隨機變數的期望E(x)與X的平均值之間的區別與聯繫？

01-03

請問這兩者之間有什麼區別和聯繫，我發現英文教材上算標準差的公式兩者貌似混用了

二者的精神是相同的。一般對於隨機變數說期望，對於一組樣本說均值，但也有混用的時候。

期望是確定的，均值是一個隨機變數。

這段文字里出現的是E(x)和mu，E(x)是指x的期望(Expectation)，也就是一階矩，而mu表示均值(mean)。可以認為mu是E(x)的別名。兩者實際表示的意義相同。

而題主所說的平均值(average)和均值(mean)是兩個概念。均值是針對一個隨機變數而言的，通過其分布計算得出，而平均值則是針對一組樣本而言的，且計算方式不止一種（算術平均值、幾何平均值等），但一般默認為算術平均值。

通常是因為實際生活中有時候我們不知道每一個x的分布是什麼，故而能通過抽樣實驗獲取一堆x的樣本，來估計x的分布。題主所說的平均值一般是指 $ar{x}$ ，計算公式為： $ar{x} =frac{sum_{1}^{n }{x_i}}{n}$ 。 $ar{x}$ 是對mu(mean)的一個無偏估計。

我懷疑你這裡的mean of X 就是指expectation of X, 也就是 E(x)，只是不同的叫法。

如果是average value of independent identical distributed variables, 那參見law of large numbers.

我感覺理解期望還是得要從measure theory學起，然後就知道E(X)是X在概率空間的積分。

好像有的書會用limit of average value來定義E，我是很不喜歡的……畢竟E是probability space 和 variable 決定的，而average value 不過是表象，用後者定義前者就顛倒因果了。只能說本質決定表象，表象收斂於本質，怎麼能說本質是表象的極限呢……（我似乎是貝葉斯邪教的信徒？）

我都不記得本科在沒學過measure theory的情況下是怎麼定義E的了……難以想像……

均值(mean)，是統計學概念，是在你有一定量的數據後，加權平均後計算出的數值。

期望(expected)，是概率論概念，是在你對隨機變數的概率進行估計後，求出的預期數值。

均值有權重，期望有概率，在日常生活中，很多時候我們可以粗略地把他們看成同一個概念。

舉個例子：你要統計你們班男生的身高，假設你們班有10個男生，以下是你收集到的數據：

170,172,175,176,172,176,176,175,172,176

那麼，均值=（170+172+175+176+172+176+176+175+172+176）/10=174cm

同時，我們可以看到，170出現了1次，175出現了2次，172出現了3次，176出現了4次，數據總量是10個，那麼170所佔的權重就是1/10，175所佔的權重就是2/10，172所佔的權重就是3/10，176所佔的權重就是4/10，我們計算這組數據的加權平均值：

加權平均值=170X(1/10)+175X(2/10)+172X(3/10)+176X(4/10)=174cm

可以看到，均值和加權平均值的計算結果一致，因為均值計算是加權均值計算的一種特殊形式，理論上所有的均值計算都是加權計算，只是表現形式不同。

在計算均值時，我們把十個數值都賦予了相等的權重，每個數值的權重都是1/10，然而這裡面有重複的數據，更簡便直觀的方法是將那些重複數據所佔的權重計算出來，然後加權計算。

10個男生的身高數據，並不是不一樣的數值，而是只有四個數值，他們出現的次數佔比，我們可以看成是概率。

170出現的概率：1/10

175出現的概率：2/10

172出現的概率：3/10

176出現的概率：4/10

我們可以計算出這組數據的期望：

期望=170X(1/10)+175X(2/10)+172X(3/10)+176X(4/10)=174cm

均值和期望的計算結果一致，所以我們可以近似地把他們看成是同一概念。

至於方差（variance）和標準差（standard deviation）

方差，它的英文是variance，這個辭彙是vary的名詞變化形式，是「變化」的意思，指一組數據的離散程度，中文翻譯為方差。

比如上面那組身高的數據，我們可以計算一下方差：

variance=(170-174)(170-174)X(1/10)+(175-174)(175-174)X(2/10)+(172-174)(172-174)X(3/10)+(176-174)(176-174)X(4/10)

=16X0.1+1X0.2+4X0.3+4X0.4

=4.6

這組數據的方差就是4.6。

標準差，它的英文是standard deviation，直譯就是標準偏離程度，這是一個標準化的量，只有正數，沒有負數，就跟+1和-1距離原點的標準距離是1一樣，這個1是個標準量。

標準差= $sqrt{variance}$

標準差= $sqrt{4.6}$ =2.14cm

均值和方差，是學習推斷性統計學的入門內容，同時也是金融學的基礎內容，用英文原版教材學習統計學，是一個非常好的開始，因為很多概念的表述，英文比中文要準確的多，祝題主學習順利！

簡單的說，期望是對未來的預期，均值是對過去的總結。

按照我個人的理解是這樣的：隨機變數的期望E(X)和X的加權算術平均值之間是一般和個別的關係。（這裡計算期望值我們一般指的是離散型隨機變數，連續型變數一般用概率密度曲線來理解）。

X的期望值實質上是加權算數平均數的一種推廣。一般我們說的平均數是指具體數據的平均指標，而期望值說的是隨機變數的期望指標。（我覺得這裡可以把具體數據理解成隨機變數的一個子集。）

從定義上看，離散型隨機變數X的期望值是，在X的一切可能值得完備組中，各可能值xi 與其對應概率pi 的乘積之和稱之為該隨機變數X的期望值，記作E（X）或者 $mu$ 。

即，若X取無窮個值：x1, x2 ,x3…
xn ,…對應的概率是p1,p2, p3,…pn
,…,則期望值為：

E（X）=x1p1+x2p2+…xnpn+…

舉一個例子，擲骰（tou）子(才知道這個字讀作tou)，它的期望值就是

E（X）=1x1/6+2x1/6+3x1/6+4x1/6+5x1/6+6x1/6=3.5

也就是說，各可能點數的均值是3.5.

但是你在一次實驗中，擲骰子6次，這6次的值可能是：2，4，4，5，3，1

它的均值 $ar{x}$ =(2x1+4x1+4x1+5x1+3x1+1x1)/6=3.167

也就是抽象值和實際值的關係。不知道沒有沒說清楚或者有什麼錯誤的地方，我也是大學學的統計學，現在都忘了，如果有什麼錯誤可以一起討論。

以上。

期望： $E(x)=int_{-infty }^{infty } xf(x)dx$

均值的極限： $lim_{n ightarrow infty}{frac{sum_{i=1}^{n}{X_i}}{n}}$

這兩個數在什麼情況下相等的定律叫作大數律。注意前者是一個非隨機數，後者的每一項都是隨機數，所以取極限的定義有幾種微妙的差別。

我傾向認為原作者mean的意思是後者，根據大數律才等於前者。

你知道扔一枚硬幣是正面的概率是1/2（期望），但是你也知道接下來讓你扔兩次，並不一定只出現一次正面（均值）

其實期望值就是平均值，不過你可以這麼理解：平均值是一系列數值的總和除以數值的個數，是針對一系列的散點操作的；而期望值一方面可以操作散點，也可以求連續型函數的「平均值」，做法就是求積分再除以定義域長度。所以，期望值是比「普通的平均值」高一個維度的「平均值」。

忘了看題主問的是「隨機變數」了，「普通平均值」是不能處理「概率」問題的，所以我們需要一個延伸，於是有了「加權平均值」。對，中學學的加權平均值就是期望值。

統計中，期望值往往是一個理想的值，可望而不可即的，期望值這個概念往往是要站在上帝視角來思考的。如果你要近似得到期望值只能靠大量樣本，越多越好，越多越接近。比如我想知道全國中學生平均身高，上帝可以知道所有人，但我沒法測到所有人，只能靠去找儘可能多的人測出數據，以接近上帝手中的那個值。

上帝手中的那個叫總體均值，我測得叫樣本均值。樣本均值的期望值等於總體均值，即E(x?)=μ，意思是我測得的值應該收斂於上帝那個值，由於我沒法測所有人，因此無法相等，只有在理想當中才相等。換一種說法，樣本均值可作為總體均值的估計值。

書上這裡因為是finite，那麼你就是上帝，因為你能看到所有樣本，所以這時可以理所應當說E(X)=μ。

隨機變數 X 是一個函數，所以要說平均值有定義，那就是E(X)。