如何清晰、形象化地解釋點集拓撲中「緊」這個概念？

01-04

在三維空間中，「緊」與「有界閉集」等價，但兩個概念來源不同，在高於三維的空間中，這兩個概念還等價嗎？

A compact city is a city that can be guarded by finite policemen no matter how near-sighted a policeman is.

好像來自Peter Lax

《如來神掌是緊集！——論孫猴兒為什麼逃不出如來的手掌心》

　　作為民間廣為流傳的四大名著之一，《西遊記》是家喻戶曉婦孺皆知的小說，融玄幻、政治、冒險及屌絲逆襲等題材於一爐，堪稱極品！（相當於那年頭的《三體》了。。）

　　而如果今天我還要告訴你，它還是一部科幻（普）作品；作者吳承恩竟擁有超越時代（至少三個世紀）的數學直覺與靈感，你會不會很驚訝？

　　不是我吹，看了我下面的解讀，也許你會認同：大劉和吳前輩相比無論是文學天賦還是科學想像力都要相形見絀2333～。上原著——

　　大聖道：「我的手段多哩!我有七十二般變化，萬劫不老長生。會駕筋斗雲，一縱十萬八千里。如何坐不得天位？」佛祖道：「我與你打個賭賽：你若有本事，一筋鬥打出我這右手掌中，算你贏，再不用動刀兵苦爭戰，就請玉帝到西方居住，把天宮讓你；若不能打出手掌，你還下界為妖，再修幾劫，卻來爭吵。」那大聖聞言，暗笑道：「這如來十分好獃!我老孫一筋斗去十萬八千里。他那手掌，方圓不滿一尺，如何跳不出去？」急發聲道：「既如此說，你可做得主張？」佛祖道：「做得!做得！」伸開右手，卻似個荷葉大小。
　　那大聖收了如意棒，抖擻神威，將身一縱，站在佛祖手心裡，卻道聲：「我出去也！」你看他一路雲光，無影無形去了。佛祖慧眼觀看，見那猴王風車子一般相似不住，只管前進。大聖行時，忽見有五根肉紅柱子，撐著一股青氣。他道：「此間乃盡頭路了。這番回去，如來作證，靈霄宮定是我坐也。」又思量說：「且住!等我留下些記號，方好與如來說話。」拔下一根毫毛，吹口仙氣，叫「變！」變作一管濃墨雙毫筆，在那中間柱子上寫一行大字云：「齊天大聖，到此一游。」寫畢，收了毫毛。又不庄尊，卻在第一根柱子根下撒了一泡猴尿。翻轉筋斗雲，徑回本處，站在如來掌內道：「我已去，今來了。你教玉帝讓天宮與我。」
　　如來罵道：「我把你這個尿精猴子!你正好不曾離了我掌哩！」大聖道：「你是不知。我去到天盡頭，見五根肉紅柱，撐著一股青氣，我留個記在那裡，你敢和我同去看么？」如來道：「不消去，你只自低頭看看。」那大聖睜圓火眼金睛，低頭看時，原來佛祖右手中指寫著「齊天大聖，到此一游。」大指丫里，還有些猴尿臊氣，大聖吃了一驚道：「有這等事!有這等事!我將此字寫在撐天柱子上，如何卻在他手指上?莫非有個未卜先知的法術。我決不信，不信!等我再去來！」
　　好大聖，急縱身又要跳出，被佛祖翻掌一撲，把這猴王推出西天門外，將五指化作金、木、水、火、土五座聯山，喚名「五行山」，輕輕的把他壓住。眾雷神與阿儺、迦葉，一個個合掌稱揚道：「善哉!善哉！
——《西遊記·第七回：八卦爐中逃大聖，五行山下定心猿》

　　你有沒有從這段我們從小熟讀的小說片段里看出——吳承恩懂點集拓撲學裡面的緊緻性？！看到這兒，還沒有會心一笑、恍然大悟的感覺嗎？！

　　不妨假設孫猴兒翻了許多許多個筋斗雲，翻一次算一個點，那麼這些個筋斗雲就構成了一個「序列」。

　　孫猴兒怎麼翻，朝哪兒翻並不是重點。重點是，他翻了半天，最後還是只能落在如來的手中，出不去。

　　於是只能「收斂」在如來的大拇指下，這是他的「極限點」了（至少他自己是這麼認為的）。也就是說，這一堆筋斗雲里，不算那些來回折騰的，你能挑出一部分作為孫猴兒直飛到這裡的路徑，這叫「子序列」。

　　為什麼我說作者吳承恩懂緊緻性呢——因為他讓孫猴兒留了字，還撒了泡尿。不要小看這個臊氣的情節，這才是他真懂的證據——正是這兩個記號暗示著：集合邊界上的點是「極限點」！否則要是不留字，或者這泡尿撒到如來手指縫外邊，這個「序列」「收斂」到哪兒就說不清楚了。而原文明白地寫道「在那中間柱子上寫一行大字云：『齊天大聖，到此一游。』寫畢，收了毫毛。又不庄尊，卻在第一根柱子根下撒了一泡猴尿」——這直接地指出了這個集合是「有界（有五根擎天手指戳在那兒）」的，而且是「閉（字兒留在手指上，尿撒在指根下沒呲出去）」的。

　　至於最後那個「翻轉筋斗雲，徑回本處」，並不影響以上這個「收斂的子序列」。

　　孫猴兒的戲份到此為止，總結一下，丫在如來的手掌里一共幹了這麼幾件事：

　　1.翻筋斗雲（給出一個任意的序列）；
　　2.停在如來手指旁（存在一個子列收斂）；
　　3.留字，撒尿（極限點在一個有界的閉集里）。

　　數學上，這一系列啥啥有個名字，叫做「序列緊緻」。同時，小說的情節還刻畫出了刻畫緊集的「海涅-博雷爾定理」：歐氏空間里，一個集合是緊集當且僅當它是有界閉集。

　　寫到這兒我已經很激賞老祖宗的數學直覺了，誰TM說中國古代數學不行的？！認真讀過《西遊記》沒有？！你真拿它當玄幻？！屁！這是科普！！！

　　更令我難以置信的是，作者不僅懂得「序列緊緻」，居然還懂「覆蓋緊緻」！簡直碉堡了！！

　　不信且接著看下去：一個筋斗雲十萬八千里，翻了那麼多個居然沒出去，可見如來的手是一族「覆蓋」，而且由於十萬八這個數累加起來不見得收斂，這個「如來手覆蓋」還必須得是「開覆蓋」，時刻準備孫猴兒朝任意方向飛出最多十萬八千里——手裡肯定是 $igcup_{x}^{} B(x, 108000)$ 有木有！！！

　　最後的情節是畫龍點睛——如來手上這族「開覆蓋」，化作「金、木、水、火、土」五個「子覆蓋」把孫猴兒給壓底下了。最有趣的是，作者給這五個子覆蓋起了名字，叫「五行山」，頗具中國特色。這叫什麼？這不就是——「任意開覆蓋都有有限子覆蓋」么！是不是變得形象多了？！

　　最不可思議的是——為什麼孫猴子逃不出如來的手心，它就必然會被壓在五行山下？難道只是純粹的「道高一尺魔高一丈，佛法無邊回頭是岸」之類狗血的創作手法？

　　拜託！這ＴＭ可是四大名著，你當是腦殘穿越劇么！？

　　我艹還不明白？！這麼寫是因為——

$n$ 維歐氏空間里，序列緊緻就等價於覆蓋緊緻啊親～！！！

　　你可以管這叫虛構，但完美地符合後世的數學有木有？！！狂拽炫酷屌炸天啊！要知道吳承恩那會兒連微積分都還沒出生，可他竟能將拓撲運用到文學創作中，才華逆天啊！！！

　　滿滿的學神范兒，這樣的祖先棒棒噠~，吳老頭兒我替你驕傲，我為你自豪！

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弱弱地問一句，緊集就是孫猴兒逃不出如來的手心，必然被壓在五行山下。這樣解釋夠清晰，夠形象化了么？！！

真是夠了！

一個集合是緊的，那麼它差不多就能看成一個大的「點」。因為緊性的定義任意開覆蓋都能取出有限子覆蓋，所以它往往跟「有限個點」滿足的性質差不多，而有限個點又和一個點滿足的性質往往是一樣的。

一般地，緊集一定是有界閉集，然而有界閉集一般不必是緊集。滿足後者的空間稱為Heine-Borel的。

但題主所說的n維空間中兩者是等價的。這也稱為Heine-Borel定理。

緊性是很好的拓撲性質，有了它就能將很多無限性的問題轉化為有限的，這樣通常的一些數學手段就能用上了。

賦范線性空間中，有界閉集是緊集等價於它是局部緊的，而局部緊又等價於有限維。故在有限維賦范線性空間中，有界閉集等價於緊集，而在無限維賦范空間中，有界閉集不是緊集。

要想清晰且形象化，就必須把你要思考的東西放入我們生活的世界（即歐式空間），凡是提到要形象化的，幾乎都得到歐氏空間中思考！

拓撲學中的緊集在歐氏空間中就是有界閉集；

但是拓撲學研究的是任意空間，不單是我們比較熟悉的歐式空間！

而我們的經驗思考均來自於歐氏空間中！

其實緊集可以看作歐式空間中有界閉集到任意空間中這樣一類集合（包含歐式空間的有界閉集性質，類似於新系統兼容老系統中的軟體）的推廣，為什麼不直接沿用以前的有界閉集呢？

因為歐式空間的有界集合在其它一般的空間中不一定有界（度量可能不同）；

還有歐式空間中的閉集在其它空間中也未必是閉的（拓撲可能不同），因為這兩點就得用一個新概念來刻畫，使得它能兼容老空間。

拓撲學要注意的地方：關注一個空間的度量和拓撲，度量關乎有界，拓撲關乎開閉集。

先在歐氏空間中形象理解，然後推廣到任意空間。

以上乃個人心得，對你有幫助就好了。

1，高票(夏銘辰)答案中的類比很有趣，可是他類比的這個概念更類似於(也不完全是)totally bounded！！對於緊緻(compact)，不是像他說那樣「存在一個(怎麼樣的)覆蓋」就可以了的。緊緻的定義是對於任意一個給定的開覆蓋都存在有限子覆蓋。這句話包括但不限於這個空間可以被有限個任意小的開球開覆蓋。更別說，「nearsighted」的說法首先假設了度量空間。

Totally boundedness與緊緻的關係，在前者的維基百科中有非常完整的說明。既然本與此題無關，就不複述了。

(所以也就沒有2了。。。)

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題主對於Heine-Borel theorem的理解有誤。緊緻等價於有界閉集這個概念成立於歐幾里德空間。既不是問題中所說的「三維空間」(聽起來像是指任意三維流形)，也無關維數。

(根據底下回答及評論，大家似乎都心知肚明答案卻沒有人說出來，旁敲側擊推薦各種書……不太理解。)

緊緻的定義是任意開覆蓋都有有限子覆蓋。對於初學者，能真正明白這句話的具體含義就已經不錯了。緊緻是一個重要的概念，在許多場合有許多重要的性質。放在初學者面前，還是勸一句，學習一個數學概念要問的是自己有沒有嚴謹無誤地理解它，而不是如何尋找「直觀」的類比。一容易誤比，使得直觀反而比正確的概念更容易被先入為主。二，既然直觀，往往是特殊的例子不夠本質。

發現這個題目很老了，由於看不慣最高票，勉強作答。

compact本來應翻譯作"小巧的", 把compact翻譯成"緊"是積重難返誤譯, 造成理解困難.

如果把開集當作一種廣義的測量單位, 那覆蓋就是一種測量的步驟, compact是指需要多少個開集才能測量待測集合. 若是一個集合S需要用無限多開集合來測量(覆蓋), 那S就不是小巧的(compact)

Introduction to Mathematic Analysis, Rudin（Google上可以找到免費的PDF）上有過相關的證明：

1）給定度量空間R^n（n維歐幾里德空間），任何閉合有界的集合都是緊緻的。

2）給定任意度量空間，其中任何緊緻的集合都是閉合有界的。

但在一般度量空間中，這兩者是不一致的。比如有理數集Q。

當然的，如果學了點集拓撲之後，以上結論都是建立在歐幾里德空間上標準拓撲（Standard Topology）上的。

感覺就是很「緊」啊你想想任意一個開集群只要能覆蓋它，就能從期中挑出有限個去覆蓋，不「緊」嘛？

只要不是無窮維的歐式空間，其有界閉集就是緊集~這個你可以參考基礎拓撲學，美國人阿姆斯特朗的編的~

空間中的緊子集和所謂緊空間完全等價，所以純從拓撲上講，緊是一個開集簇的好性質，有時候好好的空間各種壞壞的開集多了自然就不緊了好伐。

緊性是一個純粹的拓撲性質，而維數一般來自線性空間的獨立變數的數目，這兩者基本上沒有直接的關係。你說的「緊」與「有界閉包」等價，是一個在完備度量空間中成立的性質。這個性質在一般的度量空間不成立。

鑒於你提到維數，我們討論一下流形，如果限制在流形的情況討論時，我們能得到的結論仍然和度量空間是一樣的。緊蘊涵有界閉，但反之不成立。

那麼什麼情況下，流形是完備的呢？請參見

http://en.wikipedia.org/wiki/Riemannian_manifold#Geodesic_completeness

這時我們才能說緊和有界閉等價。

那麼，我們再限制在一般的歐式空間討論，那麼很好，因為歐式空間完備，一定有緊和有界閉等價。

很基礎的點集拓撲學，armstrong的書不錯，很簡單，可以看看。花不了多少時間的。