東西

你這個可以稱為薛定諤的加合。。。

就當它是 $frac12$ 好了……

這個不是很好定義的，個人比較偏向於1或0

要是等於0.5的話會很毀三觀的

給例子

1+2+3+4+5+...=-1÷12？？！

這就是等於0.5推出來的，難道傳說中藏須彌於芥子的關鍵就是這玩意1/12？