數學裡有沒有不能被範疇化的概念？

01-03

看過下面的問題以後想到的，既然有很多概念都可以被範疇化，那麼有沒有不能範疇化的概念呢？
或者說有沒有人找茬生造一些不能範疇化的概念？
我猜數論里的一些東西應該不容易範疇化。
http://mathoverflow.net/questions/43579/examples-of-categorification

所謂範疇化，其實都是針對代數對象做的。其他分支里的概念，都要轉化成代數語言後，才能進行範疇化。我目前遇到的東西絕大多數都可以範疇化，我猜測純分析的東西可能有些跟範疇扯不上什麼關係。

另外我學過的所有範疇化，都是對同樣的東西給出了更高觀點的解釋和看法。個人認為categorification是當代數學中很重要的一個突破，也推動了很多進展（給了很多數學家飯吃）

我來說一點題外話，打一點醬油吧，講一講故事，我的最愛啊。

比"數學結構"更加抽象化、更加形式化的理論是"范疇"(Category)與"函子 "(Functor)的理論，它是結構理論的自然延伸，也是代數拓撲學和同調代數的自然產物。雖然，它們是一種方便的語言，但是，一般不能象數學結構的觀念那樣，產生積極的結果。因比，有的 Bourbaki 成員並不贊同這樣的"推廣"。象 A. Weil 就曾說過，它只不過是形式的廢話。但也有的 Bourbaki 成員對搞這個玩意十分起勁。 Ehresmann 從 50 年代中期起就丟開了拓撲學和微分幾何學，專門搞"範疇理論"。具有諷刺意味的是，他創辦了一種名叫《拓撲與微分幾何手冊》的期刊，上面登的沒有拓撲與微分幾何的文章，而全部是範疇論的文章。這些文章都是空對空、玄而又玄，幾乎談不上有什麼實際背景和應用價值。另外，他還經常召開國際會議，吸引了一批年輕人搞這套東西，並且在法國和美國有一定的市場。實際上，這是形式主義發展到極端的產物。

作為一種數學語言，範疇與函子還是有它的實際背景的。這種概念最早是 S.Eilenberg 和 S. MacLane 在 1942 年提出來的，並在 1945 年發表了系統的結果。範疇的概念是建立在數學結構的基礎之上，比如群的範疇、環的範疇、拓撲空間的範疇、全序空間的範疇等等。可是範疇不僅僅是具有某種數學結構的集合的集合，它還要考慮這些集合之間保持結構的映射關係，也就是說，範疇是把集合和映射放在平等的、相互間有密切聯繫的地位上。而函子則是范疇與範疇之間的映射，它同樣是不僅考慮集合，還要兼顧集合間的映射。這樣看來，範疇和函子是集合與映射的上層建築，它反映了不同結構之間的關係。

這兩種結梅之間的對應關係早在
19 世組就已經為人所知，比如域的擴張與它們的 Galois 群之間有著某種一一對應，只不過當時還沒能概括成為結構和範疇之類的語言。到了 20 世紀，由於代數拓撲學的發展，拓撲結構及群、環等代數結構之間的對應日趨明顯。代數拓撲學的方法可以很容易地形式化成為同調代數的工具，併產生各種各樣的應用。

到了 50 年代，範疇和函子越來越成為表述許多數學理論的方便語言。於是， Bourbaki 的一些成員開始把它們應用到具體的數學分支中去，尤其是 Grothendieck 在他的代數幾何學體系中進行了大量的應用，並推動範疇論的發展。

由於範疇與函子的應用價值的提高， 60 年代便出現了範疇論、範疇代數等分支，使範疇論成為極為形式化的數學
體系。

正應了上面答主的話，就算能範疇化都然並卵，何況不能範疇化。我個人覺得搞到範疇這條路的時候，其實已經不是搞狹義的數學範疇了（數學是研究數和形的），你叫他廣義邏輯學更差不多。

數論中的範疇化也有不少例子：

一、比較經典的例子：在算術幾何中格羅藤迪克的l-進上同調(l-adic cohomology)可以看作對於函數域(function field)上的L-函數(L-function)的一種範疇化：

a) 函數方程(functional equation)對應龐伽萊對偶(Poincare duality)

b) 歐拉分解(Euler factorisation)對應跡公式(trace formula)

c) 解析延拓(analytic continuation)對應有限性(finitude)

等等

二、現在比較熱門的例子：在模型式理論中：

a) 赫克代數(Hecke algebra)可以範疇化為赫克範疇(Hecke category)

b) 赫克特徵型(Hecke eigenform)對應赫克特徵層(Hecke eigensheaf)

等等

三、比較初等的例子：有限集合所組成的範疇FinSet可以看作對於自然數集的一種範疇化：

a) 加分運算對應余積(coproduct)

b) 乘法運算對應積(product)

c) 冪運算對應內態射集(inner hom set)

d) 零對應空集/始物件(empty set/initial object)

等等

兩道比較有趣的習題：

a) 通過以上範疇化，證明零的零次冪等於一

b) 我們知道自然數集的勢(cardinality)為無窮，但是通過以上範疇化我們可以考慮有限集合所組成的廣群(groupoid)，因此我們可以定義自然數集的廣群勢(groupoid cardinality)為FinSet的廣群勢。證明自然數集的廣群勢等於e（自然對數之底）。

我覺得與其問什麼不能範疇化，不如問問範疇化以後能做什麼。

數論里最基本的關係是整除，整除誘導出一個偏序結構，這自然就成為一個範疇。

（所有的整數都是對象，a整除b則a到b有唯一態射。1和-1是始對象，0是終對象。）

然而引入這個範疇能幹嘛呢？是能誘導人們給出深刻的定理？還是僅僅把大家都知道的東西換了個說法重講一遍？

有啊，比如無窮範疇就不能範疇化，比範疇不知道高到哪裡去了

甚至還有無窮範疇的無窮範疇233

Type theory

組合數學，範疇化毫無意義。

範疇化不等於可以更好的駕馭