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e=2.7…是怎麼算出來的？

01-03

10月19日更，更新內容

1.添加了分割線

2.將圖片換為了公式

3.添加了高能的泰勒級數

p.s.終於知道你們為什麼不願意答全了...公式簡直難添加...尤其是對於我這種用虛擬鍵盤的，效果拔群.....

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大半夜看到這個題目怒答！！！！終於有我會的了！！！

首先，問題是這樣的：怎樣求導 $y=a^{x}$ ?

現在基本上初等微積分的人都會學過這個問題，但是我們要去看當時人們的想法 $frac{da^{x} }{dx} =lim_{Delta x ightarrow 0}{frac{a^{x+Delta x}-a^{x} }{Delta x} }$

$=lim_{Delta x ightarrow 0}{ frac{a^{x}(a^{Delta x}-1) }{Delta x} }$

$=a^{x} lim_{Delta x ightarrow 0}{frac{a^{Delta x}-1 }{Delta x} }$

根據導數的定義式我們能得到以上的內容。那麼問題來了，a^x好辦，後面的那一大坨怎麼辦呢？這時我們引入另外一個符號M(a)

設 $M(a)=lim_{Delta x ightarrow 0}{ frac{a^{Delta x}-1 }{Delta x} }$

則原式可寫為

$frac{d}{dx} a^{x} =a^{x}M(a)$

觀察可得

$frac{d}{dx} a^{x} |_{x=0} =M(a)$

∴M(a)可以看作是當x=0時的切線斜率

然後我們做以下定義：定義 $M(e)=1$ ,即當x=0時切線斜率為1

∴ $frac{d}{dx} e^{x} =e^{x} M(e)$

$=e^{x}$

然後這就是e的產生，但既然說的是y=a^x,那就一次把這個問題說完吧。

∵ $e^{lna} =a$

∴ $a^{x} =e^{xlna}$

∴ $frac{d}{dx}a^{x} =frac{d}{dx} e^{xlna}$

根據鏈式法則

$=lna(e^{xlna} )$

$=lna(a^{x} )$

這時我們就得到了y=a^x的導數，這就是e的產生的全過程。下面是關於e的計算。我將先證明e的計算式的正確性：

求 $lim_{n ightarrow infty }{(1+frac{1}{n})^{n} }$

開始計算

取自然對數

$lim_{n ightarrow infty }{ln(1+frac{1}{n} )^n}$

$=lim_{n ightarrow infty }{nln(1+frac{1}{n}) }$

設 $Delta x=frac{1}{n}$

∴ $lim_{n ightarrowinfty }=lim_{Delta x ightarrow 0}$

∴原式可化為 $lim_{Delta x ightarrow 0}{frac{ln(1+Delta x)}{Delta x} }$

∵ $ln1=0$

∴原式可化為 $lim_{Delta x ightarrow 0}{frac{ln(1+Delta x)-ln1}{Delta x} }$

根據極限的定義

∴上式=1

下一步直接以e為底

$e^{lim_{n ightarrow infty }{ln(1+frac{1}{n})^{n} } } =e^{1}$

$lim_{n ightarrow infty }{(1+frac{1}{n})^{n} } =e$

所以當n的值取得越大，結果就會越接近e。

但是這種方法也是有缺陷的，其他各位答主也提到了，就是收斂速度太慢。用泰勒級數的話會快得多。下面是泰勒級數的方法。

先上泰勒級數計算的一般式

$f(x_0)+f$

關於泰勒級數演算法的證明，其實就是通過無限的近似達到接近（線性近似+二階近似+三階近似+...+n階近似）

關於那個公式...我也稍微證明一下吧...感覺今晚作業寫不完了

先是線性近似

$y=ax+b$

$y$

這就是第二項里f"的由來

二階近似

$y=ax^{2} +bx+c$

$y$

$y$

∴ $a=frac{y$

這就是第二項中二階導數的由來，因為是二階近似，所以後面要平方.

這裡注意到分母上的2是2！再往下看

三階近似

$y=ax^{3} +bx^{2} +cx+d$

$y$

$y$

$y$

$a=frac{y$

這裡我們發現

$a=frac{y$

更高次項和general formula我就不推了，大家get就好了...

好了回歸正題

設 $y=e^{x}$

套公式泰勒級數為

$e^{x} =1+x+frac{x^{2} }{2!} +...+frac{x^{n} }{n!}$

取x=1時的值就是e，這個方法會快得多.

首先是題外話，我養了一隻喵，起名叫e

這是e的定義式。顯然我們把n取足夠大就能得到任意精度的e的值

至於實踐中我們計算e的值有個又好又快的級數

e=1+1+1/2+1/3!+…+1/n!+…

收斂速度超快，比計算Pi方便多了

還可以改寫成這樣算

e=2+1/2(1+1/3(1+1/4(1+…1/(n-1)(1+1/n)…)))

更方便計算機計算

我不生產答案，我只是答案的搬運工。

數學裡的 e 為什麼叫做自然底數？是不是自然界里什麼東西恰好是 e？ - 張英鋒的回答

來源於一個極限，後來人們發現這個極限用得很多，所以用e來代表這個極限。

可以這樣（1+1/n）?當n趨近於+∞時，這個式子就等於e。（limx這個符號我打不出來）

題主可以自己算，給你公式：e=2+(1/2!)+(1/3!)+...(1/n!),當n大約取23的時候，e的值很接近2.71828

手機沒法寫公式啊。。先佔個座

以前沒計算機，編對數表的時候，合計來合計去，合計出來的。

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