證明:對於任意無理數a，na-[na]，n∈Z在(0，1)是稠密的?

01-03

我真的很想說是顯然……

題主你能先說下我們用什麼結論吧，要是這題都從自然數定義開始證起略麻煩。

我給你個思路看下行不行？

思考下類似於一和a的輾轉相除過程

去證明

對任意a，存在 $n_{1}$ st $n_{1} a-[n_{1} a]有以上結論證出原題簡直顯然。分割線——————————輾轉相除兩初始正整數m,n，<img src=$ 分別賦值給變數 $a_{0} ,b_{0}$

此時 $a_{0}geq b_{0}$

重複1，2，3的循環直到某次的 $a_{1}$ =0，此時的 $b_{0}$ 則是m,n 的最大公約數

輾轉相除的推廣

基於有理數可以通分，通分後整個系列的操作都是在分子上操作。有以下推廣

兩初始正有理數m,n， $mgeq n$ 分別賦值給變數 $a_{0} ,b_{0}$

此時 $a_{0}geq b_{0}$

重複1，2，3的循環直到某次的 $a_{1}$ =0，此時的 $b_{0}$ 的分母是mn的通分後的分母，分子是則是m,n通分後分子的最大公約數。（這個描述並不是最簡形式）

輾轉相除的繼續推廣

這個推廣我覺得和第一次數學危機也就是根號二有關。

初始m和初始n的比值為無理數， $mgeq n$ 分別賦值給變數 $a_{0} ,b_{0}$

此時 $a_{0}geq b_{0}$

重複1，2，3的循環直到某次的 $a_{1}$ =0

有結論

在變數名 $a_{1}$ 中的任何數值都可以寫成xm+yn的形式，其中x,y都是整數，m,n是初始數。

取m=1,n為題目的a（或者反過來，總之看哪個大）

有結論對於任意 $varepsilon$ $exists x,yin Z$ st $x+yaleq varepsilon$

ya肯定在兩相鄰整數之間，而x則是離ya較近的整數,取個正負號，再乘上個倍數，就得原題的結論。

百度到一解答:

記{na}=na-[na]。

如果我們能證明S={na-[na]，for all nature number n}與區間[0，1/m]的交集非空（m是正整數），那麼S就一定與任意的[(k-1)/m，k/m]交集非空（只要把它乘以若干倍即可）。

進而，如果在上述證明中的m是任意的自然數，那麼我們就知道S可以任意小地逼近一個[0，1]之間的數（因為它與該數的差距不會大於1/m）。從而得到我們的結論。

所以，我們只需要證明對於任意m，S與區間[0，1/m]的交集非空即可。

不妨設a&>0。a顯然{a}，{2a}，……，{ma}是S中的m個不同的元素。記P={{a}，{2a}，……，{ma}}。

將[0，1]分割為m個區間：[0，1/m]，[1/m，2/m]，……，[(m-1)/m，1]。

如果[0，1/m]與P無交，則根據抽屜原理，[1/m，2/m]，……，[(m-1)/m，1]這m-1個區間中至少有一個落入了P中的至少兩個元素，不妨設它們是{sa}，{ta}。

那麼，顯然0因此，存在{|t-s|a}屬於S，使{|t-s|a}屬於[0，1/m]。

根據一開始的討論，我們知道S在[0，1]上稠密。證畢。

最本質就是抽屜原理