為什麼「數學」不屬於「自然科學」？

01-03

@申力立 @馬前卒 @南方戰士 (at大神總讓我有種畏懼感。。)
看完特德姜的小說《除以零》，裡面的幾句話讓我心生疑問。
「同許多人一樣，她以前一直認為數學並不從宇宙那裡獲得意義，而是賦予宇宙以意義。物理實體無所謂大或者小，無所謂相同或者不相同，它們純粹是存在數學是完全獨立的，它實際上賦予這些物理實體以語義，提供範疇與關係。它並不描述任何內在的品質，僅僅提供一種可能的闡釋。」
「然而，這一切都不復存在了。數學一旦從物理實體分離出來，就不一致了，而一種形式理論如果不一致，就變得毫無意義。算術是經驗主義的，僅此而已。」(這一段是女主證明數學其實不具備人們一直相信它具備的一致性後，發出的感慨)

說實話，我有點不知道該怎麼描述自己想問的問題，我找不到很恰當的語言，只能有一點意會，望見諒。
既然數學是用以為實際物體提供聯繫，概括範疇的，是一門工具學科，那麼，為什麼不把「數學」囊括在「自然科學」的範疇內，而是獨立於「自然科學」之外的純粹學科？數學可以獨立於實際物體之外嗎？我想我們所建立起來的數學體系都是建立在客觀存在的實體之上的吧，是從具體中抽象出一些普遍存在的性質，而不是反過來先抽象，再去描述具體啊，既然如此，數學是不是應該包含在自然科學之內呢？如果是獨立的，請問是如何「獨立」出來的？
ps:另外有個小問題，文中提到的一致性，用書面語言怎麼描述和理解呢？
pps:註明學歷:高二，請大神們用簡單易懂的話語來描述。。用專業術語的話，我肯定是一頭霧水啊。。麻煩了

從哲學的觀點來看，數學和自然科學在形而上學、認識論、哲學語義學德性論上都有很大的不同。

如果有興趣了解一點數學哲學，可以去數學是人為創造還是自然的規律？ - 劉秩的回答 - 知乎這個答案看一下。

讓我們先談一談數學的哲學諸方面。

形而上學。

數學的對象——不論是持柏拉圖主義、在物結構主義、形式或非形式主義的虛構主義——根本上都是某種抽象的實體。按照柏拉圖主義，數學對象是超物理超現實的理念存在。結構主義則聲稱其對象是事物的抽象結構，是轄域定義在全部可能現實的有界變元，數學對象不是任何一個實在，也不是任何一個眾多事物的集合。虛構主義則認為數學是人類的規則創造，其對象要麼不具有實在性，要麼只是我們假裝其具有實在性。

而自然科學的研究對象則都是可以通過實驗測量的實在，或者至少是那些我們在理論上認為終將是現實實在的東西（比如某些前沿科學中假定的存在，即使我們現在無法驗證它們的實在，但不妨礙我們可以假設說「它們可能是實在，只是現在我們無法驗證這一點」）

認識論。

如果我們持柏拉圖主義或先物結構主義的數學觀點的話，那麼認識數學對象可以是靠某種神秘的直觀，可以使我們直接洞察到理念世界的存在，也可以是靠對現實存在的模式識別，從而發現在現實事物之上的抽象模型。倘若持形式主義的觀點的話，那麼我們對數學的認識很大程度上就等同於我們對規則的把握和熟練，哪怕完全不存在任何現實，也不會影響我們對抽象規則的掌握。

物理學的認識與上述的數學大相徑庭。給定一個自然科學，我們給它賦予真假的條件是要做實驗，去確定它所描述的事實狀態是否是真實的。而對於數學命題，形式主義者只要求一個數學命題為真是由於它是地被合乎規則地推理出來，僅此而已。

哲學語義學，或者廣義的邏輯學。

數學的一些學派，比如模態消去結構主義和形式主義的虛構主義，在對數學的刻畫中，採用了模態邏輯來刻畫（他們眼中的）數學潛在具有的模態性質。而自然科學研究的內容絕大部分是現實實在，而非可能實在。這就意味著每個數學命題都蘊含了原始的模態運算元，而大部分自然科學命題都不蘊含這種模態運算元。

以及採用二階邏輯來形式化地重寫數學命題，最後將其歸結為一組二階邏輯表示的公理。實踐上，所有的數學到最後都可以被如此這般總結為一個數學體系。某種意義上，數學僅僅就是這個數學體系本身，它的各個命題的真值不僅一旦確定就不會變化，更因為它命題的真值僅僅只依賴於數學體系自身，而不是數學體系之外的什麼東西或事實。但自然科學不同，對現有的自然科學體系的公理化不具有數學那樣的性質，因為自然科學的命題的真值歸根結底是依賴於外在於自然科學體系的東西，它要依賴於現實的東西和事實。

德性論

數學研究的德性，即目的是為了從已有的假設出發得到深刻的真命題。自然科學的德性與其說是找到真命題，不如說是為了可重複性和預測性。

故此，在幾乎全部的領域上，數學與自然科學都存在著極大的差別。所以，數學不是自然科學。

====一些其它的哲學回答=====

哲學回答 - 收藏夾 - 知乎

問題已經修改，不過我的答案還是基本適用的。

------------------原問題是數學為什麼不是物理學---------

不要靠小說和電影來學習數學，文中的一致性問題是所謂的「哥德爾命題吧」，這個問題不是一個特別嚴重的問題，數學的不一致沒這個「女主角」說得那麼嚴重，現在流行的ZFC公理系統（還有NGB系統）還是很work的。

你說：既然數學是用以為實際物體提供聯繫，概括範疇的，是一門工具學科，

這句話本身有問題，我不覺得數學一定要附著在物理實體上，數學是可能性的藝術，描述很多邏輯上可能的範式。其中恰好有很多種複合物理意義，當然了，很多數學家是強調和物理的關聯的。但是，數學早就有很多self motivated的問題了，這些問題本身和物理沒啥關係。比如我說的zfc公理系統和ngb公理系統，還有一大坨的數論之類的，還有很多幾何代樹上的東西。一句話，很多數學問題是脫離物理意義存在的。再說了，「博弈論」這種數學是在經濟學上很有價值的東西，還有很多數學模型描述的是種群遷徙和獵食者-被捕食者模型或者化學反應的模型：

這些和物理沒半毛錢吧，不要搞物理霸權主義吧，物理的應用早就不能概括數學的一部分了，自然，物理就沒資格包含數學了。

你說：我想我們所建立起來的數學體系都是建立在客觀存在的實體之上的吧，是從具體中抽象出一些普遍存在的性質，而不是反過來先抽象，再去描述具體啊，既然如此，數學是不是應該包含在物理之內呢？如果是獨立的，請問是如何「獨立」出來的？

所以，你以上提到的這個觀點是錯誤的，數學曾經和物理很有關係，但是現在早具有了自己的評價體系和標準。過去的數學結果也許會因為「沒用」而質疑，現在的數學結果往往在乎其「數學價值」而不是單純的物理意義。一個數學的結果只需要寫出證明或者舉出反例即可，一般是不需要什麼實驗佐證。反過來，物理如果沒有實驗來支持基本呵呵了，那是一個大敗筆。還有物理學上的很多數學推導是不夠嚴格的。換句話說。兩者的評價標準是不一樣。

綜上所述：數學關心的問題不是物理的真子集，數學和物理的評價標準不同。數學早就有了自我驅動的能力，自然不需要依附於物理，甚至這樣說吧，我從來沒聽過說數學只是物理的一個分支，從古希臘以來就是這樣的。說數學只是物理的一個分支是非常蠢萌的觀點。

科學不是只有自然科學與社會科學，還有形式科學，看看維基百科，數學與邏輯學這些，便是形式科學。

形式科學不是和基於真實世界觀察理論有效性聯繫的，而與定義和規律為基礎的形式系統性質相聯繫。

數學不是觀察來的，不常涉及經驗的過程。它不需偶然事件的予先知識，或描述真實世界。從這種意義說，形式科學是邏輯和先驗方法的科學，它的內容和有效性和任何經驗的過程無關。

簡單說，你可以用數學建立一個一百維時空的描述，實際這個宇宙可能只有十二維。

嗯……

其實Ted的說法有很多地方有很大的問題……不如說是堪稱愚蠢的獨斷論……

我個人的意見是把數學作為一種語言的規範和規範的語言……這也正好是各個其他學科對於數學的用法……至於數學為什麼看起來相對獨立，那是因為使用數學作為語言的學科太多，沒有理由把數學歸屬於其中任意一方……

科學是一種人類對自然理解之中具有相當歷史性的產物，譬如在培根-牛頓的科學革命、和孔德的社會科學實證化之前，人類對自然、社會規律的研究基於哲學化的思辨。

科學，尤其是作為其最發達形式的「自然」科學根植在理性-實證主義這一片相當近代的思想史土壤中。而所謂可證偽性只是現有認識範式的具有歷史性的產物，但一定是科學的唯一表現方式：因為這種認知方式處在這樣認知模式的內核—因而沒有這種性質的自然研究便不再是自然科學。

對於實證主義、實驗歸謬和理性分析的假設的褫奪雖然不會更改其對象的客觀自在與人類加以理解的可能，但一定不是一個簡單的科學範式的轉換，而一定是一個宏大敘事下的廣泛歷史性革命的副產品。

與此相比，數學雖然仍然基於理性體系之上，但慮及其外部因素已然最小化，並且其思想根基植於形而上層面上堪疑、但歷史上未面見受替換可能性的公理體系，可以說比起自然科學本身就是一個根源上更完備的學科。

依照這種思想史的邏輯，數學不僅不是自然科學，更不是科學；形式科學這種稱謂很大程度上是當代科學泛化下對人類知識分類出現的謬誤（更嚴重的例子是「人文科學」這一稱謂），因為它既沒有承認數學的非實證化，也強行把具有鮮明歷史性、本源局限性的科學施加到數學這種更為宏大的思想方案之上。

首先說你喜歡的那幾個人不怎麼樣。

然後回答問題。

自然科學基於的是現實世界的經驗。檢驗自然科學理論的唯一標準是是否與現實相矛盾。存在這宇宙中的所有文明誕生的自然科學是一樣的。

數學不是，數學看的是在所在的數學體系內是否有矛盾。這裡說所在的數學體系內，是因為不同的數學體系之間甚至是不相容的。數學是一種人腦所產生的工具。數學是一邏輯體系，也可以看做一種語言。不同的文明可能是很不相同的，甚至無法彼此理解的。

因為數學是形式科學。

『通常的學科分類中，數學一般被歸為「形式科學」，可以認為是廣義的科學中的一種。形式科學除了數學還包括邏輯學、統計學等。與研究自然現象的自然科學和研究社會現象的社會科學不同，形式科學所研究的可以說是形式系統。』

因為數學論文不會發表在Nature和Science上

Math is nothing but a logic.

謝不邀。

題主這個問題問的很有深度。

答主也曾經想過這個問題，就是數學為什麼不是包含在物理學範疇內。因為人認識世界是由周圍的具體事物開始，然後才慢慢學會用抽象的數字和圖形。

不過題主的問題問法有點不對，這讓某個回答「男生為啥不叫女生」的答主誤會了題主的意思。

數學起源於古代人的勞動。古代人為了計數，丈量土地。由最初的結繩記事等計數方法到後來創造性的使用某種符號來計數。

很明顯，數學的起源是為了解釋實際問題，由具象的物體中提煉出抽象的符號，用抽象思維解決具體問題。其中的抽象思維和自然規律是數學的基礎。

簡單來說，數學的基本元素之一為抽象。很多人都有一個誤解，就是A→B是數學，但實際上那個「→」才是數學。

那麼物理呢？很明顯是物質科學。這點相信大多數人都能理解，即物理是研究物質最基本的結構、相互作用等的科學。

也就是說物理是建立在物質基礎上的，如果物質不存在，物理學也就不復存在。

所以第一個問題解決了，就是數學是不能包含在物理之內的，因為物理是物質科學，而數學是形式科學。同樣物理不能包括在數學之內。

那麼另一個問題出現了，數學能脫離物質單獨存在嗎？

這個基本上就是哲學問題了，必須建立在「人」的概念之上。個人認為，數學可以脫離物質而單獨存在，但脫離物質的數學沒有意義。物質遵循數學規律，受自然規律的束縛。

數學之於物質，如生存之於生命，它是一種概念，是一種抽象思維的體現。而所謂抽象，就是要拋開物質的具體表象，抽取事物的本質形成的概念。

數學起源於物質，但在發展中脫離了物質，而成為了物質世界的工具、準繩。脫離了物質的數學確實沒有意義，但僅僅沒有物質世界賦予的意義。而一般思維下，是數學賦予物質意義，數學自身不需要意義。

以上個人見解，答主高一狗，不喜勿噴不對請指正蟹蟹("▔□▔)

從對象上說，「數」不是經驗對象，在自然界中沒有對應物。你可以按你的理解認為「數」是從經驗對象中抽象出來的，不過從經驗對象抽象出來的就是經驗對象了？答案是否定的，所以「數」仍然不是經驗對象。而自然科學一般都是以經驗對象為研究對象，所以數學不屬於自然科學。

從方法上說，數學一般採用的是比較嚴格的形式演繹法，而自然科學則一般採用不太嚴格的經驗歸納法。因此二者在方法上也不同。

不過你也可以找到兩者的共同點，那就是從根本上說這兩門學科的一些最基本範疇都是哲學範疇。如「數」、「物質」。

把數學視作物理分支的論點是歷史上真實存在的，而且還出自相當卓越的數學家之口。

V.Arnold論數學教育（轉）

當然，數學家個人的態度與數學整體的實際工作情況並無必然關係。

數學歸根到底還是人類試圖認識和解釋世界的一種方法

比如一條線段彎成半圈，上面的點可以和一條直線上的點一一對應

但現實中你拿兩根長度不同其他方面相同的鐵棒，它們的原子數量是不同的，無法一一對應，而且也不是真正的直線、線段

數學不具有可證偽性，簡單點說，數學不可以是錯的，或者不完整的。如果真的有地方有問題的話，數學家會通過修改或添加公理來保證數學體系內部的一致性。

如果以可證偽性作為自然科學的必要條件的話，數學不是自然科學。

——經評論區點撥，作一下更新——

上面的不可證偽可能用詞不準確，更好的說法是，由於數學研究的是抽象事物，無法設計一個實驗，來驗證或證偽數學規律。

下面舉一個一本道的例子。

我左手有一個蘋果，右手有一個蘋果。把左手和右手裡的蘋果放到一起，一共有幾個蘋果？

①蘋果的數量可以用自然數表示。「一個蘋果」中的「一」和『』自然數一『』的區別在於，前者依賴於物理實在蘋果而存在並且是可以測量的，後者不依賴於任何物理實體而存在，具有抽象性。題目中的物理過程可以抽象為把兩個自然數進行一個操作，得到一個新的自然數。

②這個操作可以用加法來表示。

③1+1=2

④把上一步得到的自然數2利用①反射為測量值「兩個蘋果」。

以上①②④是自然科學研究的範疇，③以及自然數和加法的性質是數學研究的範疇。

我做了這個實驗，結果是，最後測量有三個蘋果。我嘗試解釋這個實驗結果。

可能性1.①是錯的，蘋果的數量不可以用自然數表示。

可能性2.②是錯的，『』放在一起『』這個操作不可以用加法表示。

可能性3.實驗結果是錯的。三體人為了擾亂我的思維，遙控智子在我的視網膜上打出了一個假的蘋果。

【錯誤示範】可能性4.③中的加法是錯的。

在早些時候，你可能以為我在設計一個實驗來驗證數學結論『』1+1=2『』，但我實際上驗證的是關於「蘋果數量的測量」和「把蘋果放在一起」的數學模型。真正數學的內容是無法通過實驗驗證的。

數學是描繪客觀規律的語言。它本身不是規律。

而且數學不一定是唯一的。

數學在哲學裡位置之高，是各位討論者可能忽視的

古希臘時候畢達哥拉斯學派直接崇拜數，柏拉圖把數學立於理念之下，休謨給數學送了丹書鐵券，斯賓諾莎想用幾何證明寫了哲學書

言外之意就是，歷史上一直是數學鄙視物理學，物理學求著數學，而很少有反過來的時候

所以，鄙視鏈中數學高於其他自然科學，這就導致說數學不是自然科學的言外之意，是要數學高自然科學一頭，而不是反過來，不過根據廣大民科踩哲學的架勢，踩數學是很容易理解的，民科會高數的都少，能安心研究數學的簡直少的不行(還有數論這個方外之地留給民科)

你要說數學算不算自然科學，那就純屬定義問題了，撕逼這個，簡直就和撕逼番茄是蔬菜還是水果一樣

至於什麼可證偽不可證偽之類的，什麼哥德爾不完備什麼的，都是民哲思路，望文生義罷了，哥德爾還好點，波普爾簡直看了就會沉默……

取決於你怎麼定義【自然科學】，以及怎麼看待數學（先來句廢話）。

打個比方，康德就認為數學也是科學，哲學也是科學，原因是他認為科學的特點是【系統性】，而數學和哲學都很有系統性。他認為數學和其它科學的區別在於其它科學的適用面比較窄，而數學和邏輯都適用於所有科學。

現在大家比較熟悉的定義科學的方法是【可以通過實驗證偽】，那數學肯定是沒有辦法通過實驗證偽的，所以數學肯定不是科學，同理哲學也不是。

還有一種很接近的定義方法是【可以證偽】，這就比較有趣的了。數學可以證偽嗎？實際上有人認為是可以的，只不過不是通過我們常用的【實驗】方法，而是通過類似數學家的思考、互相爭論、證明等方法證偽的。當然你需要對數學有某種特定的理解（類似【數學是「發現」的學科，數學公理都是「正確」的】）才能覺得數學有可能被證偽。如果你像康德一樣覺得數學是我們看世界的方法，或者是像Hilbert一樣覺得數學是人為創造的，那就沒有證偽一說了。

另外一種定義是說數學真理都是【絕對的】，或者是【必然正確的】，而科學真理不是。這種區分也很常見，不過現在很多人覺得最基礎的物理法則也是絕對的且必然正確的，原因是如果對法則做出改變那物質就沒辦法誕生。所以按照這個定義數學和基本物理似乎要被划到一起去。

（以及，同意樓上答主：標籤居然沒有哲學？）

數學是形式科學，其理論和定律只需要邏輯自治，不像自然科學，理論和定律要對自然現象做出解釋和預測。

數學和邏輯學是普遍適用的工具，是人類的思維方式，並不是哪哪個學科的附屬。

數學的本質是一套公理系統，根據幾個不可證明也不需要證明的公理推導出一整套的體系，修謨稱之為必然真理。

數學和邏輯學為什麼不是科學，主要是因為這二者沒有可證偽性。

數學家們不是總是沉醉於自己的直覺世界而高高在上嗎

比如從研究方法上就存在不同吧

一個相信直覺和理念,信奉認知層面的思考和證明

一個相信事實和物質,信奉觀察不到就是沒有,實驗高於一切