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數學分析積分高等數學

求問數學大神這個積分怎麼算？

01-03

================= 下面的解答由 @Andre 提供 ====================

要求 $Ileft(a,b ight)$ 的值，只需要求出積分

$Jleft(c ight):=int_0^infty e^{- heta^2-frac{c^2}{ heta^2}}mathrm{d} heta$

的值。事實上 $Ileft(a,b ight)=frac{1}{a}Jleft(ab ight)$ 。由參變數求導可得：

$J$

另一方面，我們有

$Jleft(c ight)=int_0^infty e^{- heta^2-frac{c^2}{ heta^2}}mathrm{d} heta =int_0^infty frac{c}{y^2}e^{-y-frac{c^2}{y^2}}mathrm{d}y~~~left( heta= frac{c}{y} ight).$

所以，我們有

$J$

又因為 $Jleft(c ight)|_{c=0}=frac{sqrt{pi}}{2}$ ，我們就得到了

$Jleft(c ight)=frac{sqrt{pi}}{2}e^{-2c}.$

====================== 以下為原答案 ========================

假設 $a,b>0$ ，我們做變數替換 $y=a^2u^2$ 。由計算可得

$I(a,b)=frac{1}{2a}int_0^infty y^{-frac{1}{2}} e^{-y-frac{a^2b^2}{y}}mathrm{d}y.$

可以發現這個積分很接近修正的 Bessel 函數 $K_ uleft(z ight)$ 的積分表示，也就是

$K_ uleft(z ight)=frac{1}{2}left(frac{z}{2} ight)^{ u} int_0^infty t^{- u-1} e^{-t-frac{z^2}{4t}}mathrm{d}t, ~~~ |arg(z)|<frac{pi}{4}.$

在上式中，令 $u=-frac{1}{2}$ 和 $z=2ab$ ，可以得到

$K_{-frac{1}{2}}left(2ab ight)=frac{1}{2}left(frac{1}{ab} ight)^{frac{1}{2}} int_0^infty t^{-frac{1}{2}} e^{-t-frac{a^2b^2}{t}}mathrm{d}t.$

所以

$Ileft(a,b ight)=left(frac{b}{a} ight)^{frac{1}{2}} K_{-frac{1}{2}}left(2ab ight)$ .

又由於 $K_{-frac{1}{2}}left(z ight)=left(frac{pi}{2z} ight)^{frac{1}{2}} e^{-z}$ ，我們可得

$Ileft(a,b ight)=frac{sqrt{pi}}{2a}e^{-2ab}$ .

這個是 $a,b>0$ 的情況，更一般地，當 $a,binmathbb{R}left(a,b e0 ight)$ 時，我們有

$Ileft(a,b ight)=frac{sqrt{pi}}{2|a|}e^{-2|a||b|}.$

上面那位答主其實寫的很清楚了，我再給出一種需要些技巧的方法吧2333

參考以下過程：

其中連等式里的第二個等號的證明放在下面：

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※有大神能求解這條積分嗎？

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