代數拓撲為什麼研究同調？

01-03

代數拓撲看到同調就看不下去了，基本群還直觀一點。剛開始還能理解動機（曲面分類？），到後面感覺在代數上走太遠太遠了，冗長而抽象，幾乎都快脫離拓撲空間了，各種chain homotopic chain maps……各種群對拓撲空間到底意味著什麼（只是孔或洞的區別？）？。所以懇請有經驗的專業人士能夠給給看法和理解或者指點，傳遞點正能量，最好也能說說後面比較漂亮的結論和定理，像Borsuk-Ulam之類的，讓累覺不愛的我有動力繼續看下去。PS：看的是Allen　Hatcher的Algebraic Topology。

在有很多很好很充分的回答之下仍然強答一發，補充一個更「大圖景」的觀點，雖不一定適合初學者但更符合問題本質。直接回答題主的問題：1) 同調代數不過是鏈復形範疇上的同倫論；2) 之所以它看似完全脫離拓撲空間，是因為它本不是拓撲空間範疇上的同倫論；3) 之所以它帶有拓撲空間的動機，是因為它脫胎於拓撲空間範疇上的同倫論。

======長文預警======

「為什麼研究XXXX」的問題通常很難回答，但這個問題偏偏可以看作特例，以「同倫論就該研究這個」的語氣回答。然而要合理化這個直覺，我們需要討論更基礎更難回答的「同倫論該/在研究啥」的這一個問題。以下的回答整理了去年一整個學年來跟導師上高級代數拓撲課、抱導師大腿「科研」的過程中的一些感想。考慮到題主和讀者可能已具有Hatcher級別的代數拓撲基礎，本回答自由使用範疇語言和範疇論觀點/思維模式，而不重基礎和直觀。行文風格偏口水啰嗦莫怪。

1) 代數拓撲/同倫論的研究對象

1.1) 對象間的等價關係

1.2) 同倫論研究的客體

2) 帶同倫屬性的範疇

2.1) 單純集合

2.2) 鏈復形的同倫屬性——對題主問題的正面回答

2.3) [巨坑待補]

======預警分割======

1）代數拓撲，尤其是同倫論，在研究什麼？我認為是在代數上找（什麼的？）同倫不變數。不僅要為單個（什麼？）對象找不變數，在「態射重於對象」的範疇論思潮里，我們希望這些不變數最好要有一些「自然性」，即要求這些不變數組成函子，因而呼應了@李國華同學的觀點。

然而需要指出，這種說法是籠統、不精確的，因為我們首先要回答括弧里的問題，即：我們要研究的是什麼範疇上面的函子？最樸素也最首要的回答當然是拓撲空間，但這個回答仍然不精確。實際上，括弧里的問題至少有兩個維度需要考慮。

1.1）對象間的等價關係是什麼？最樸素的回答是同胚，因此我們考慮的範疇是拓撲空間範疇。而刻畫同胚的不變數在點集拓撲已經經過了大量的研究，但這些不變數幾乎都不是代數的。與此同時，對拓撲空間的連續變換的觀察催生出同倫的概念，出於某種我不能完全理解的玄學動機（但我曾在知乎上討論過同倫的「玄學」，見同倫與同胚的區別是什麼？ - 塵銳案的回答），我們決定放寬不變數所需刻畫的等價關係，改為研究在同倫等價下不變的代數不變數。其中最常見的不變數是（上）同調、（高階）同倫群，不那麼常見的還有廣義（上）同調——如穩定同倫群、K理論、配邊理論(cobordism theory)，甚至包括Lurie的橢圓上同調等等。這樣我們考慮的範疇就變成了拓撲空間的同倫範疇。

然而事情到這裡還沒有結束：考慮康托爾集 $C$ 、帶 $mathbb{R}$ 中的子空間拓撲；在種種意義下、尤其是同倫論家關心的方面、 $C$ 都是離散的，其中包括沒有非平凡的（路徑）連通單元，因此也沒有任意非平凡的同倫群。但令人擔憂的是， $C$ 並不同倫於帶離散拓撲的康托爾集 $C_ extrm{disc}$

。對於這類怪異的空間，我們陷入了矛盾——既不能認為它們同倫，也沒有特別優雅的同倫不變數來區分它們。對此，其中一個折衷的解決方案是進一步放寬等價關係。例如，如果將在所有同倫群是都誘導同構的映射視為新的等價關係，即弱同倫等價。在同倫範疇中進一步強迫弱同倫等價成為同構——此過程稱為局部化，與環的局部化類比——就得出了拓撲空間的導範疇。我們經常研究的函子，實際上幾乎都是弱同倫不變數。

因此，總的來說，同倫論研究的是導範疇上的函子。

1.2）同倫論研究的客體是什麼？拓撲空間當然要研究，但研究拓撲空間上的同倫論的方法，實際上可以推廣開來用於研究很多形似拓撲空間、自帶同倫屬性範疇（如某種風味的homotopical category）。至於什麼是「同倫屬性」，我們仍需藉助拓撲空間範疇的直覺來思考和推廣。

讓我們重溫拓撲空間上的同倫論真正用到的formal data（形式數據？）。要定義（強）同倫的概念，最方便的方法之一是考慮區間 $I$ ：

定義。兩映射 $f,g:X o Y$ 同倫當且僅當它們各是高一維的映射 $h:X imes I o Y$ 的切片，即 $f(x)=h(x,0)$ 以及 $g(x)=h(x,1)$ 。

這個等價關係要滿足一些代數性質，例如將同倫的映射複合後仍然同倫等等。這樣我們就可以形式地商掉等價關係而取商範疇，得到的範疇就是同倫範疇。（題外話：與區間取乘積更一般的推廣是如Quillen的「柱對象」；與之對偶的是「路徑對象」，具體到拓撲空間中即映射空間 $X^I$ ，提供了映射間同倫的另一個刻畫方法。）

至於弱同倫等價，在許多具體例子往往具有多樣性。儘管在一些常見的例子（如拓撲空間，以及【劇透！】鏈復形）中是由某些同倫不變數之不可區分來作為標準，但公理化推廣時我們仍需保留一定的靈活性，最重要的考慮仍然是局部化構造導範疇的過程中顯然需要滿足的性質。主流的公理化策略是以Quillen的模型範疇方法為首，要求同倫範疇中的弱等價滿足：a) 弱等價的複合仍是弱等價，即組成子範疇；b) 包含所有同構，即包含所有同倫等價；以及 c) 「三取二」公理： $f, g, gcirc f$ 之中若有兩個弱等價，則第三個也是（類比於對環局部化時， $a,b,ab$ 三者中若有兩個可逆，第三個也必然可逆）。

在小範疇中，即所有態射的搜集確實是一個集合的範疇，對於弱等價進行局部化的操作可以大體類比於環的局部化，即強行加入弱等價的「形式逆態射」。不幸的是，小範疇這個條件太過於苛刻，以至於最基本的拓撲空間（同倫）範疇都不滿足。因此，構造導範疇需要一些特殊的技術：

Whitehead--Cartan--Eilenberg定理（大致陳述）。假設範疇 $mathcal{C}$ 中存在子範疇 $mathcal{D}$ ，滿足：1) 弱等價逼近： $mathcal{C}$ 中任意對象都弱等價於 $mathcal{D}$ 中的某個對象；2) 吸收弱等價： $mathcal{D}$ 中弱等價的對象都同構（同倫等價）。那麼 $mathcal{C}$ 的導範疇（對弱等價作局部化而得）等價於 $mathcal{D}$ 。

我個人喜歡稱這個子範疇為「魔法子範疇」(magic subcategory，語出導師課上隨口的一句評論)；具體在拓撲空間範疇中，滿足這個條件的子範疇 $mathcal{D}$ 就是Hatcher等代拓入門課本都會提到的CW復形；根據Milnor定理，任意（良好的；此處隱去技術細節）拓撲空間都弱同倫等價於一個CW復形，而Whitehead定理則說明CW復形之間的弱同倫等價均為同倫等價。因此，要研究拓撲空間的導範疇，我們實際上只需把注意力放在CW復形的同倫範疇上。

總結一下，滿足以下條件的範疇均可研究同倫論：存在「區間對象」並可以此定義同倫及取商範疇、存在滿足一定公理的弱等價（子範疇）、存在「魔法子範疇」。（當然，同倫論還可以在更為一般的範疇中進行。

2）「形似拓撲空間的、自帶同倫屬性」的範疇還有哪些？最常見的是單純集合及其變種（稱為單純對象，如單純阿貝爾群、單純交換環等；見Peter May - Simplicial Objects in Algebraic Topology）、 $R$ 模的鏈復形，較不常見但重要的是May spectra（May譜？沒譜？），十分重要的是層和預層——不僅是阿貝爾層(abelian sheaves)或 $R$ 鏈復形層，還有如單純層(simplicial sheaves)（層的section是單純集合）、sheaves of May spectra，以及我最近抱導師大腿的sheaves of combinatorial spectra（小廣告莫介意）。

2.1）單純集合。讓我再把本回答的重點、大家最關心鏈復形再往後拖一拖，而先講單純集合作為例子。畢竟我覺得最接近於拓撲空間、可操控性最強的、帶同倫屬性的範疇莫過於單純集合了。原因不外乎是一對Quillen伴隨函子，在我早前的回答里提到過：單純同調與奇異同調的區別？感性和理性的都行 - 塵銳案的回答。通過奇異集合(singular set)函子，我們從空間 $X$ 得到單純集合 $operatorname{Sing}(X)$ ，而通過幾何實現(geometric realization)函子，我們從單純集合 $S$ 得到空間 $|S|$ 。這兩個函子組成伴隨。此外，這對伴隨的單位 $Z ooperatorname{Sing}|Z|$ 和上單位 $|operatorname{Sing}(X)| o X$ 在各自導範疇里都是弱同倫等價。這樣的伴隨對我們稱之為Quillen等價。簡略地說，存在Quillen等價說明兩個範疇上的兩套同倫論是一樣的。

需要指出，以上概述隱含了一個小小的謊言。首先單純集合確實帶有「區間對象」，即單純集合 $Delta^1$ ，這點無可非議。並且，單純映射的同倫關係可以樸素地定義

定義。兩單純映射 $f,g:S o T$ 同倫當且僅當存在單純映射 $h:S imesDelta^1 o T$ ，使得 $hcirc(id imes d_0)=f$ 和 $hcirc(id imes d_1)=g$ ，其中 $d_i:Delta^0=* oDelta^1$ 表示把單點映到 $Delta^1$ 的第 $i$ 個端點。

換句話說， $h$ 在單純區間的兩端點上的切片給出了 $f$ 和 $g$ 。在這個意義上，拓撲空間和單純集合兩個範疇之內的（強）同倫論一致並不是行騙，而是確鑿的重要結論。

此外，單純集合也存在一類「魔法子範疇」，我們稱之為Kan復形。

然而需要解釋的是，單純集合不具有（或只是我不知道？）天然的弱同倫等價。針對Kan復形我們可以定義（個人認為）ad hoc的同倫群，並仿照拓撲空間的情況強行定義弱同倫等價。但對於一般的單純集合 $Z$ ，我們需要首先聲稱伴隨的單位映射 $Z ooperatorname{Sing}|Z|$ 是弱同倫等價；由於後者是Kan復形，我們定義前者的同倫群為後者的ad hoc同倫群。可以證明（見如Goerss Jardine - Simplicial Homotopy Theory）這樣定義出來的同倫群其實同構於 $pi_n|Z|$ 。因此，我們倒不如從一開始就定義 $f:S o T$ 是弱等價當且僅當 $|f|:|S| o|T|$ 是拓撲空間中的弱同倫等價。這樣如果能夠證明上單位 $|operatorname{Sing}(X)| o X$ 在拓撲空間中是弱同倫等價，那麼就能直接得出 $Z ooperatorname{Sing}|Z|$ 是弱等價。換句話說，其實我們只是把拓撲空間的弱等價結構「照搬」到了單純集合上而已。但是，我認為單單要求上單位是弱等價已經不是顯然的結論，而這個結論成立本身就說明了單純集合確實是一套比較好的拓撲空間的（組合？）模型。

2.2）鏈復形範疇的同倫直覺。對於任意交換環 $R$ ， $R$ 模的鏈復形範疇天然帶有同倫屬性。在我看來，鏈復形的同倫屬性實質上是來自於單純集合（或其初階版本單純復形）。

歷史上，人們首先研究拓撲空間的同調時，最初只研究單純復形這種對拓撲空間的「剛硬」的組合近似，而這類空間上有著特別豐富、特別幾何化的（上）同調理論。其它答主已經把這一部分直覺解釋的比較詳細了（最典型的描述當然是「數洞」），在此不再贅述。之後，如Hatcher裡面也提到了至少三四個單純復形的變種，一個比一個「柔軟」，而且每一套變種上都可以類似地定義（ $R$ 係數）（上）同調。在逐漸軟化的過程中，它們先包含了例如流形等可三角剖分空間；而後到了可以包含了CW復形時，對於同倫論的目的（在導範疇上計算）就已經足夠了，由此得到的是cellular（胞腔？）（上）同調；當然到最後最軟的版本就是單純集合，而對於一個空間 $X$ ，藉助單純集合 $operatorname{Sing}(X)$ 的模型，取後者的同調為 $X$ 本身的同倫不變數，就得到了所謂的奇異（上）同調。在這套觀點看來，這不過是（2.1）之中「借弱等價關係」的反其道而行之：只要證明了這些（上）同調理論保持單純集合的（弱）同倫等價，它們自然就會是拓撲空間的（弱）同倫不變數。

類比地， $R$ 模的鏈復形範疇上的同倫屬性可以從單純集合上「借過來」。哪個鏈復形可以充當範疇中的「區間對象」？不妨取 $Delta^1$ 的單純鏈復形(simplicial chain complex)吧！Moore (?)定理指出，在某種等價的意義下（即後面才出現的同倫等價/擬同構；此處避免循環邏輯）我們可以只取單純集合的非退化單純形： $Delta^1$ 有2個零維非退化單純形，1個一維非退化單純形，因此能夠充當「區間」的鏈復形可以取為

$I=cdots o 0 o R o R^2 o 0 o cdots$

其中唯一一個非零映射是(-1,1)，對應於兩個端點在線段里的「定向」是相反的。

那麼哪個鏈復形可以充當「單點對象」，用以包含到「區間鏈復形」里作為區間的兩端呢？不妨取 $Delta^0$ 的單純鏈復形吧！同理這樣的鏈復形是

$*=cdots o 0 o 0 o R o 0 o cdots$

其中到「區間鏈復形」的兩包含映射 $d_0,d_1$ 分別把下面的 $R$ 是射到上面同位置的兩份 $R$ 的兩個同構。

那麼鏈復形里哪個運算可以充當乘積使得可以藉助以上的「區間鏈復形」來定義同倫呢？記這個運算為 $oxtimes$ 、記單純集合 $S$ 的單純鏈復形為 $C(S)$ ，那麼我們需要 $oxtimes$ 滿足 $C(S imes T)cong C(S)oxtimes C(T)$ 。經典的同調論結論說明，取 $oxtimes$ 為張量積 $otimes$ 可以達到這個效果。甚至我們可以細究雙重鏈復形的totalization（全局化？），實際上就是取 $S imes T$ 的 $n$ 維單純形為 $S$ 中的 $k$ 維單純形直積 $T$ 中的 $(n-k)$ 維單純形（對應於鏈復形里，逐個取張量積）的搜集（對應於鏈復形里，取對角斜線上元素的直和）。而那些乍看奇奇怪怪、只為了滿足鏈復形公理 $d^2=0$ 的正負號，其實逐個對應於這些單純形在乘積里的定向到底有否「翻轉」。作為防呆，我們可以手動檢查這個新「乘積」至少和以上的「單點鏈復形」兼容：對於任意鏈復形 $C$ ，我們有鏈同構 $Ccong Cotimes*$ ，正如在空間或單純集合中，對象與單點的直積為自己本身。因此我們相信它和區間鏈復形也兼容。

最後，給定了以上數據，鏈復形的同倫到底是什麼呢？這是我們第三次做這件事了，應該已經駕輕就熟了：

定義。鏈映射(chain map) $f,g:C o D$ 鏈同倫(chain homotopic)當且僅當存在鏈映射 $h:Cotimes I o D$ 使得 $hcirc(idotimes d_0)=f$ 和 $hcirc(idotimes d_1)=g$ 。

（不妨參照代數和範疇論裡面的homotopy和拓撲中的homotopy是一回事嗎？ - 知乎用戶的回答，甚至附有Exercise！雖然沒有認真typeset，但是應該無妨閱讀）。希望你能體會到之前缺乏直覺的chain homotopy，其實不過是照搬單純集合的同倫屬性，然後按照以上數據套入得來。說到這裡，我必須吐槽眾多經典教材里對chain homotopy的描述，其實完全隱藏了鏈復形範疇的同倫屬性的來源——這些描述中的chain homotopy居然連chain map都不是，對於理解來說就有些過分了。

除了鏈同倫之外，還有很多本質上很拓撲的構造被照搬到了鏈復形範疇上來——哪怕過程與鏈同倫相似，照搬的過程被隱去了，只留下了多少有些反直覺的生澀的代數定義。我印象最深刻的例子是映射錐(mapping cone)；如果我們願意很仔細地做setup和bookkeeping，我們有理由相信鏈映射 $f:C o D$ 的映射錐就是在 $Cotimes I$ 中把一端「商成單點」、另一端「按照 $f$ 與 $D$ 粘合」。更為重要的是，它理應和空間中的映射錐一樣，（鏈）同倫等價於商對象 $D/f(C)$ ；這裡就留作習題了。

故事還沒有完結：我們還需要描述弱等價和所謂「魔法子範疇」。由於在鏈復形中沒有很好的同倫群的類比，我們用（上）同調群取代同倫群，並聲稱在所有（上）同調中誘導出同構的鏈映射為弱等價，通常稱為擬同構(quasi-isomorphism)，並對它們進行局部化以構造導範疇。細心的讀者會發現之前陳述的定理以Cartan--Eilenberg命名，原因正是因為導範疇在他們的里程碑著作Homological Algebra里正式誕生，而且他們對導範疇的構造正是我們以上的理論的特例，用到的射影消解(projective resolution)和單射消解(injective resolution)正是兩個「魔法子範疇」。特別地，他們證明了對於 $R$ 模的鏈復形，這兩子範疇滿足「弱等價逼近」，即兩種消解均存在，以及「吸收弱等價」，即射影復形(projective complex)和單射復形(injective complex)之間的擬同構均為鏈同倫。

說了那麼多例子之後，希望你也能自己回答自己的另一個問題：鏈映射的同倫直覺是什麼？它是照搬了哪個單純集合/拓撲空間的概念而來？何以見得？

最後用一句話總結這個小節，其實就回到了本回答最初的中心句：同調代數就是鏈復形上的同倫論。

2.3）鏈復形範疇，續(…?)。回答完題主的問題，讓我稍稍展開吹一吹鏈復形範疇的其它方面、尤其是玄學方面。

用同調代數來分析拓撲空間本身就是代數拓撲的標準工具，例如我完全不能理解的譜序列等計算工具，可以看作是同倫論推廣到其它範疇後對拓撲空間同倫論的反哺。而同調代數發展之盛，甚至已經可以看作成為一門單獨的代數學分支，並且在代數幾何等其它數學分支中有廣泛應用；我個人則樂意將此看作是遠遠早於Lurie之前(with all due respect!)的用同倫論方法研究代數幾何（infusing homotopical methods into algebraic geometry；語出維基等對Lurie的評價）了。

另外，啟發於拓撲空間和單純集合的範疇之間存在Quillen等價，我們關心：是否存在另一個帶同倫屬性的範疇與鏈復形範疇Quillen等價？答案是肯定的，即著名的Dold--Kan correspondence，聯繫了非負分級(non-negatively graded)的阿貝爾群鏈復形與單純阿貝爾群兩個範疇。直覺上，這首先說明鏈復形上的同倫論不同於拓撲空間上的同倫論，因為單純阿貝爾群只是單純集合的子範疇。另一方面，這也反過來印證了「同調是可交換版本的同倫」這種直覺。

最後，鑒於鏈復形（同倫/導）範疇具有眾多優異性質（如其導範疇雖不是阿貝爾範疇卻是三角範疇(triangulated category)等），而且同調代數理論高度成熟、工具高度發達，我們甚至反過來希望同調代數在更高的層面上反哺拓撲空間的同倫論，即能否考慮「拓撲空間上的同調代數理論」？注意，區別於常規的拓撲空間的（上）同調理論，我們希望擁有的是由空間組成的「鏈復形」。神奇的是，答案（大體上）是肯定的，由May譜等構造各不完全相同、但導範疇等價的眾多譜理論給出。更驚人的結論是，由放寬了維度限制的Eilenberg--Steenrod公理形式化定義的廣義（上）同調理論完全由May譜刻畫：常規（上）同調是由Eilenberg--MacLane譜給出的、穩定同倫群是由球譜(sphere spectrum)給出的、而K理論則是由K理論譜給出的。

【題外話、給好奇的讀者的Bonus：單純集合上有沒有類比的譜？有，而且至少有兩套系統，其中由Kan構造、Ken Brown發展到層上的combinatorial spectra正是其中我認為更有競爭力的一套。並且，哪怕在它們的層的級別，我們也已經成功構造出「魔法子範疇」並證明了Whitehead--Cartan--Eilenberg定理了。我們相信這套系統有更深層的理論價值，目前的計劃就是希望利用它來推廣層上同調，包括廣義交叉（上）同調(intersection (co)homology。】

留坑於此，日後有機會等學識淵博時定會繼續補充。

基本群的直觀的意義就是探測1維的洞， $pi_1(M)$ 等價於有多少種從 $S^1$ 到 $M$ 的連續映射（模去同倫類），同理高維基本群的意義就是探測n維的洞，亦即 $S^n$ 到 $M$ 的連續映射模去同倫類。至於同調群，其實也是探測n維的洞，但是關於「洞」的理解有不一樣。首先考慮一個n維球面，它的n維同倫群和同調群都是 $mathbb{Z}$ ，表面在同倫和同調意義上都具有一個洞，這在幾何直觀下還是比較好理解的。要直觀的感受同倫和同調群的區別除了1維時的交換性之外還可以考慮一下兩個例子。

1，考慮一個環面 $S^1 imes S^1$ ，它的2階同論群為零，但2階同調群確為 $mathbb{Z}$ ，想像一個麵包圈的表面，其中空部分確實有個2維的洞，但這個洞的形狀不是如2維球面狀的，而是環狀的。所以你說這個圖形有沒有2維的洞，取決於你怎麼定義洞這個概念，也就是取決於選擇同倫群還是同調群。

2，考慮2維球面，這是個2維的圖形，直觀想像應該沒有3維的洞，所以其三維同調群為零，與直觀符合。但是Hopf fibration告訴我們存在非平凡的連續映射 $S^3 ightarrow S^2$ ,也就是說在同倫意義下其存在一個3維的洞！只不過我們很難「看」到。

至於如何從同調群的定義中看出其也是探測洞的本質，只需多算一個例子，比如 $S^n, , mathbb{C}mathrm{P}^n,, mathbb{R}mathrm{P}^n$ ,將其進行三角拆分或CW拆分，具體算一下，就好理解了。

更常用的是上同調，其直觀意義更難理解，可以參考De Rham上同調，從分析的角度把握。

假如你看Spanier的話其實就很清楚，代數拓撲的核心思想就是找functor，從拓撲空間的範疇到代數的範疇（群範疇，交換群的範疇，環範疇，...）道理也很簡單，拓撲空間研究起來沒有直接的工具，但是代數的工具卻很多。這可能是對你第一個問題的回答。

對於我而言，第一個讓我感到驚訝的定理是Mayer-Vietoris序列。簡單地說就是 $A ightarrow B$ 是單射，那麼 $H_n(A) ightarrow H_n(B)$ 未必是單射，映射的核隱藏在 $H_{n-1}(B/A)$ 裡面。

/*這就暗示著同調可以有類似於Derived functor的結構。我曾經花很長的時間思考這個問題，但具體的構造可能要在sheaf cohomology裡面找答案*/

所有同調的核心就是作差，不是什麼函子範疇這些abstract nonsense(雖然再其他意義上理解很有用)。同調就是將局部差別紀錄下來，既得到一些結構的障礙也得到整體不變數。最為踏實的數學觀念。要知道，給一般的一個拓撲空間，研究手段是極為有限的。線性逼近是普通人唯一的想法，因此自然想法是用單形去逼近，然後把局部差別紀錄下來。而且，單形有一種由歐拉偶然發現的不變數! 早期Poincaré的同調論把這些差用一大堆線性方程寫下來，後來才發展到打包成群結構。那些方程實際就是有限生成阿貝爾群的自由分解的"關係"。至於每個同調群的拓撲意義，可以去看用單形算出來的東西，或者算sphere和torus這樣的例子。沒有所謂嚴格寫下來的直觀性。畢竟拓撲空間本身就是抽象，我們可以抽取出一些貝蒂數就已經很好了。那些冗長的代數就是我們的直觀! 在各個更具體的領域，這些量會得到相應更具體的描述，因此再反映出同調論的威力。

也許這些簡單的事情題主都清楚，那麼題主感到迷惑的原因可能就是沒有好好去操作書中的數學對象，只是一下午看了一大堆，感覺頭昏腦漲，尤其是hatcher的書寫得密密麻麻，東扯西扯的。不去做數學，怎麼學數學？不一定要做習題，可以假想自己去做個lecture，要講相應的內容。能把看到的構造再現出來嗎？這也是做數學。

我來補充幾點認識。

第一，同調論的由來。題主的前幾句說得很準確，基本群動機直觀，同調論在代數上準備得比較多。歷史確實是這樣。基本群在Poincare時代就出現了，但即使要區分閉曲面，最簡單也必須藉助交換化，因為群的分類很難研究。基本群交換化後就是第一個同調群，首先被注意到的是Betti數，其次是（用現在的語言）邊緣運算元在單純鏈群上的矩陣的初等因子，其實就是同調群的撓元素部分。這些數值不變數也容易推廣到高維單純復形。最先意識到諸維數同調作為不變數其實應該看作阿貝爾群而不是其表現矩陣的一堆數值不變數的人是Noether（就是諾特環的那個Emmy Noether）。後來才有了同調代數研究同調論的系統的理論。以上就是今天看到的代數拓撲的一支來源。上同調也來自黎曼曲面等方向的研究；高維同倫群建立得早，但早期研究主要包括今天一些初等理論的雛形。

第二，同調類是什麼。這裡說一種看法，歷史來源待詳考。如其它一些答案詳細解釋的，（域係數）同調論就是用線性空間的維數去數「洞」。Poincare時代的拓撲學大致就是指研究（今天稱的）組合流形的拓撲非平凡性，所以同調類在想像中大致是嵌入閉子流形的協邊類。換句話說，同調論從動機講想考慮的代數對象是所有定向閉子流形生成的自由阿貝爾群模去高一維定向帶邊子流形邊界生成的子群得到的商。這個看法從cycle和boundary兩個詞里猶見端倪。當然同調類的這個認識在今天看是不準確的，今天還有很多研究關心同調類何時能實現為嵌入或浸入的、光滑或組合或拓撲的子流形。但這個看法提供了一種樸素的直觀，而且這種直觀在三維以下光滑嵌入意義上是對的。

關於學習，初學建議藉助直觀理解概念和結果，但打算長期學習的話，建議通過同調論部分去適應那種用代數工具討論的方式，暫時忘記一些膚淺直觀。

我個人理解同調也是有很好的直觀的意義的，只是很多作者為了強調代數的可計算性，有意或者無意的不去提同調的直觀。直觀上，你可以理解同調就是去探測高維的洞。探測的方式是用高維的「三角形的」的布。

舉個例子探測二維的洞（一個平面的圓周）用一個二維的三角形，二維的三角形裡面可以含有一個圓。這時候對這個二維三角形求邊緣之後的結果必然是0.也就是說屬於閉鏈群。但是由於中間有洞這個二維三角形不會是一個2維單純形的邊，所以不屬於邊緣鏈群。所以邊緣鏈群和閉鏈群會有差別。這個差別就是反應洞的數量的。

同理三維的洞就是一個空心球，這個空心球可以放到一個空心四面體的內部，對空心四面體求邊緣，結果是0。但是由於是空心的，不能是一個三維單純形的邊。所以這裡的邊緣鏈群和閉鏈群也會有差別。

總之，直觀上，同調群就是去算高維的洞。

既然有 @塵銳案的大作在前,我也沒啥必要反對啦.
同調比同倫好計算並不是一個完全正確的答案。事實上有的空間同倫群比同調群簡單得多。

關於係數的意義，你可以自己check一下RP^n的同調。有趣的東西在於，Z/2係數下它的同調（上同調）結構非常簡單，並且0～n維同調群均不為0，但是在Z係數下它的偶數維同調為0（基本上是）.基本上就是李國華答案的第一段。代數拓撲的這些工具，如同調群同倫群，都是探測空間的不變數，換句話說是：我知道兩個空間滿足某種等價關係則它們的某個不變數是一樣的，比如同倫等價的空間有相同的同調群。於是兩個空間有不一樣的同調群則它們一定不同倫等價。

對於狄拉克運算元的答案也不是很滿意。這個說法太容易誤導了。雖然本質上是對的。

另： Hatcher需要有老師帶著看。建議你先從《從微積分到上同調》看起。

我覺得初學的時候不要太陷入到代數裡面，畢竟它是拓撲，簡單的理解的話確實就是在「數洞」。形而上的，「拓撲學是研究空間連續變化下不變數的學科」。同調也只是各種不變數之一。我覺得初學強調 category theory 並不是一個好的途徑。

不嚴格地，它描述的東西是「閉的但不是邊界的鏈」——這樣的「鏈」就圍成了「洞」。如果你願意花費時間的話，我建議可以先學習並計算一些單純同調，這其實也用不了很多時間。然後就會稍稍有些感覺。單純同調的東西是可以看得到的。只有算例子才能培養直觀。

第一個令人興奮的定理應該是類似 van Kampen theorem 的 Mayer–Vietoris sequence 了。然後你還會證明一些經典定理比如 Jordan curve theorem，Brouwer fixed-point theorem 等東西。

代數拓撲的主要特點是藉助各類拓撲不變數研究拓撲空間。基本群，同調，上同調還有高維的homotopy group都是例子。那麼為什麼引入同調？歷史上的源流我從來沒有研究過，但明顯基本群肯定是不夠的，因為它只處理低維的東西。有多低？事實上Hatcher 上邊有道習題告訴你如果你給一個CW-complex加3維以上的cell那麼基本群是不變的。（當然，直覺上講這很顯然）

至於同調的幾何意義，我基本沒有考慮過。hatcher上邊有一點點的討論，關於simplicial homology的幾何意義，但事實上並沒有卵用。因為在實際的應用過程或者證明其他的結論當中你的思維不會從幾何意義出發，而是直接從具體的構造，已有的結論等出發。把書上的各類構造搞明白，證明搞清楚足矣。

整個的代數拓撲必須要學過上同調和homotopy group才開始精彩。單單有homology 和基本群是很乏味的事情。但一旦引入了上同調事情就會變得五彩繽紛。Closed manifold 是否是orientable的可以靠top homology來判斷，而這個東西一般很好算。也就是說通過homology你獲得了一種快捷地判斷是否可定向的方法。把U.C.T和龐加萊對偶結合你可以很快得出奇數維流形的歐拉示性類都是0.這裡對於不可定向的流形可以通過把係數改成$Z_2$來證明（係數為什麼有用的一個例子）。通過這個結論你可以迅速證明3維不可定向的流形的基本群不可能是有限的。

這些都是代數拓撲看似抽象的理論給出的漂亮的應用。所以有的時候不要想太多，紮實地把書上的細節都搞懂是王道，然後往後走，自然可以體悟更多。

拓撲水平不夠，不便隨便答，勉強寫點看法。

平常接觸的圖形比較直觀，但某些抽象出來的複雜圖形用直觀難以把握，高維圖形本身也沒有直觀可以借鑒。

那麼要用一些工具，群是一種選擇。

我們用同倫群或同調群或別的什麼來刻畫拓撲空間，對於同胚/同痕/……的拓撲空間應該得到同樣的群，那麼就可以由這個代數上明確的對象來得到一些分類。

同倫的基礎是連續變形，但不好計算。同調相比之下更好處理一點。

There is a quite related post at here:

cohomology - What is (co)homology, and how does a beginner gain intuition about it?

The answer given by Reid Barton is really nice.

同調群包含的信息雖然比原有的復形要少, 但你可以更方便地把玩它。而且在同調的語言下很多結果都是如此簡潔, 什麼Betti number, Euler class啦。