量子理論中如何定義「運動」？

01-03

相對於經典力學中，力，速度，位置的概念，量子力學的基礎是薛定諤方程。則以量子力學視角，如何理解「速度」。比如說，粒子收到撞擊有向+x方向的速度v。解含時薛定諤方程而後作微分么？

首先你有點高看力和速度這兩個概念了，其實他們不太基本，不配和位置站在一個高度，能和位置平起平坐的量是動量。

實際上經典力學中真正重要的物理量有4個：位置、時間、能量、動量。

你問出這個問題，我覺得你大概只對經典力學的牛頓表述比較熟悉，而對拉格朗日表述與哈密頓表述不太熟悉。（實際上牛頓老先生最早的第二定律公式也是用動量來寫的啊）

實際上量子力學有兩種基本的理解方式：路徑積分量子化和正則量子化。

薛定諤方程屬於正則量子化的表述形式，它和經典力學的哈密頓表述是匹配的。

也就是說，正則量子化是經典力學的哈密頓表述的量子化看法，如果你不熟悉哈密頓力學，當然你會覺得量子力學奇怪。

哈密頓量實際上是描寫能量與動量、位置、時間關係的一個函數，有時我們也把它等同於能量。經典力學可以這麼表述：

$E=H(p_1,...,p_n,q_1,...,q_n,t)$

$frac{dq_i}{dt}=frac{partial H}{partial p_i}$

$frac{dp_i}{dt}=-frac{partial H}{partial q_i}$

在這個描述下，基本沒有速度什麼事情，當然把廣義坐標的導數叫廣義速度、廣義動量的導數叫廣義力也是可以的。

也就是說，實際上如果要描述一個物體的運動，我們只需要一組可以確定這個物體行為的量，給出這組量隨時間變化的關係即可，所謂速度、力不過是這些基本的量的導數，有沒有它們，其實不重要。

這個說法只對對時間求一階導的方程成立！

牛頓第二定律是二階的，二階方程需要兩個初始條件，所以光靠初始位置不夠，還要有初始的速度，才能確定之後的運動。同樣拉格朗日方程也不行！

到了量子力學裡面，動量比速度更基本了，基本到對易關係 $[x,p]=i$ 是位置與動量，不是位置與速度。而且描述運動的量一開始不就是動量么？

然而到了量子力學裡面，描述一個粒子的量不是位置，也不是動量，是希爾伯特空間中的一個態矢量，這個東西有個特點，你問它任何物理量是多少，它都不一定答得出來，它通常只能回答，這個物理量能取什麼值，取得某個值的概率是多少。

甚至有些時候概率都不好用，要用概率密度才行。對於位置和動量就是這樣，因為它們的值是連續的。

也就是說，到了量子力學裡面就連位置和動量都不是基本的量了！基本的量是：態矢量、時間、哈密頓量。

$ifrac{d}{dt}|psi(t) angle=H|psi(t) angle$

這裡哈密頓量是能量在希爾伯特空間中的算符形式，它可能與動量、位置有關，也有可能跟它們毫無關係，比如位置固定的帶自旋的粒子在勻強磁場中，哈密頓量只和自旋有關。

也就是說經典力學描述位置和動量的變化，量子力學描述態矢量的變化，由於描述粒子狀態的工具不一樣，當然你要用速度這麼經典的概念去套，自然什麼都套不出來。

當然量子力學也是有速度算符的：

$v_i=-i[x_i,H]$

如果 $H=frac{p^2}{2m}+V(x)$ ，那麼 $v_i=frac{p_i}{m}$

速度的平均值：

$langle v_i angle=langlepsi(t)|frac{p_i}{m}|psi(t) angle$

速度取值的概率：

$P(vin[a,b])=P(pin[ma,mb])=int^{mb}_{ma}|psi(p)|^2dp$

$psi(p)$ 是動量空間的波函數。

「運動」的概念被推廣為「演化」，而演化又分為態的演化和算符的演化。比如物體的速度，可以認為是物體的態發生變化，導致速度算符在態上的平均值變化；也可以認為是速度算符本身發生了變化。前者稱為薛定諤繪景，後者稱為海森堡繪景。這裡，所謂繪景(picture)，其實就是描述方式的意思。

如果按照題主所說，應當是薛定諤繪景的描述方式，此時，只有物體的態在演化，而算符是不變的。在薛定諤繪景下，「粒子受到撞擊獲得了x方向的速度v」被描述為：粒子突然演化為向x的大小為mv的動量本徵態。

海森堡繪景是更加類似經典力學的的描述方式，在這裡演化的是算符，而算符大約是經典力學的里的物理量。所以在海森堡繪景下，「粒子受到撞擊獲得了x方向的速度v」被描述為：速度算符突然演化為x方向大小為v。正是因為海森堡繪景與經典力學的相似性，很多基本的量子力學規律都是在這種繪景下由經典力學的推廣至量子力學的。

實際當中常用的是相互作用繪景。對於一個力學系統，我們總有一部分感興趣的，一部分不感興趣的。類比到經典力學小球相撞的問題上，我們對小球相撞的那極短的一段時間很感興趣，而對小球是怎麼運動過來的不感興趣。在相互作用繪景中，類似小球運動過來的這段演化稱為「運動學演化」，它被歸結為態的演化；類似小球相撞的這段稱為「動力學演化」，歸結為算符的演化。這種繪景更多地是帶來技術上的方便，如果什麼系統都很容易精確求解，大概就用不著這種繪景了……

總而言之，量子力學中海森堡繪景描述演化與經典力學類似，可以說「粒子速度改變了」這樣的話；而薛定諤繪景與經典力學區別較大，只能說「粒子從某態演化到另一態」。具體用哪種繪景要看實際問題，哪種方便用哪種。不過因為算符方程往往數量很大，所以在這兩者中，常用的是薛定諤繪景。

在量子力學中，動量和能量比速度和質量要基本。當然粒子的速度和有效質量（effective mass）也可以通過動量和能量計算出來。速度這個量在量子力學的應用範疇中作用並不大，因為量子力學都是應用在比較微小的結構中，我們並不關心粒子怎麼運動，我們關心的是粒子在一定勢場下的動量能量分布，比如說電子晶體的能帶（K-E space 動量-能量空間）。如果我們知道了K-E 曲線，可以計算出電子的有效質量和對應的速度，但這遠遠沒有電子的能級重要。但是比如石墨烯這樣的材料，由於其特殊的能帶結構所以電子有效質量很小，石墨烯中電子的速度接近光速，所以充放電特快。

下面簡單介紹下如何通過動量和能量計算出有效質量和速度。

$v_{g} =frac{dE}{dP}=frac{dE}{hdk}$

這裡的速度 $v_{g}$ 準確來說是群速度，其實就是K-E曲線的斜率。因為如果電子不受限，它的波函數就是一個平面波，它有單一的動量但是位置完全不確定。然而只要受限它肯定是以一個波包的形式存在的。所以群速度的概念比速度更精確。

然後它的有效質量就是

$m_{effective}=frac{1}{frac{1}{h^{2} } frac{dE^{2} }{k^{2} } }$

記住這裡的有效質量(effective mass)不是粒子的rest mass。是套用牛頓力學定律中動量和動能的關係計算出來的。而且有效質量不是一個標量是一個張量（tensor），因為動量是一個矢量.

至於題主說的，粒子受到撞擊產生一個速度，就需要量子場論的知識了。準確來說，在量子場論中，粒子間的作用，不是力學中的撞擊的概念，而是通過交換媒介粒子來實現的。粒子吸收了媒介粒子就獲得了該媒介粒子的動量。具體的數學形式我也不大了解。