有哪些看起來很簡單證明起來卻很難的問題？

01-03

鏡像問題：有哪些看起來很難證明起來卻很簡單的問題？

Jordan閉曲線定理Jordan curve theorem：

簡言之，在地上畫個圈，就把地分成了圈裡頭和圈外頭兩塊。

嚴格來說，二維平面上的任意一條簡單（不自交）閉曲線，則這條閉曲線把二維平面分為正好兩塊。每一塊是連通的，邊界是這條曲線，有且只有一塊是有界的。

典型的『這tm也要證』系列。第一個意識到這真的需要證的是Bolzano。

然而真證起來要用到代數拓撲，鋪墊起來一大堆。當年學的時候大概用了基本群，證了兩三頁。

後來有了初等證明，也要五頁。見http://www.mathnet.ru/links/d91b477e221f35c9b640f907a0f3929c/rm8482.pdf，不過是俄文的...

一大困難是簡單閉曲線這個條件有點弱，性質可以不好，比如說這條曲線可以處處不可導，可以維數不是1（分形，比如Koch曲線），甚至可能有正的面積（Osgood curve - Wikipedia），這種時候這個曲線的量詞甚至不應該用『條』。所以需要一些更一般的方法。

還是覺得這個顯然的可以想想：啥叫簡單閉曲線？啥叫圈裡頭？啥叫圈外頭？啥叫邊界？啥叫連通？啥叫有界？我是誰？我從哪來？我要到哪去？

更新一下Ben Green和Terence Tao的那個問題：

重新敘述一下問題：考慮平面（ $mathbb{R}^2$ ）上的n個不全共線的點，最少有多少條恰好過兩個點的直線？

關於這個問題，感興趣的朋友們可以嘗試證明一下這個問題的第一步（Sylvester-Gallai Theorem, 1893）：

平面上n個不全共線的點，至少有一條恰好過兩個點的直線

這個定理看似顯然，實際上不那麼平凡：我們把實數換成其他的域，結論就不一定成立。比如考慮有限域平面 $mathbb{F}_p^2$ ，如果點集取全平面，我們可以發現任意直線都經過p個點。另一個不那麼平凡的例子，考慮複平面 $mathbb{C}^2$ 上的點集，我們有Hesse Configuration（如圖）

每條直線都恰好經過3個點。所以我們想證明實平面上的結論，一定要用到實數特有的性質。Gallai在1944年給了這個定理的一個超級超級clever的證明，屬於那種看了一眼一輩子都忘不了的證明，將原來的證明簡化到了兩三行，很多競賽黨可能都見過這個證明。。陶哲軒稱這個解法「very clever」，大家可以嘗試自己證一下。

不過因為解法太聰明，這個方法沒辦法推廣到我們想要的最初的問題上。。倒是最開始基於代數拓撲的「笨方法」可以推廣。最終的結果我一開始的答案也說了，對n個不全共線的點，如果n是偶數，那麼最少n/2條恰好過兩個點的直線；如果n是奇數，則有3n/4條。方法基本上是用algebraic geometry和algebraic topology。具體的做法記不清了也懶得再去讀paper了（70多頁實在不想讀），鏈接在這裡：https://arxiv.org/pdf/1208.4714.pdf

（以上例子均出自Terence Tao的talk）

－－－－原回答

說點離散幾何的。

首先是well-known的開普勒猜想：也就是堆橙子問題。

在三維空間里堆大小相同的球，上面的擺放方法最為緊密，對空間利用率最高。（這不是顯然的嗎。。然而並不）

數學家對這個問題進行了400年的愛情長跑，最終在1998年被Hales用計算機證明。具體的心路歷程可以參考開普勒猜想

但是數學家對計算機證明不甚滿意。關於計算機證明的梗，我聽Luke說過一個笑話：

四色定理也是由計算機證明的，至今為止沒有找到不依賴計算機的證明。但是我們現在的計算機發展的太快了，以至於四色定理可以在最新的手機上用10秒證明。Wolfgang Haken（證明四色定理的教授之一）想和他的學生在IPhone上寫一個APP，向大家宣傳一下四色定理的計算機證明。基本上，他們計劃，打開那個APP，點擊「證明四色定理」這個按鈕，然後手機內部開始證明四色定理。10秒之後證完，彈出「四色定理證畢」！很Cool的想法是吧？然後他的學生就準備去編程了。開始編程一周之後的某一天，他的學生突然想：為什麼我不寫一個空殼程序呢？就是點擊按鈕之後後台開始計時，十秒之後直接彈出「證畢」。。。

這個笑話反應了計算機證明的第一個問題：難以驗證：對於這種大型的程序，你很難保證代碼里沒有bug。

當然最重要的問題是，像開普勒猜想這種如此簡潔，對稱，美麗的問題，卻沒有相應美麗的解答，這個最讓人難受。我個人認為，我們現在缺少對「對稱」的高觀點的理解，導致這些美麗的問題沒有美麗的解答。（也可能是我自己理解的不到位）

我再舉一個我最近在做的離散幾何問題做為例子：Hill"s Conjecture(1958)

嚴格來說和crossing number有關的問題屬於incidence geometry，算是離散幾何的一支，研究點，線，面的性質的幾何，包含了很多符合這個題目的問題。

回到我們的問題。我們考慮把完全圖畫在平面上。比如對於 $K_4$ ：

注意到第一種畫法邊有一個交叉點，後兩種沒有。我們把所有畫法中最少交叉點叫做crossing number，於是有 $cr(K_4)=0$ 。

那五個點呢？用一點點代數拓撲可以容易證明， $cr(K_5)=1$ 。

那n個點呢？我們考慮最「對稱」的情形，不妨設n是偶數。如圖

在 $mathbb{S}^2$ 上做兩個平行的小圓，我們在每個小圓上均勻的排列 $frac{n}{2}$ 個點，然後將所有的點用短的geodesic curve相連。數學家們猜測，這種最對稱的畫法，帶給我們最少的crossing number。

然而。。我們並不會證明，我認為是因為沒有強有力的工具高觀點的描述這種對稱性。目前最好的結果是13年得到的：如果所有的邊是單調曲線，猜想成立。

再說一個陶哲軒和Ben Green最近的結果，也是incidence geometry的。平面上不全共線的n個點，考慮恰好過兩個點的直線。這樣的直線最多有多少個？很顯然，如果任意3點不共線，我們有最多 $inom{n}{2}$ 條這樣的直線。那麼最少有多少條這樣的直線呢？聽起來很簡單吧，就是畫畫嘛。其實也是有近百年歷史的問題了。

首先初中競賽告訴我們，這樣的直線至少有一條。12年左右Tao和Green利用algebraic topology和algebraic geometry的工具給出了一個解答：當n為偶數，最少有n/2條；當n為奇數，最少3n/4條。思路本來想詳細說說，實在太懶了。。有空再更。。

草草掃了一眼，居然沒人答角谷猜想么？

小學生都知道奇數和偶數。我們玩這麼一個簡單的遊戲：

——假如這個數是奇數，那麼把他乘以三，再加上一。就是3n+1。

——假如這個數是偶數，那麼把他除以二。就是n/2。

用新得到的數，重複循環以上步驟。規則很簡單，小孩子都能弄懂，對吧？

奇葩的結論出來了：

——無論你輸入什麼數字，最終的結果都是1。無一例外。

（至少，在目前所驗證過的1~7×10^11這個區間內，是無一例外的。）

更奇葩的事情出來了：

——這個定理，目前只是處於猜想階段。也就是說，目前沒人能證的出來這個遊戲結論是對的。

這個遊戲是從上個世紀50年代被提出來的，在70年代瘋狂流行。原名冰雹猜想，3n+1猜想，敘古拉猜想。日本人角谷把這個猜想引入我國，所以也叫角谷猜想。這個猜想已經存在快70年的歷史了，迄今無證明。甚至有人提議，把這個猜想作為下一個費爾馬問題。

L^2函數（平方可積函數）的Fourier級數幾乎處處收斂。

這個命題就是Lusin猜想，看起來人畜無害的樣子，但是當時沒有人可以解決。甚至一度被認為很有可能是錯的，但是也沒有人能舉出反例。

後來瑞典數學家Carleson使用極大函數的實方法，用很精妙的分析技術才將這個問題解決。

我也來說一個，數論里的（Thue-Siegel-）Roth定理，

最簡潔的地方在於式子右邊的指數下界為2，這點無法改進。

我們可以對比歷史上的類似結論，來看一下其「簡單」的程度。

Dirichlet的逼近定理

Liouville定理:

Hurwitz定理

Kronecker定理

這些都是數論（丟番圖逼近）里的很經典的結論，其看上去的複雜程度無疑都是超過Roth定理的（貌似Liouville定理應該除外），但是證明都遠比Roth定理簡單。

Roth於1955年得到了這個結果，籍此獲得了1958年的fields獎。Siegel如此評論Roth的此項工作:只要數學還在，人們就該記住這一工作。（有「商業互吹」的嫌疑，因為他本人在這個工作上也有一定的貢獻）。

另外，如果ABC猜想正確，則能推出Roth定理。這也算ABC猜想重要性的某一方面的體現。ABC猜想:

下面我貼一下Roth定理的證明，來自華羅庚《數論導引》

我看到華老書上的這部分章節時，除了感嘆證明之繁複外，更對華老在一本教材里收入菲獎級工作的氣魄佩服得無以復加。Roth的成果出於1955年，華老的書出版於1957年；素數定理的初等證明發現於1949年，華老的書里也收入了。現在很少有教材有這樣的時效性了！（當然時代確實不一樣了，那時候的菲獎級工作對現在的我們而言大抵還是比較好理解的）

PS:以上提到的大多數定理，都可以在丟番圖逼近的標準教材里找到。國內的如，朱堯辰王連祥《丟番圖逼近引論》

連續函數的Fourier級數幾乎處處收斂。等等

這題已經坑了很多人了_(:з」∠)_歡迎大家前來挑戰

當年我看到這道題後貼在了人人網上，下面許多人表示不屑然後拿出初中數學開始證明，最後全都表示證不出來

@Amebuvr 你這個反例找得我很惆悵啊……

要不這樣：

已知ABC為三角形，D在邊AB上，E在邊BC上，F在邊AC上。DEF為等邊三角形，AD=BE=CF，求證ABC為等邊三角形

評論區的同志們，

第一眼看出SAS證三個小三角形全等的，你把已知跟求證看反了

看到 @許諾的回答https://www.zhihu.com/question/63235177/answer/207445179?utm_source=com.samsung.android.app.memoutm_medium=social，便想構造一個反例

(評論沒法發圖只好新開一個回答了)

其中ADB,BEC,CFA共線

反例如圖:

其中DE=EF=FD=R_1R_2,AD=BE=CF=r_1r_2

顯然△ABC不為正三角形

===========更新一波==========

如果嚴格要求和原題中圖片一模一樣的話命題應該就是成立的了。答主並沒有考慮過證明，但使用餘弦定理暴解方程組應該是可以的。應該是餘弦定理中的角度問題才造成了不同的結果。

同時，利用向量證明應該也是一種方便的辦法。

==========再更新一次==========

安利一波

作圖軟體是geogebra，Android apple pc各種平台都有。Android的可以在GooglePlay上下載。

最重要的是，它免費。

「她不愛我」

……………………………………………………………………………

解釋一下，因為心懷僥倖，所以一切她喜歡你的證據都bilingbiling閃閃發光，而對所有她不愛你的證據都選擇性失明。證明給別人看簡單，說服自己死心才難啊。

有一個理解起來很簡單的，但是證明起來花了數學家無數力氣的定理：費馬大（zhuang）定（bi）理。當然了，這個定理不太符合「簡單」的說法，雖然理解起來挺簡單的，不過證明起來挺麻煩的（聽說在知乎用挺裝逼係數高而已，不要在意）。

當然還有一個「歐拉定理」（以前數學書裡面用這個名字，雖然對於很多人來說，這名字意味著一堆東西），也就是「對任意多面體，頂點數+面數-棱數=2」。這個問題之所以簡單，就是因為我初中看到的時候曾經試圖證明過這個定理，一度還以為自己找到方向了（當然就我的數學水平，結果自然是不了了之），到了高中還和不少同學討論過怎麼證明（源於老師的一句話：有興趣的同學可以研究一下，看看會不會證明）。對於這個定理的證明，大家可以看看匈牙利數學家拉卡托斯的作品《證明與反駁》，通過這個問題探討了數學中證反例在證明演化中的地位，談到了一些很有趣的想法。

說一個當時在溝里死去活來的問題：單位方塊的勒貝格測度為什麼是1…

丟番圖數組猜想

1700年前，Diophantus 發現1， 3， 8這三個數滿足 1*3+1 =2^2, 1*8+1 =3^2, 3*8+1=5^2. 找到第四個整數直到 Fermat: 1, 3,8,120.

問題：能不能找到5個正整數，使得每兩個相乘後加1都是平方數（0是每個正整數例子的平凡解）.

2004年才知道這樣的5個整數至多有有限個。2016年獲證: 不存在這樣的5個正整數（不限於上面這個例子）。

維基百科 Diophantine quintuple

費馬大定理吧。

對於任意大於等於三的整數n，不存在正整數a、b、c使得a^n+b^n=c^n。

老實說，不事後諸葛亮的話，課本里的大多數定理都屬於這一種。

如何證明我們存在的這個世界是真實的

或許我們跟黑客帝國裡面一樣，躺在罐子里呢

與卡爾曼濾波、最優控制有關的：

代數里卡提方程 algebraic Riccati equation （Algebraic Riccati equation）的解析解。

外星文明到底存在嗎？

這問題看起來很簡單吧，宇宙這麼大，似乎肯定是有啊。

但怎麼證明呢？

看起來證明也很容易，找到一隻野生純種奧特曼，或者捕獲、擊毀一艘載有外星人的核動力拖拉機。或者有一天望遠鏡看到外星人正在熱火朝天，在宇宙中，為社會主義而奮鬥終生建設的各種巨型星際建築，也可以。

然而目前為止，並沒有一個確切的證據。

有天體物理學家提出綠岸公式:

N=R * ne * fp * fl * fi * fe * L

第一次對探索外星人做定量分析。

有人根據這公式猜測哪怕是銀河系都應該有幾十萬，甚至幾千萬個智慧文明啊。

那麼，它們人呢？

怎麼看不見？

科學家費米就指出，如果銀河系的他們早於人類發展出文明，那麼哪怕慢吞吞地往銀河系四周擴散，現在也應該到處都能看到飛行器、飛船啊啥的啊。怎麼什麼都看不見呢？

這就是費米悖論。

針對費米悖論又有很多解釋。

比如大過濾器理論。也就是存在一個過濾器，使得外星人還沒發展到星際擴張文明階段就毀滅了。

又比如地球殊異假說。也就是說地球是最特殊的，其他星球不會存在複雜生命，因而也不會有外星文明了。

當然，還有一些科幻作家提出了自己的猜測，比如三體的黑暗森林。也就是宇宙是一座黑暗森林。其他外星文明都隱藏了起來，沒隱藏的都被消滅掉了。

我本人覺得原因是，是人類目前科技探測實在是太低了。有也探測不到。

比如說，一千光年外，兩顆黑洞合併，你有哪種方法得出它究竟是自發的還是「人為」的呢？說個極端的，哪怕外星人就在地球的地核里不斷燃放原子彈，你也絲毫覺察不出來。畢竟地殼運動啥的每秒釋放的能量就足夠恐怖了。而人類能鑽探的深度都不會超過幾十公里。你有哪種方法證明地球核心裡沒外星人呢？地球如此，宇宙就更別談了。

你們覺得我們為什麼找不到外星文明呢？

所謂『看起來很簡單』分兩種，一種是普通人看起來很簡單，一種是數學家看起來很簡單。

普通人看起來很簡單的問題，一般都是那種沒什麼屬於或者符號，用日常語言一兩句話說得清楚的。這種問題一般來說要麼就是很顯然的，要麼就會非常複雜困難。比如之前有人提到過的四色定理，孿生素數猜想，以及每年春天都會冒出一大堆『證明』的哥德巴赫猜想。

這是因為現代數學能處理的問題，很大程度上局限于于現代數學工具所能解決的範圍，而這些『樸素』的問題要轉化成這套工具和語言體系所能解決的問題，一般來說都是非常困難的。比如費馬大定理和龐加萊猜想的解決過程。問題的提出本身非常簡單，但是都被劃歸到了非常深刻的數學，重新描述和處理之後，才得到解決。

至於數學家看起來很簡單的問題，這個則是根據他自己的經驗和直覺得出的結論，使得他覺得什麼是簡單的，什麼是可以做的。但是這種基於經驗和直覺的判斷不靠譜的時候也不少。所以有的PhD就這樣被導師坑了，選了一個巨難的或者根本就不可能做出來的問題去做自己的thesis。

比如被柯爾莫哥洛夫留成『家庭作業』讓阿諾德『完成細節』的KAM理論。再比如閔可夫斯基『證明』四色定理的過程。

一次拓撲課，閔可夫斯基向學生們自負的宣稱：「這個定理沒有證明的最重要的原因是至今只有一些三流的數學家在這上面花過時間。下面我就來證明它。」……，這節課結束的時候，沒有證完，到下一次課的時候，閔可夫斯基繼續證明，一直幾個星期過去了……一個陰霾的早上，閔可夫斯基跨入教室，那時候，恰好一道閃電划過長空，雷聲震耳，閔可夫斯基很嚴肅的說：「上天被我的驕傲激怒了，我的證明是不完全的……」

高中數學競賽中的不等式。

形式很簡單，做起來超級變態，我直接放棄。

【有哪些形式簡單卻很難證明的不等式？】德安城：… https://www.zhihu.com/question/37593579/answer/72673794?utm_source=com.smartisanos.notesutm_medium=social （分享自知乎網）

看到懷疑人生

狂犬病

謝謝評論區的 @陳巨硬所建議的，我就在這把十日觀察法的具體實施方法寫上來

世界衛生組織（WHO）和美國CDC推薦的十日觀察法是指： 對貓、狗造成的暴露進行「十日觀察」，即在10天內對致傷的動物進行觀察，如果10天內動物沒有出現狂犬病癥狀，則傷者可停止後續的暴露後處置。

@陳巨硬先生提到的「如果咬人動物逃逸了」這種情況不屬於以上範疇，所以還是需要做整個免疫周期的。

評論里有個置頂的回復，她/他的言論就是我想所說的，大多數人懷揣的也是這樣的心態，就跟「來都來了，為什麼不……」是一樣根深蒂固在我們腦海里的想法，倒不是說這樣的觀點是錯誤的，只是這樣的言論就正好呼應了提干「有哪些看起來很簡單證明起來卻很難的問題？」

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十日觀察法被世界衛生組織（WHO）宣講過無數遍，但仍然有無數養寵的家長不放心，甚至自家免疫周期完整的貓狗撓了一下，並沒皮膚破損也要去打疫苗…

我覺得在這個問題上，看起來很簡單，證明起來可真難！

參考材料：WHO Expert Consultation on Rabie

Human Rabies Prevention —United States, 2008