如何向本科生介紹辛幾何是什麼？

有哪些較簡單的入門書籍？

辛幾何現在已經是個非常龐大的學科了, 涉及到的方面非常廣泛.

最粗暴的說當然就是研究辛流形的幾何與拓撲, 以及辛流形的應用.

就辛幾何本身來講, 有柔性和剛性兩個方面. 前者更像微分拓撲, 後者更像復幾何.

柔性方面, 類比如光滑流形的胞腔剖分, 期望對一些特定的辛流形做類似的分解. 還有辛流形的手術, 也有相應的理論, 最簡單比如Blow up. Gromov的h-principle在此起了很大的作用.

剛性方面主要就是偽全純曲線的方法. 具體來說主要就是Gromov-Witten理論, Fukaya Category, Picard-Lefschetz理論這些玩意.

與之相關的問題比如Nearby Lagrangian Conjecture, Homological Mirror Symmetry.

近幾年一些非交換幾何, 微局部分析也逐漸進入了辛幾何的技術領域, 成了非常有力的工具.

以上這些基本上辛幾何本身的理論.

除此, 辛幾何早期是作為哈密頓力學的數學結構產生的. 相應的一些可積系統的研究也可以當作辛幾何的應用. 相關的還有toric manifold的應用, 在HMS中也有涉及.

同樣重要的方向還有規範理論, 尤其是Moment map在Moduli Problems中的應用. 也算是辛幾何的應用. 這方面也有非常豐碩的結果.

說到教材, da Silva的書, 當然是最科普的. 介紹了最簡單的最基本的辛幾何概念. 然而這本書基本上是哄小孩, 跟現代辛幾何已經基本上沒啥關係了.

McduffSalamon的Introduction to symplectic topology, 基本上覆蓋了da Silva的書, 並且在最最基本的辛幾何技術上, 可以說是介紹最完善的. 除了沒講toric manifold的構造, 可以說是沒有缺點. 然而同樣, 這本書, 基本上還是早期結果了.

剛性方面, 偽全純曲線的入門書當然是McduffSalamon的另一本書, 可以說已經介紹了足夠深刻的內容了. 而Fukaya Category當然要看Seidel的書, 雖然很難讀, 但是非常值得. 至於FOOO, 這種東西就只能看心情讀了.

更新的東西, 可以說沒書可讀. 都在文章里. 照著Abouzard, Eliashberg, Nadler, Guilllermou, Kashiwara, Schpira, Seidel, Sheridan, Shenda, Smith,Treumannt, Zaslow等一些人的文章讀就行了.

我也不是很懂，嘗試回答一下。

一般學習辛幾何我們假設應有基本的微分流形知識（包括知道什麼是李群李代數），如果還有一些簡單的同調知識和黎曼幾何（不涉及曲率的部分）知識就更好了。其中後面提到的知識，我個人的感覺是如果你不會的話其實也可以開始看辛幾何的。

如果想要看比較適合入門的教材的話，我所知道的一本是da Silva的Lectures on Symplectic Geometry，在辛幾何的教材里據說不算很難，而且書也不厚。習題裡面會需要知道一些同調，但不會的話也不怎麼影響閱讀。

如果感覺基礎好的話，也可以看McDuff和Salamon的Introduction to Symplectic Topology。這本書的話還是要知道同調論和黎曼幾何（至少不涉及曲率的部分）的，否則讀起來體驗應該會比較糟糕了。從厚度上就能看出內容更多，實際上也更難（不過似乎它的內容也並不嚴格包含前者）。

如果是要從物理的角度切入辛幾何的話，據說可以看Arnold的經典物理的數學方法（有中文版）。不過我沒有看過。