為什麼在信號處理中一個域的離散會造成另一個域的周期延拓？

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可否有些直觀的解釋？一直困惑我的問題

謝邀。

水平所限，我默認題主要討論的域是構成傅里葉變換的兩個域，且稱為時域和頻域。

通過傅里葉變換，同一信號得以在不同域中以不同方式表示。傅里葉變換的一種理解，就是將時域的以時間為變數的信號，在頻域以頻率為變數表示。這裡的頻率指的是一簇正弦波（或說餘弦波）基的頻率，因為所考慮的時域的信號是由實數組成的，所以更基本的基 $e^{iomega}$ 不能單獨出現，而只能成對出現，即正餘弦。出現題目的性質，本質是因為構成傅里葉變換基的正弦波是有周期性的。既然用傅里葉變換把信號表示成了許多正弦波的疊加，那麼就有以下結論：

如果信號本身可以由若干正弦波疊加而成（即頻域離散），而每個正弦波又是周期性的，那麼信號也一定是有周期性的（周期不小於組成它的各個正弦波周期的最小公倍數），即時域有周期性。另外根據兩個域的對稱性反之亦然。結論：頻域離散對應時域周期。
反過來，如果時域中信號只在若干處有值（即時域離散），那麼在時域中信號總能表示為若干Dirac函數 $delta$ 之和。 $t=0$ 處的 $delta$ 函數的傅里葉變換是 $1$ ，根據移位特性，每一個偏移 $t=0$ 的 $delta$ 函數，其傅里葉變換都會附加一個相移 $e^{iDelta heta}$ ，而幅度恆為 $1$ 。相移的含義，是指所有疊加的正弦波都會發生相同的相位 $Delta heta=omega Delta t$ 的變化。這相位變化可以理解為僅僅是相位譜的移動，而因幅度譜不變，故僅用相位譜就能表示頻譜的變化。正弦波有周期性，移動 $2pi$ 相位後相位譜保持不變。把這若干次頻譜移動全部考慮進來，與1類似，總能找到一個有限大小的移動量（因為是時域離散， $delta$ 函數個數非無窮，距離量的最小公倍數存在），使得頻譜移動這個距離量後不變。而根據周期性的定義，這個距離量就是頻譜的周期。所以頻域有周期性。同樣根據兩個域的對稱性反之亦然。結論：時域離散對應頻域周期。

簡單總結：因為傅里葉變換的基函數就是周期函數，在時域中基函數是正餘弦有時間周期性，在頻域中基函數是 $e^{iomega}$ 有頻率周期性。無數個基函數沒有共同周期，有限個基函數才有共同周期。所以「離散」對應「周期」。

傅里葉變換有一個性質：在時域和頻域之一中進行卷積操作，對應於另一個域中的乘法；反之亦然。

在一個域中進行「採樣」的操作（也就是題主說的「離散」），相當於把原信號與一個無限長的衝激串相乘。那麼，在另一個域中，相應的效果就是與無限長衝激串的傅里葉變換（還是無限長衝激串）進行卷積，結果就是周期延拓，並且還會產生混疊（aliasing）現象。

類似地，在一個域中進行周期延拓，就相當於在另一個域中進行採樣。

原因就是

$e^{jwt}$ 這個函數，如果t取得是0,1,2，……非負整數的時候，她對於w就是周期的

因為一個周期信號只有在w為特殊點的時候和e-jw的乘積的積分才不為零，如果你有興趣可以根據傅立葉公式推出到底是哪些特殊點。反之亦然。