結構力學中線彈性體系下桿件的內力由什麼引起？

01-03

確定任意段的軸向切向位移與兩端轉角時是否能確定內力圖？

經典梁理論即歐拉伯努利梁理論是這樣描述一根梁的,

$frac{partial^{2}}{partial x^2} (EIfrac{partial^{2}u}{partial x^2})=p(x)$

而其中彎矩會等於

$M=-EI(frac{partial ^2u}{partial x^2} )$

求解上面的微分方程得到通解，再代入你的任意點（ $x=x_0$ )的位移條件，就可以解出這個方程。從而得到內力圖。

值得注意的是，對於一個點能夠提供的邊界條件為 $u,u^{$ ,而上面這個微分方程是4階微分方程，所以需要有4個邊界條件，故需要提供梁中任意位置，兩個點的變形信息，才可以得到微分方程的特解。

如果「任意段」指的是某段桿件的話，已知桿件兩端的位移和轉角，還要再加上桿件跨中荷載引起的桿端固端彎矩 FEM (fix end moment)，運用 Slope Deflection Method（傾角變位法），才能確定桿端彎矩和桿端剪力。繼而根據桿件兩端點之間的跨中荷載情況，再結合桿端彎矩和桿端剪力，才能確定整個桿件的彎矩圖和內力圖。

這是 Dynamics of Structures 一書的 Figure A 1.1，已知桿端位移和桿端轉角，則

$M_{a} =frac{4EI}{L} heta_{a} +frac{2EI}{L} heta_{b}+frac{6EI}{L^2}u_{a} -frac{6EI}{L^2}u_{b}$

$M_{b} =frac{2EI}{L} heta_{a} +frac{4EI}{L} heta_{b}+frac{6EI}{L^2}u_{a} -frac{6EI}{L^2}u_{b}$

$V_{a} =frac{6EI}{L^2} heta_{a} +frac{6EI}{L^2} heta_{b}+frac{12EI}{L^3}u_{a} -frac{12EI}{L^3}u_{b}$

$V_{b} =-frac{6EI}{L^2} heta_{a} -frac{6EI}{L^2} heta_{b}-frac{12EI}{L^3}u_{a} +frac{12EI}{L^3}u_{b}$

實際的桿端彎矩為

$M_{ab} =M_{a}+FEM_{ab}$

$M_{ba} =M_{b}+FEM_{ba}$

FEM 需要根據桿件的各種不同的跨中荷載情況來計算確定：

如果全跨滿布均布線荷載 w，則 $FEM_{ab}=-frac{wL^2}{12}$
如果跨中一個集中力 P，則 $FEM_{ab}=-frac{PL}{8}$
……

舉個例子，一個懸臂樑，a 端為固定段，b 端為自由端，長度為 L，承受均布荷載 w。

a 端固定端，轉角、位移均為0；b 端自由端，轉角為 $frac{wL^3}{6EI}$ ，位移為 $frac{wL^4}{8EI}$ 。

$M_{a} =frac{4EI}{L} heta_{a} +frac{2EI}{L} heta_{b}-frac{6EI}{L^2}Delta +FEM_{ab} =0+frac{2EI}{L}left( frac{wL^3}{6EI} ight) -frac{6EI}{L^2}left( frac{wL^4}{8EI} ight)-frac{wL^2}{12} =-frac{wL^2}{2}$

$M_{b} =frac{2EI}{L} heta_{a} +frac{4EI}{L} heta_{b}-frac{6EI}{L^2}Delta +FEM_{ba} =0+frac{4EI}{L}left( frac{wL^3}{6EI} ight) -frac{6EI}{L^2}left( frac{wL^4}{8EI} ight)+frac{wL^2}{12} =0$