能否不用專業術語，以生活中的例子解釋混沌理論及三種性質？（具體見問題說明）

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混沌理論（Chaos theory）是關於非線性系統在一定參數條件下展現分岔（bifurcation）、周期運動與非周期運動相互糾纏，以至於通向某種非周期有序運動的理論。在耗散系統和保守系統中，混沌運動有不同表現，前者有吸引子，後者無（也稱含混吸引子）。
混沌理論解釋了決定系統可能產生隨機結果。理論的最大的貢獻是用簡單的模型獲得明確的非周期結果
混沌系統有三種性質：
1.受初始狀態影響的敏感性，初始條件非常微小的變動也可以導致最終狀態的巨大差別。
2.具有拓撲混合性；不嚴格地來說，就是系統會將初始空間的拓撲性質徹底打亂，使得任何初始狀態變換到其他任何位置。

3.周期軌道稠密，即在任何初始值附近都可以找到具有周期軌道的值。

最有名的混沌系統是洛倫茲系統，可惜那是個三維的常微分方程組。

其實最簡單的混沌是一維映射裡面的Logistic映射，最初就是生態學研究的「蟲口」模型，

就是假設每年和下一年昆蟲數量滿足下面固定的關係式，

下面你可以從這個系統，改變參數u的值，再經過很多次迭代，畫出一個分岔圖。

注意，這個圖中的每個點，都是迭代很多次得到的穩定點（當進入混沌後，就是一個區域而看起來不像是一個點），也就是縱軸u這個參數決定的。

這個實驗很容易做，看懂這個圖也許有助於你理解你那三個問題，以及更複雜的混沌問題。

對於混沌系統，上面的一維映射的性質與多維的有很多共性，目前經常和分形理論結合在一起進行研究。

用混沌分析股市時，因為股價的影響因素很多，不可能找到所有變數，也沒有必要。沒有解析關係式時，一般都是採用數據實證的方法，即上述過程的反過程，結合分形和混沌時間序列分析，提取一些非線性特徵，找到股價的分岔點，進行預測。這方面幾句話說不清楚，有一些演算法，比如MF-DFA，可以看一下一些專業文獻。

混沌分析對股市來說屬於技術分析，但實際上影響因素是變化的（比如政策、內部調整等），混沌本身的性質決定了只能是短期預測，很多時候預測不會很准，要結合基本面分析。

混沌至今在數學上並沒有一個真正被所有數學家接受的定義. chaos這個詞的使用情況跟它自己一樣混亂, 而這個詞進入數學及其他科學和非科學的領域並廣為人知一方面由於與人們日常認識的反差, 另一方面很大程度上也是概念炒作的結果(科學家的水平往往不與名氣成正比, 把一個概念炒火了就可能意味著更多的名利或者藉此灌水發論文).

數學家對混沌這一概念普遍的理解主要是指系統的複雜性(對未來的不可預測性)較高. 至於複雜性如何判定或描述則眾說紛紜. 題目所說的三種性質是數學家Devaney對混沌的定義, 也稱為Devaney混沌. 題目中雖然沒有給出嚴格的數學定義, 但就基本想法來說抓住了要領.注意的是這個定義的純數學版本是完全拓撲的, 確實不夠直觀. 三個性質中後兩條又能退出第一條. 而混沌的關鍵就在於第一條. 第二條其實只是保證了系統的獨立性, 意味著系統是一個整體而不可分割. 就好像月亮繞著地球轉不能拆開, 而如果考慮整個太陽系, 土星的衛星們跟著土星轉, 就跟地球月亮沒什麼關係了, 那麼太陽系就可以分成很多子系統. 當然每個子系統是可以滿足第二條的, 也就可以是"Deveney混沌"的. 再注意第二條不叫拓撲混合, 叫拓撲傳遞. 條件比拓撲混合要弱.

在滿足第二條的情況下, 第一條和第三條其實都是在說系統的複雜性. 本質的第三條, 其實就是人們常說的"蝴蝶效應". 蝴蝶效應的本質不是小變化大幅度改變未來的結果, 而是微小誤差經過系統演變不斷放大導致未來系統長時間的演變方式難以預測. 比如超過7天的天氣預報必然不準, 因為即便模型百分百精確, 測量和計算的精度也有限. 真正的混沌指的就是在系統確定的情況下(即對應一個初值只有一種未來的可能性)由於初值的微小差別而導致的系統未來的"貌似"隨機現象. 舉個栗子, 比如從圓周率π開始, 每秒鐘把整數部分去掉, 然後再乘以10, 也就是所有數字前進一位.這是個完全確定的過程, π也是個確定的數. 但即便你能背下1000位, 這個數在20分鐘後會變成什麼, 對你來說也是完全未知的.

最後說周期軌道. 在自然生活中很多我們總結的所謂規律, 都是周期現象.

複雜系統的變化, 如果有規律, 基本都是周期的變化, 而且是穩定的周期現象, 也就是不管初值如何, 最終都會呈現出來的周期現象. 就好像鐘擺, 又比如宇宙最初地球可能不繞著太陽轉, 後來跑到太陽身邊周期性的運動.而一個系統可能有不同的周期, 即不同周期的周期軌道. 比如地球繞太陽轉一圈的時間和月亮繞地球轉一圈的時間就不一樣.又如(剛體)鐘擺, 可以在低端附件搖擺, 也可能立在頂端不動(不動也是周期), 但頂端不動是不穩定的, 稍稍偏一點就掉下來了, 所以通常觀察不到. 通常我們只能觀察到穩定的周期現象. 但是當周期軌道稠密的時候, 往往就沒有穩定的周期軌道了, 系統可能呈現出各種擬周期(即"貌似"而非真正的周期), 而通常擬周期都不會長久, 總體上看就是貌似隨機的運動了.

最後補充, 現在我所在動力系統領域數學家們對混沌的定義比較普遍的意見是由熵來刻畫的, 大概就是說初值的小變化在未來平均被放大的倍數. 取對數之後一般是非負的, 一般人是正的熵就意味著混沌了. 熵的好處在於可以描述系統的複雜程度即"混沌的程度", 即比較不同的系統哪個"更混沌".

作者：許鐵-巡洋艦科技

鏈接：知乎專欄

來源：知乎

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Bifurcation 與相變

我們用Bifurcation研究一個動力學系統的演變。動力學系統由狀態變數（系統可以自由變化的量）和控制變數（參數）組成。在初步討論一個動力學系統性質的時候，我們先假設參數不變，因此可以得到系統動力學在相平面的拓撲圖，然後求定點和軌道。在二維的情況下，參數給定，動力學流型得出，則一切皆可精確預測。

真實的世界裡從來沒有一程不變的參數，真正不變的只有變化，而有的時候參數和變數甚至難以區分彼此。 因此，非線性動力學給出的對世界的最精密的描述，不是確定參數下的流行，而是在參數空間里對應的不同相平面流型。 簡單的講，動力學不僅感興趣我們現在所在的那個世界，而是所有可能的世界（每個參數就是一個世界）。 參數的空間好比小徑分叉的花園（無限可能性的博物館），每一點上你都有一扇窗戶，打開可以看到那個世界的可能性。在這個花園裡走路，你將看到一種可能性是如何演化成另一種可能性的。

下面我們就到二維世界裡去玩一玩，請看下圖，你一定看到了十字架和一個拋物線。這是最簡單的線性二維動力學系統，完全可以通過求解係數矩陣（對應於一維情況下的單一係數）的特徵值解決。首先看這個系統的定點，即發現（0，0），好簡單（帶入方程微分為0）。但是系統是被這個定點牢牢抓住，還是圍繞它振動，還是遠離它而去，確取決於系統的參數。

而這個平面的橫軸和縱軸就代表這一矩陣特徵值的實部和虛部。當系統的參數變化，表現為係數矩陣的特徵值在這一平面上的運動。特徵根的實數部分的正負決定系統是趨於穩定的定點還是發散。為負的話你將收斂到到她身邊，為正你將遠離她而去。而如果實數部分為0 ，特徵根只有虛部，那麼系統意味著系統既要遠離定點又出不去她的引力範圍，最後就成圍繞她繞轉，即振動的情況。虛部的正負決定系統圍繞定點轉動的方向，在此不多敘述。

圖，最簡單的二維動力學系統-由一個線性微分方程組給出。

那麼什麼是Bifurcation呢？它就是參數空間里系統動力學流的性質發生質變的點。例如上圖裡的那個拋物線，當系統的參數變化越過拋物線的時候，系統就從穩定吸引變成了發散遠離定點，這個過程就是Bifurcation.

而在拋物線一側的變化只是定量的變化，卻無定性改變，這就是普通的變化。Bifurcation標誌系統的動力學性質就發生徹底的變化。好比兩個人在一條路上走著走著，突然到了岔路口，從此南轅北轍。

在動力學家的眼裡，只有那個bifurcation point 具有關鍵意義，起到區分不同系統的作用。其它小的變化都忽略了（這恐怕是他們不好找女朋友的原因）。

另一種典型的bifurcation情況：

圖中的小球一開始在谷底，處於穩定平衡。這個谷就代表系統的參數，當參數固定，山谷的形狀就是確定的。當我們改變參數，山谷的形狀發生變化，谷底逐步被拉平，而最後隆起出一個小山。在這個過程里，中心點的穩定性喪失，小球將面臨一次全新的選擇，是向左還是向右？這個谷底變成小山的過程就叫Bifurcation，而谷和丘的臨界點，就是Bifurcation Point。

從此圖可見，Bifurcation的本質是系統反饋性質的變化。當小球在谷底，一個負反饋保證它不離開（穩），而當谷底逐步變平突起的過程，負反饋演化成離開谷底的正反饋。

Bifurcation Point上的小球具有「自由意志」，或者說非常敏感，一個隨機的擾動都可以被放大（正反饋的作用），使它向左或向右。這就是歷史的轉折點。而當Bifurcation的過程結束，小球就落入了新的平衡點。此時的它，已經被一個負反饋束縛住，非有強大的能量，是不會離去了。

Bifurcation，正是物理里相變的化身。在動力學的世界觀里，那些定量的改變等於沒變，而只有Bifurcation-分道揚鑣，才是真正的變化。物理，化學，生物一切最有趣的現象，都在Bifurcation點上，因為它的敏感，它的無限可能。

* Bifurcation Point，就是我們所說的決定性瞬間。在這個時候，系統的前途未卜，而有任何一個風吹草動都可能使它轉左或轉右而走向截然不同的未來。如同高考考場上的同學，蒙對蒙錯一個選擇題就去往了截然不同的城市，遇到了截然不同的愛情。

還有歷史上的關鍵期。如同姜文新片《一步之遙》主角馬走日的故事，作為滿清貴族的他，被老佛爺賦予下達全國男人剪辮子的命令，那天他跑出去下達諭旨，天卻下起大雪，他躲進一個小酒吧喝了兩桶酒睡到天亮，沒想到天下已經民國了....他那個哭啊。。

這個故事看似荒唐卻很真，因為1911年就是中國歷史的Bifurcation Point，只有在Bifurcation Point -相變點上，一個人的小事才能左右國運，一個小時就是一世紀。

君主立憲還是走向共和？ To be or Not to be，That is a Bifurcation ！

Hopf-Bifurcation : 溝通平衡與振動的世界。

用一句話說， Hopf-Bifurcation 描述一個系統定點失去吸引力並最終產生閉合軌道的過程。這與我開頭引題的拋物線那個圖其實是一回事，我們把非線性系統在定點附近進行線性近似就可以沿用上面的分析。

BZ反應 (Belousov Zhabotinsky 化學反應)

我們高中課本有個東西叫化學平衡，說的是化學過程最終都導致平衡，該反應的反應過了，我們就得到一堆萬年不變的反應產物。但是1950年代的一個蘇聯科學家belousov卻在它的反應里發現了一個十分驚人的現象，他發現他手裡的混合物反應後還會在一段時候回到原來的狀態，然後又重新反應，如此周期反覆。這一現象一出，他就被封殺了。因為他的結果不符合熱力學第二定律（根據熱力學第二定律，自髮狀態下系統必須趨於平衡），又加上適逢冷戰，他到死也沒看到他的成果被承認，成為科學史上幾個重大悲劇之一。

但是它的發現卻開拓了一個全新的領域-化學振蕩，而他的發現也成為複雜性可以從簡單系統中誕生的典型例子，與圖靈對生物斑圖的研究一起，開拓了複雜科學的先河。

周期振蕩的化學反應，紅變藍又變紅。

Belousov的化學振蕩可以自發產生美麗複雜的斑圖（上圖），被認為是複雜性從簡單系統產生的典範。對生命起源等問題都很有啟發。

如果我們給這個化學反應寫出熱力學方程，我們就可以發現，循規蹈矩的化學平衡和「異常」的化學振蕩可以完全統一在一個系統里，只是根據反應物濃度不同而不同。它的本質即Hopf Bifurcation。

Belousov反應具有眾多反應物和接近20個步驟，但是可以簡化為一個二維動力學系統（內容繁雜在此不續）：

隨著參數a，b的變化系統具有完全不同的動力學模型，見下圖：

Hopf Bifurcation，左圖是一個具有靜止平衡態（定點）的系統，動力學流從不同的位置旋入這個系統。右圖為振動解（limit cycle）的誕生，事實上，兩張圖描述的是一個系統的連續變化，開始那個穩定的平衡點失去穩定屬性，流行從旋入這個點變為旋出，而歸於確定的閉合軌道。這就是Hopf Bifurcation的範式。

Hopf Bifurcation 作為闡述振動和靜態平衡互相演化的基本手段，在生物，經濟等領域反覆出現。

甚至我們的生命過程本身也可以理解為一個大的Hopf Bifurcation。心臟的跳動和新陳代謝的循環伴隨我們一生，這是系統的振動解。我們死的那一刻，振動停止我們步入了靜態平衡。這就是Bifurcation Point，from live to death。

中國歷史的演變可以看做一個大Hopf Bifurcation。從中國歷史的初始階段-東周列國（不考慮部落傳說時代的夏商）到大秦帝國的誕生，可謂經歷了Bifurcation。因為動力學系統的性質前後發生了根本變化，從之前小邦國的平衡狀態發展到帝國循環的動力學模型。春秋戰國可謂中國歷史的關鍵期（critical period）。但即使在秦帝國初建的時候，前一個動力學模型依然沒有完全結束，兩個模型依然在競爭（Bifurcation point）。所以秦帝國才只持續那麼短，因為邦國並立的組織雖已破壞，但其「鬼影」還在，新帝國的形式並不穩定。

所以陳勝之後，才有六國後人的爭相復辟，而項羽則作為舊的動力學模型的最後驚魂一瞥划過天空，作為楚國貴族的他，奪了天下，卻只想分封諸侯，回到六國舊夢。而也因如此，註定他只是一顆流星，他終是敵不過作為新帝國模型代言的劉邦。他的失敗，根本是他所代言的動力學模型的失敗，而非孤勇。漢帝國能夠成為中國第一個持續兩百年以上的帝國，也是因為因為漢初皇帝徹底瓦解了邦國的舊動力學體系。他們所做的分封劉氏皇族，進一步加強大一統，都徹底瓦解了舊的社會組織。舊貴族的夢是在幾千年都興不起來了。

（註：雖然中國歷史也多次經歷分裂諸侯並立的時代，但那都是作為帝國循環的某個特殊轉化期而存在，而非穩定的狀態。）

雖然學過非線性動力系統的一部分，但混沌理論了解不多。只能知道多少說多少了。

所謂動力系統，實際上是指常微分方程組，通常用來描述一個東西，比如物質的濃度、物體的位置等等，隨時間是怎麼變化的。而這個描述實際上是在說，知道一個時刻的信息（初始值），方程告訴你接下來經過很短的時間之後，這些量變了多少。而非線性動力系統，就是指微分方程右邊是非線性的，粗略講就是你隨便寫的一個不是直線的方程。

很多量隨著時間逐漸演化會達到一個穩定狀態，或者停在某個地方不動，或者呈現周期震蕩，這是容易想像的。比如小球扔進坑裡它最終會停下，比如推動單擺它最終會在那裡來回擺動。雖然開始的時候物體的運動可能會並不規則，但最終還是會穩定下來。這種狀態叫做穩態，或者說吸引子。粗略可以把吸引子分為2類，完全不動的狀態是孤立吸引子，在某個軌道上震蕩的是極限環。

在某些條件下，吸引子的性質會變化，這個現象就是分岔（bifurcation），還說單擺，如果能量為0，它只會停在那裡不動，但一旦具有一點能量，它最終就會震蕩而不是靜止在那，一個孤立吸引子變成了極限環，這就是分岔。分岔還有很多種情況，比如吸引子會消失會產生，等等。

回到單擺，玩過單擺的應該知道，用橡皮繩拴著一個重物，如果推給它的能量稍微超過一點，讓它能夠接近單擺的頂端，接下來發生的事情會是非常混亂難以預測的，重物會四處亂跳，找不到規律，而且每次試驗結果都不太一樣，這個範圍內混沌發生了。注意到這個例子中混沌是達到特定條件產生的，在這個過程中伴隨著分岔——本來穩定的極限環現在不存在了。

通常說到混沌系統需要具有3個性質：

初值敏感性：這個詞換成蝴蝶效應大家或許很熟悉。如果巴西一隻蝴蝶扇扇翅膀，洛杉磯就會出現暴風雨，就是在說描述天氣的動力系統的混沌特性。蝴蝶不扇翅膀與扇翅膀的差別如此之小，而造成的後果差別卻是洛杉磯有沒有暴風雨的差別。隨著時間推移，差別會隨著指數增加。當然這個例子只是一種比喻，不是在說必然的因果關係。

拓撲混合這個概念更抽象一點。這是說任何範圍內的初始狀態經過一段時間演化最終可以和任何狀態區域重疊。粗略地說，這個可以和初值敏感性補充來看，初值敏感性說開始的一點點差距都最終會是顯著的，而這裡是說你總能找到開始的一點點差距來達到任何你想要達到的差距。

第三個是說你在任何狀態附近都會找到一個無限接近的周期軌道。暫時想不出如何直觀解釋這一點，有興趣還是了解一下相關著作吧。

可以說現在混沌還沒有被我們完全掌握，只是知道現象，並不知道背後實質

不是學物理的，僅說一下我理解的部分，就當為專業人士拋個磚頭：

題主可以將手拋硬幣看成一個混沌系統：

決定硬幣落下後是正面還是反面，跟很多因素有關：拋硬幣時用力的大小，角度，硬幣的材質，風力，地面的材質等等。

任何一個條件的改變，都有可能對拋硬幣的結果產生決定性影響。

所以手拋硬幣的結果是非周期性的，不可預測的。

但實際上，拋硬幣的結果類似於計算機的隨機數，是個「偽隨機」。就是說如果用力大小，角度等等等這些條件都一樣的話，那拋硬幣的結果也是一樣的。這是混沌系統區分於「真隨機」的地方。

說句民科的結論：拋硬幣的結果是時間的映射，而真隨機不是。

至於拓撲混合性，軌道稠密……學渣表示，這是什麼，好吃嗎？

有空可以看看這個答案世界上有沒有真正的隨機事件？

目前的回答全部都是用的專業術語，明顯答非所問，文不對題

1.折一個紙飛機，然後輕輕的扔出去。再撿回來，嘗試以相同的力道再扔出去。你會發現你無法預測紙飛機飛翔的軌跡，事實上飛機的軌跡受到氣流，溫度，以及各種因素的影響。每一次都是不可重複的。 2. 王朝更迭，權貴交替.衰敗與繁榮互為因果.3.股市，微觀內為混沌好似隨機遊走，宏觀為一種可觀察到的趨勢，長期存在。

同一宿舍的女生經期似乎會同步

LZ的問題中包含了不少專業術語。想要不用專業術語進行解釋，這個，唔，我想問問LZ，how？

在三峽往長江里滴一滴墨水。